فرض کنیم a جبر باناخ باشد که شامل جبرهای گروهی (g )a ، (g )m و ( g ) l1
است. ابتدا ضرب اول و دوم آرنز را روی دوگان دوم a؛ یعنی، ?? a تعریف کرده و ثابت
میکنیم که ?? a با هر یک از ضرب های آرنز، جبر باناخ است. سپس نشان می دهیم
که نظم پذیری آرنز ?? a معادل با نظم پذیری آرنز a و میانگین پذیری ?? a معادل با
میانگین پذیری و نظم پذیری a می باشد. هم چنین جبرهای گروهی وزندار (w ,g) l1
و (w ,g)m را م...
