بخش اول این رساله مربوط به نتایجی در حلقه های تقسیم می باشد که شامل فصل های دوم‏، سوم و چهارم است. بخش دوم مربوط به نتایجی در گراف های چند بخشی و ابرگراف های 3-بخشی 3-یکنواخت می باشد و شامل فصل های پنجم و ششم است. فصل اول این رساله شامل پیش نیازها از جمله تعاریف و نتایجی در حلقه های تقسیم و گراف ها می باشد که در فصل های بعدی مورد نیاز خواهند بود. در‎‏ فصل دوم جابجاگرهای ضربی یک حلقه تقسیم را بررسی می کنیم. در فصل سوم ایده آل های لی در حلقه ها را بررسی می کنیم. برگن هرشتاین و لانسکی نشان دادند که اگر یک حلقه دارای یک تابع مشتقی‎‎‎‎ باشد که تصاویر ناصفر آن وارون پذیرند آنگاه این حلقه یا یک حلقه تقسیم است یا حلقه ماتریس های ‎‎دو در دو‎‎‎‏ روی یک حلقه تقسیم است یا به صورت ‎‎$‎‎frac{d[x]}{(x^2)}‎$‎‎‎‏ می باشد که ‎‎$‎d‎$‎‏ یک حلقه تقسیم دارای شرایط خاص است‏. نشان می دهیم که اگر یک حلقه دارای یک ایده آل لی باشد که همه عناصر غیر صفر آن وارون پذیرند آنگاه این حلقه یک حلقه تقسیم است. با استفاده از این قضیه یک شرط کافی برای جابجایی بودن یک جبر ارائه می دهیم. در ادامه نشان می دهیم که تنها ایده آل لی رادیکال غیر مرکزی یک جبر ناجابجایی ‎$r‎$‎‎‏ برابر ‎‎$‎[r,r]‎$‎‏ می باشد. در فصل چهارم این رساله حلقه های تقسیم دارای یک تابع برگشت‎ را بررسی می کنیم. در این فصل با استفاده از ایده ناوردایی قضیه-کارتان-براور-هوا نشان می دهیم که اگر حلقه تقسیم ‎$d‎$‎‎‏ دارای یک تابع پیچش ‎‏‎باشد و ‎‎$‎m‎$‎‎‎‏ یک زیرفضای ‎‎$‎s‎$‎‎‏-ناوردای ‎‎$‎d‎$‎‎‏ باشد آنگاه یا ‎$‎‎‎m‎$‎‏ در مرکز ‎‎$‎d‎$‎‏ قرار دارد یا یک ایده آل لی ‎‎$‎d‎$‎‏ است. در فصل پنجم ‏گراف های چند بخشی کوهن-مکالی را مطالعه می کنیم. در واقع نشان می دهیم که ‏‎ در یک گراف ‎‎$‎r‎$‎‎‏-بخشی کوهن-مکالی با پوشش خوشه ای مینیمال‎‏‏، یک راس از درجه ‎‎$‎r-1‎$‎‏ وجود دارد. همچنین به عنوان نتیجه ای از این قضیه نشان می دهیم که این پوشش یکتاست. در فصل ششم ابرگراف های 3-بخشی 3-یکنواخت را بررسی می کنیم. در این فصل نشان می دهیم که اگر ابرگراف ‎$mathcal{f}$‎ خوش پوش باشد آنگاه یک جورسازی کامل در ‎$mathcal{f}$‎ وجود دارد.

سری هیلبرت یک مدول مدرج به صورت یک سری توانی تعریف می شود . در حالتی که m یک جبر استاندارد باشد، این سری یک شکل گویا دارد که در آن چندجمله ای صورت یک چندجمله ای با ضرایب صحیح است. محاسبه سری هیلبرت و شکل گویای آن مسئله پیچیده ای است که تلاش های زیادی را به خود معطوف کرده است. در این پایان نامه محاسبه شکل گویای سری هیلبرت یک ایده آل تک جمله ای مطالعه شده و همچنین سری هیلبرت یک حلقه موضعی آرتینی از نقص بعد دو بررسی شده است. منبع اصلی این پایان نامه مرجع [2] می باشد مسئله یافتن سری هیلبرت یک مدول مدرج داده شده و همچنین تشخیص این که آیا یک سری عددی داده شده سری هیلبرت یک مدول مدرج است یا نه، دو مسئله قدیمی هستند که تا به حال ریاضیدانان زیادی روی آن کار کرده اند.