این پایان نامه شامل سه فصل است. در فصل اول تعاریف و مفاهیم مورد نیاز و همچنین قضایایی در مورد دوگان دوم جبرهای باناخ بیان شده پایان این فصل ما را به تعریف (l1(g رهمنون می سازد. در فصل دوم اعمال مختلف روی یک جبر باناخ، همچون ضرب مدولی، ضرب آرنز و ضرب تانسوری را بررسی خواهیم کرد.همچنین در این فصل ثابت می کنیم که a** با هر یک از ضربهای آرنز جبر باناخ است. مفاهیم و قضایای این فصل از اهمیت زیادی برخوردار است تا آن جا که می توان ادغان داشت این فصل مبنای این پایان نامه است و در بسیاری از قضایای فل سوم ما را یاری خواهند رساند. در فل سوم ابندا میانگین پذیری گروه و جبر را تعریف خواهیم کرد و مفاهیمی چون اشتقاق، اشتقاق درونی و نخستین گروه کوهومولوژی ارائه خواهند شد. در پایان بخش اول از این فصل قضیههای بسیار مهم اثبات شده اند که تحت آنها رابطه میانگین پذیری گروه g و گروه جبری (l1(g بررسی شده است. سپس تعاریف جدیدی برای میانگین پذیری جبر باناخ با استفاده از قطر تقریبی و قطر مجازی آورده ایم و نشان می دهیم که باتعریف قبلی معادل است. هدف از بیانتعاریف اخیر در مفهوم میانگین پذیری تحقیق در رابطه میانگین پذیری جبر باناخ a و دوگان دومش می باشد.در ادامه به اثبات میانگین پذیری (l1**(gو(m**(g برای گروه های متناهی می پردازیمو همچنین در قضیه گورداوو ثابت می کنیم در حالت کلی جبر باناخ a همراه با دوگان دوم میانگین پذیر a** ,میانگین پذیر است. آخرین بخش این ماله به میانگین پذیری ضعیف اختصاص یافته است.این مطلب که آیا میانگین پذیری ضعیف a** میانگین پذیری ضعیف a را نتیجه میدهد یا نه هنوز اثبات یا رد نشده ا ست اما برای برخی فضاها مانند (l1(g وقتی g میانگین پذیر و جبر باناخ منظم آرنز a ثابت شده است.