در این رساله، به بررسی عملگرهای خطی کراندار و فشرده بر روی فضاهای برداری توپولوژیک و همچنین، همسانی های کراندار، کراندار کلی، و فشرده بر روی حلقه های توپولوژیک می پردازیم. در واقع، خواصی چون جبر توپولوژیک بودن و کامل بودن را برای رده های متفاوت از عملگرهای خطی کراندار بر روی یک فضای برداری توپولوژیک مورد بررسی قرار می دهیم. همچنین، روابطی را بین عملگرهای خطی کراندار و عملگرهای فشرده بر روی یک فضای برداری توپولوژیک، به دست می آوریم. در ادامه، برخی نا مساوی ها را برای شعاع های طیفی تعریف شده برای یک عملگر خطی بر روی یک فضای برداری توپولوژیک به دست آورده و همچنین به عنوان یک کاربرد، شرایطی را برای معکوس پذیری هر رده از عملگرهای خطی کراندار مورد بررسی قرار می دهیم. به معرفی همسانی های گروهی کراندار بر روی یک حلقه توپولوژیک پرداخته و با تجهیز هر رده به یک توپولوژی مناسب، نشان می دهیم هر رده از این همسانی ها، نسبت به توپولوژی خاص هر رده، تشکیل یک حلقه توپولوژیک می دهد. در ادامه، همسانی های گروهی دو جمعی را بر روی یک حلقه توپولوژیک، مورد بررسی قرار داده و مشابه حالت همسانی های گروهی کراندار بر روی یک حلقه توپولوژیک، شرایطی را برای حلقه توپولوژیک بودن آن ها، مورد بررسی قرار خواهیم داد. همچنین، با معرفی همسانی های گروهی فشرده بر روی یک حلقه توپولوژیک، برخی روابط بین آن ها و همسانی های کراندار را، مورد بررسی قرار خواهیم داد. در پایان، همسانی های کراندار کلی را بر روی یک حلقه توپولوژیک معرفی کرده و با تجهیز آن ها به یک توپولوژی مناسب، خواص حلقه توپولوژیک بودن و کامل بودن را برای آن ها، مورد بررسی قرار خواهیم داد.

برای تعریف یک عملگر خطی کراندار بر روی یک فضای برداری توپولوژیک، چندین راه غیر هم ارز وجود دارد که این رده ها از عملگرهای خطی، جبرهای تو در تو از جبر عملگرهای خطی بر روی یک فضای برداری توپولوژیک تشکیل می دهند. برای هر رده یک توپولوژی مناسب قابل تعریف است. همچنین برای یک عملگر خطی بر روی یک فضای برداری توپولوژیک، چندین طیف و چندین شعاع طیفی وجود دارد که باکمک آنها و همچنین توپولوژی مناسب هر رده می توان همگرایی سری نیومن را در هر رده از عملگرها مورد بررسی قرار داد.