آنچه اینک به عنوان مدول نیمه دوگانی می شناسیم، در سال 1984 میلادی، یعنی 25 سال پیش تحت عنوان مدول مناسب توسط گولود روی یک حلقه نوتری تعریف شد سپس از آن برای تعریف بعد، یک تظریف بعد تصویری برای مدول های با تولید متناهی، استفاده شد. بعد اسلندر و بریدگر که در سال 1969 معرفی شد، در سال 1995 توسط ایناکسو جندا توسیع یافت و این انگیزه ای شد تا در سال 2006 هلم و یورگنسن این مفهوم را روی مدول های دلخواه یک حلقه نوتری توسیع دهند. در این پایان نامه، سعی شده تعبیری تعمیم یافته و یکنواخت از این مفاهیم را که در آن فرض نوتری بودن حذف شده است، ارائه کنیم . در سرتاسر این پایان نامه حلقه جابجایی و یکدار است. فصل اول به تعاریف و قضیه هایی از جبرهمولوژی که مورد نیاز این پایان نامه بوده اند، اختصاص دارد. در فصل دوم پایان نامه به مطالعه مدول های تصویری می پردازیم که مدول هایی به صورت هستند که مدولی تصویری است و دستاورد کلیدی که از این مدول ها حاصل می شود در زیر بیان شده است. قضیه1. اگر دنباله دقیقی از مدول ها باشد که در آن تصویری باشد. در این صورت تصویری است اگر و تنها اگر تصویری باشد. وقتی این شرایط برقرار باشد، دنباله دقیق داده شده فوق شکافته می شود. فصل سوم پایان نامه به مطالعه مدول های تصویری اختصاص دارد، که از مدول های تصویری و مدول های تصویری ساخته می شوند. به تعریف 3-2-1 و3-3-1 توجه کنید. ما در گزاره 3-3-8، نشان می دهیم که هر مدول که تصویری یا تصویری باشد، تصویری است و به ویژه هر مدول دارای یک تحلیل تصویری می باشد. قضیه2.کلاس مدول های تصویری، به طور تحلیلی تصویری است و تحت جمعوندهای مستقیم بسته است. کلاس مدول های تصویری با تولید متناهی تحت جمعوندهای مستقیم بسته است. فصل سوم با ویژگی های اساسی نتیجه شده از بعد تصویری به پایان می رسد. به ویژه ما نشان می دهیم، برای هر مدول با بعد تصویری ، امین هسته هرتحلیل تصویری، تصویری می باشد. در بین کلاس تحلیل های تصویری، دسته به خصوصی خواص انتقالی خوبی را ارائه می کنند. بدین منظور تعریف 1-4-11، را ملاحظه کنید. این قبیل مطالب موضوع فصل چهارم می باشد. توأم با گزاره 4-3-3، دستاورد زیر نشان می دهد که هر مدول با بعد تصویری متناهی دارای تحلیل تصویری خاص می باشد. قضیه3. اگر یک -مدول با بعد تصویری متناهی باشد، آن گاه دارای تحلیل تصویری خاص است که تحلیلی به صورت : می باشد که در آن ، تصویری است و ، تصویری هستند. پایان نامه با فصل پنجم به پایان می رسد، که در آن به مقایسه خواص مدول های تصویری و مدول های کلاً انعکاسی می پردازیم به تعریف 5-2-1 مراجعه کنید. قضیه بعدی5-2-6 است که مفاهیمی از آورامو8و بوخویتز9 و مارتسین کوفسکی10 و ریتن11 را توسیع می دهد. قضیه4. اگر و دارای تحلیل های تصویری متناهی باشند، آن گاه ، تصویری است اگر و تنها اگر کلاً انعکاسی باشد.