در این رساله، به بررسی برخی از گراف های نسبت داده شده به خواص گروه ها مانند گراف رأس اول،گراف مقسوم علیه مشترک، گراف مولد و گراف جابجایی می پردازیم. هم چنین به مطالعه ساختار گراف های گفته شده بر حاصل ضرب مستقیم گروه ها پرداخته و ساختار این گراف ها را بر اساس گراف های ترکیبی به دست می آوریم و با کمک آن، نتیجه هایی بر قطر این گراف ها و دیگر پارامترهای گرافی نسبت داده شده به آنها به دست می آوریم. هم چنین ثابت می کنیم حدس هوپرت درباره ی قطر گراف رأس اول نسبت داده شده به درجه سرشت های گروه ها برای حاصل ضرب مستقیم دو گروه برقرار است. افزون بر آن، حدس ایرانمنش و جعفرزاده را درباره ی قطر گراف جابجایی برای حاصل ضرب مستقیم دو گروه بررسی می کنیم. در ادامه مفهوم تشخیص پذیری گروه ها را با بهره از گراف مولد مطالعه می کنیم. سپس به تشخیص پذیری گروه های دوری پرداخته و ثابت می کنیم گروه دووجهی از مرتبه p 2 که در آن p عددی اول است، با گراف مولد به صورت یکتا تعیین می شود. هم چنین نشان می دهیم گروه z3 × z3 نیز در میان گروه های آبلی به صورت یکتا با گراف مولد مشخص می شود.