در این تحقیق به بیان نتایجی درباره ی ویژگی های اندازه پذیری روابط (نگاشت های چند- مقداری) و قضایای تابع ضمنی و انتخاب می پردازیم و از نظریه انتخاب های اندازه پذیر برای نگاشت های چند- مقداری استفاده می کنیم تا جواب های تصادفی (نه لزوما یکتا ) برای معادلات تصادفی با عملگرهای یکنوا در فضاهای باناخ را به دست آوریم. در فصل 1 مفاهیم مقدماتی که در ادامه به آن احتیاج خواهیم داشت بیان می کنیم. مفاهیمی در توپولوژی، فضای اندازه ، فضای نرم دار و توپولوژی ضعیف می آوریم و با معرفی توابع مجموعه – مقدار، ویژگی های اولیه و پرکاربرد روابط اندازه پذیر را بیان می کنیم و ابزارهای اولیه برای فصل های بعد را به دست می آوریم. فصل 2 را با بیان روابط بین تعاریف گوناگون اندازه پذیری آغاز می کنیم. درباره اشتراک، متمم و مرز روابط اندازه پذیر بحث خواهیم کرد و در پایان فصل، روابط اندازه پذیر را توسیع می دهیم . در فصل 3 قضایای مهم و اساسی انتخاب، تابع ضمنی و قضیه انطباق را بیان و با توسیع انتخاب های اندازه پذیر، کاربردی از این روابط در فضای خطی موضعاً محدب به دست می آوریم. در فصل های 2 و 3 مثال های نقضی می آوریم تا محدودیت های طبیعی روابط اندازه پذیر را نشان دهیم. در پایان و در فصل 4 جواب هایی برای معادلات تصادفی با عملگرهای یکنوا در فضاهای باناخ حقیقی و مختلط می یابیم و روی معادلات تصادفی با اختلال های فشرده، عملگرهای تصادفی با دامنه چگال و معادلات همرشتاین تصادفی بحث خواهیم کرد.