زیر مدول های اول از مدول های نوتری

زیر مدولهای اول -r مدول چپ m ارتباط نزدیکی با ایده آلهای اول حلقه r دارند. اگر n یک زیر مدول اول از m باشد آنگاه pa n n m/n یک ایده آل دو طرفه از r است . یک رده خاص از زیر مدولهای اول m را، زیر مدولهای قویا اول از m در نظر می گیریم و نشان می دهیم که اگر r در شرط زنجیر صعودی (به ترتیب در شرط زنجیر نزولی) روی ایده آلهای اول صدق کند و m یک -r مدول چپ متناهیا تولید شده باشد آنگاه m در شرط زنجیر صعودی (به ترتیب در شرط زنجیر نزولی) روی زیر مدولهای قویا اولش صدق می کند. همچنین فرض می کنیم که حلقه r در یک چند جمله ای همانی صدق کند، در این صورت هر زیر مدول اول از -r مدول چپ m یک زیر مدول قویا اول است . یک نتیجه جالب این است که اگر m یک مدول نوتری باشد آنگاه m در شرط زنجیر نزولی روی زیر مدولهای اولش صدق می کند. و سرانجام زیر مدولهای اول مینیمال از مدول چپ m روی حلقه دلخواه r را در نظر می گیریم و ثابت می کنیم که اگر m یک مدول نوتری باشد آنگاه m فقط شامل تعداد متناهی از زیر مدولهای اول مینیمال می باشد. چون هر زیر مدول اول شامل یک زیر مدول اول مینیمال است . بنابراین رادیکال اول از یک مدول نوتری برابر مقطع متناهی از زیر مدولهای اول است .