We give a complete picture of the interaction between Koszul and Ringel dualities for quasi-hereditary algebras admitting linear tilting (co)resolutions of standard and costandard modules. We show that such algebras are Koszul, that the class of these algebras is closed with respect to both dualities and that on this class these two dualities commute. All arguments reduce to short computations ...

Gerhard P. Groß, Das Große Hauptquartier im Ersten Weltkrieg (Zeitalter der Weltkriege 24). Berlin/Boston: Walter de Gruyter 2022. 304 S. ISBN 978-3-11-078000-0. € 41,95

Marion Baschin, Gerhard Fritz (Hg.) : 70 Jahre deutsche Geschichte im Spiegel des Backnanger „Murrtal-Boten" (Kleine Schriften Stadtarchivs Backnang 2), (Fr. Stroh) 2002, 126 S., 10 Abb., 37 Grafiken

Gerhard Schäfer, Vom Wort zur Antwort: Dialog zwischen Kirche und Welt in 5 Jahrhunderten. Mit einem Geleitwort von Theo Sorg, Stuttgart (Theiss) 1991. 205 S., zahlr. Abb.

Gerhard Rechter, Die Seckendorff. Bd. 2: Linien Nold, Egersdorf, Hoheneck und Pfaff (Veröffentlichungen der Gesellschaft für fränkische Geschichte, Reihe IX, 36), Neustadt a. d. Aisch (Degener) 1990. 768 S.

Gerhard Fritz / Martin Burkhardt (Hg.), 100 Jahre Naturtheater Heidenheim – 1919 bis 2019. Heidenheim: Verlag Uwe Siedentop 288 S. ISBN 978-3-925887-38-3. Geb. € 34,80

Gerhard Taddey: Kein kleines Jerusalem. Geschichte der Juden im Landkreis Schwäbisch Hall. - Sigmaringen: Thorbecke, 1992. 376 S., Abb., 2 Stammtf. (Forschungen aus Württembergisch Franken, Bd. 36)

A partial formula is provided to calculate the smallest number of vertices possible in a quadrangulation on the closed orientable 2manifold of given genus. This extends the previously known partial formula due to N. Hartsfield and G. Ringel [J. Comb. Theory, Ser. B, 1989, 46, 84-95].

In the first part of the paper we give a characterization for an associative algebra to be standardly stratified in the sense of Cline, Parshall and Scott, generalizing a theorem of V. Dlab. In the second part of the paper we construct characteristic tilting modules for standardly stratified algebras and use them to estimate the finitistic dimension of such algebras. These tilting modules give ...