حاصلضرب گروهها

یکی از موضوعات جالب توجه در نظریه گروهها، بحث در مورد گروههای تجزیه پذیر می باشد. گروه ‏‎g‎‏ را تجزیه پذیر گویند اگر زیر گروههای محض از ‏‎g‎‏ مانند ‏‎b,a‎‏ موجود باشند بطوریکه ‏‎g=ab‎‏. هر گاه ‏‎b,a‎‏ زیرگروههای ماکسیمال ‏‎g‎‏ باشند این تجزیه را ماکسیمال می نامند. نمونه های بسیاری از گروههایی که تجزیه پذیر نیستند وجود دارد. اگرچه تجزیه ماکسیمال کلیه گروههای ساده متناهی پیدا شده اند ولی تا زمان نگارش این رساله شناسایی کلیه گروههای تجزیه پذیر بعنوان یک مسئله حل نشده مطرح است. تعدادی از محققین تلاش خود را روی این موضوع متمرکز کرده اند که اگر ‏‎b,a‎‏ دارای خواص معینی (نظیر پوچتوانی، حلبپذیری، آبلی، دوری و ...) باشند آنگاه در مورد ‏‎g‎‏ چه می توان گفت. و تعدادی دیگر به شناسایی گروههای تجزیه پذیر که عوامل تجزیه آنها یکریخت با گروه متناوب یا متقارن روی ‏‎n‎‏ حرف باشد پرداخته اند. برای اولین بار در سال 1975 میلادی ‏‎w.r.scott‎‏ کلیه گروههای متناهی تجزیه پذیر که یکی از عوامل تجزیه آن با گروه متناوب ‏‎a5‎‏ یکریخت است را شناسایی کرد. در سال 1992 میلادی ‏‎g.l.walls‎‏ مسئله را در حالتی که یکی از عوامل تجزیه با گروه متقارن ‏‎‏‎s5‎‏ یکریخت باشد و عامل دیگر در تجزیه، زیرگروهی ساده باشد را حل کرد. در ادامه کارهای تحقیقاتی ‏‎g.l.walls‎‏ در این رساله ابتدا کلیه گروههای تجزیه پذیر که یکی از عوامل تجزیه با گروه متناوب ‏‎a6‎‏ یکریخت بوده و عامل دیگر با گروه متقارن ‏‎sn‎‏ برای ‏‎n>5‎‏ یکریخت است را شناسایی خواهیم کرد. سپس به شناسایی کلیه گروههای تجزیه پذیر ‏‎g‎‏ که یکی از عوامل تجزیه با گروه متقارن ‏‎s6‎‏ یکریخت بوده و عامل دیگر، زیر گروهی ساده از ‏‎g‎‏ می باشد، خواهیم پرداخت. برای رسیدن به این اهداف مفاهیمی از نظریه گروههای جایگشتی و بالاخص رده بندی گروههای جایگشتی اولیه با درجات معین، مورد استفاده قرار می گیرد.