توسیع یکدار r?t از حلقه های تعویض پذیر را یک fip- توسیع (یا یک توسیع مینیمال) می نامیم هرگاه تعداد متناهی(هیچ) حلقه مثل s که? s ?t r ، موجود باشد. در این پایان نامه بررسی می کنیم که توسیع حلقه ای r?r[u] که u عضوی پوچ توان متعلق به توسیعی از حلقه ی r است، یک fip- توسیع است اگر و تنها اگر ???? u??? باشد. حلقه هایی که تعداد متناهی زیر حلقه دارند نیز مورد بررسی قرار می گیرند.

تعمیم مفهوم ایده آل های اول ار رسته ی حلقه ها به زیر مدول های اول از رسته ی مدولها مولفین مقالات در این مبحث را تهییج کرد تا به تعمیم روابط و قضایای مربوط به ایده آل های اول به زیر مدول های اول بپردازند. در این پایان نامه به بررسی بعضی از این روابط و قضایا می پردازیم. در سراسر این پایان نامه حلقه ها جا به جایی و یکدار و مدول یکانی می باشند.

ریاضیدانان بسیاری روی قضیه معروف گلیسون-کاهانه-زلازکو مطالعه و تحقیق کرده اند. در این پایان نامه، دو تعمیم از این قضیه بیان می شوند. همچنین خواص تابعهای خطی حافظ وارون پذیری از یک جبر باناخ یکدار به فضایm_n (c) بررسی خواهند شد.در حالت خاصn=2 ، فرم کلی این تابع ها، در حالتی که ناپیوسته هستند بیان می شوند. واژگان کلیدی: جبر باناخ، تابع خطی، وارون پذیری، ماتریس و ایده ال.

چکیده : فرض کنید r وs حلقه هایی یکدار و m یک (r,s) - دو مدول یکانی باشد . در این پایان نامه ابتدا تابع مشتق را روی حلقه ماتریس مثلثی تعمیم یافته t=(?(r&m@0&s)) تعریف کرده ، سپس شرایطی را بیان می کنیم که تحت آن شرایط بتوان بین حلقه چند جمله ای دیفرانسیلی و حلقه ماتریس مثلثی تعمیم یافته یک یکریختی برقرار کرد . به بیان دیگر یک نمایشی مثلثی برای حلقه چند جمله ای دیفرانسیلی ارایه خواهیم داد .

ر این پایان نامه‏، پاسخی مثبت به حالت خاصی از مسئله‎‎‎‎ آیوپتیت خواهیم داد که خود ریشه در مسئله کاپلانسکی دارد و به صورت زیر مطرح شده است:‎ ‎“‎آیا یک نگاشت خطی حافظ طیف دوسویی بین دو جبر باناخ نیم ساده یکدار لزوما یک همریختی جردن است؟‎” پاسخی مثبت به این سوال را، در قالبی به دست می آوریم که یکی از این دو جبرباناخ، دلخواه است و دیگری شامل مجموعه ای از ماتریس های 2×2 است

فرض کنیم r یک حلقه تعویض پذیر یکدار باشد. گراف شمارنده صفر r، گرافی است که رئوس آن شمارنده های صفر ناصفر r هستند با این خاصیت که دو عضو مجزا مجاورند هرگاه حاصل ضرب آنها صفر باشد. در این پایان نامه، حلقه هایی مانند r را مطالعه می کنیم که گراف نظیر آنها یک گراف پنج رأسی است. واژه های کلیدی: شمارنده صفر، گراف، منسوب به ایده آل

در این پایان نامه، به معرفی ایده آل های کوچک و بزرگ در حلقه های شرکت پذیر و یکدار و مطالعه نتایج آن پرداخته شده است. به ویژه همبستگی میان ایده آل های کوچک و بزرگ و این که چگونه بر ساختار حلقه r تاثیر می گذارند را بررسی کرده و همچنین تحقیق می کنیم که ساختار یک حلقه چطور وجود یک ایده آل کوچک و بزرگ را تعیین می کند.

در سال 1972 جانسون نظریه جبرهای باناخ میانگین پذیر را معرفی کرد و این سوال را مطرح کرد که آیا جبر باناخ شامل همه عملگرهای خطی کراندار روی فضای باناخ نامتناهی بعد می تواند میانگین پذیر باشد.به طور شگفت انگیزی اخیرا به این سوال پاسخ مثبت داده شد. تلفیق نتایج آرگیروس-هایدون که بر مساله جبر عملگرهای فشرده یکدار شده می پردازد این مساله را حل کرد.

فرض کنید r حلقه ای جابجایی و یکدار و m یک r- مدول یکانی و نامتناهی باشد. مدول m را یک مدول جانسون می نامیم هرگاه عدد اصلی هر زیرمدول سره آن اکیدا کمتر از عدد اصلی خودش باشد یا به طور معادل هر زیرمدول m که با m همتوان است برابر با m باشد. بر این اساس مدول m را پیمانه ای می نامیم هرگاه نامتناهی باشد و هر زیرمدول m که همتوان با m است با m یکریخت باشد.

برای حلقه های تعویض پذیر و یکدار ?، گراف مقسوم علیه صفر حلقه ?، که با نشان داده می شود، گرافی ساده است که رأس های آن همه مقسوم علیه های صفر نا صفر ? هستند و دو رأس متمایز ? و?? مجاور هستند اگر و تنها اگر ???? در این پایان نامه حلقه هایی به شکل ، ??که گونای یک دارند را بررسی می کنیم.همچنین برای هر حلقه موضعی ? از مرتبه 32 که میدان نیست تعیین می کنیم آیا یک گراف مسطح است.