( فایل wordندارد چون پایان نامه با برنامه فارسی تک نوشته شده و با آن برنامه قابل مشاهد ه است ) برای حل مسائل مقدار مرزی شامل معادلات دیفرانسیل معمولی یا معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی، خطی یا غیرخطی، وابسته به زمان یا غیر وابسته به زمان از روشهای عددی مختلفی استفاده می شود. از جمله? این روشها می توان به تفاضلات متناهی، عناصر متناهی و روشهای طیفی اشاره کرد. روشهای طیفی بخاطر دقت زیاد و همگرایی سریع شان از اهمیت ویژه برخوردارند. روشهای طیفی به سه گروه اصلی گالرکین، تاو و کالوکیشن(هم محلی) تقسیم می شوند که هر کدام از آنها از قابلیت های خاصی در حل مسائل مقدار مرزی خطی یا غیر خطی با شرایط مرزی تناوبی یا غیرتناوبی برخوردارند.روش طیفی تاو در حل مسائل مقدار مرزی خطی با شرایط مرزی غیرتناوبی از توانایی خوبی برخوردار است. در فصل یک و دو رساله از روش طیفی تاو بر اساس پایه چبیشف برای مسائل مقدار مرزی شامل معادلات دیفرانسیل معمولی و جزئی استفاده می کنیم. روشهایی که برای مسائل مقدار مرزی شامل معادلات دیفرانسیل معمولی با ضرایب ثابت و از مراتب بالا مورد استفاده قرار می گیرند، عبارتند از: روش طیفی مبتنی بر بار انتگرال گیری، روش طیفی مبتنی بر دیفرانسیل گیری و انتگرالگیری طیفی (فرم انتگرالی). در روش طیفی بار انتگرال گیری از طرفین معادله? دیفرانسیل بار انتگرال می گیریم. جواب معادله دیفرانسیل که بار از آن انتگرال گرفته شده را به صورت سری چبیشف نشان می دهیم. برای این کار نیاز است که چندجمله ای چبیشف را بر حسب مشتق مرتبه ام چند جمله ایهای چبیشف نشان دهیم ( مرتبه معادله دیفرانسیل است). در روش طیفی دیفرانسیل گیری ضرایب بسط تابع یعنی را بر حسب ضرایب بسط تابع که عبارتند از با استفاده از رابطه نمایش می دهیم. روش سوم به روش انتگرال گیری طیفی معروف است. در این روش با استفاده از قضایای روشهای بار انتگرال گیری و دیفرانسیل گیری طیفی، ضرایب جواب تقریبی را بدست می آوریم. در مسائل با ابعاد بیشتر از یک، وابسته یا غیر وابسته به زمان فرم دیگری از روش تاو را ارائه می کنیم. دراین روش معادلات حاصل از شرایط مرزی را بگونه ای در دستگاه اصلی اضافه می کنیم که اولاً یک دستگاه چند قطری بدست آید و ثانیاً مرتبه دستگاه کاهش یابد. روشهای طیفی تاو که در بالا به آنها اشاره شد برای مسائل غیرخطی از کارایی لازم برخوردار نیستند. بدین دلیل که اولاً فرمولبندی روش تاو برای مسائل غیر خطی به سختی صورت می گیرد. ثانیاً دستگاههای منتجه از اعمال روش طیفی تاو غیر خطی هستند که حل این دستگاهها مشکل می باشد. برای غلبه بر مشکلات فوق دو روش را ارائه می کنیم که در حل مسائل غیر خطی یک بعدی وابسته به زمان بخوبی عمل می کنند. در روش اول در بعد مکانی از روش گسسته سازی فوریه - گالرکین (شرایط مرزی تناوبی) یا چبیشف - کالوکیشن (شرایط مرزی غیرتناوبی) استفاده می کنیم تا یک دستگاه غیرخطی از معادلات دیفرانسیل معمولی بدست آید. برای حل این دستگاه وابسته به زمان از روش ، بسط تیلور و انتگرال کانتوری، استفاده کرده و روشی با خطای قطع موضعی از رتبه بدست می آوریم. آنالیز خطای روش نیز مورد بررسی قرار گرفته است. روش فوق از لحاظ عددی با روش که دارای خطای قطع موضعی است، رقابت می کند. اما روش فوق همچون روش در حل مسائلی با سختی زیاد موفق نیست. برای غلبه بر این مشکل و بدست آوردن جوابی با دقت مطلوب، روشی جدیدی تحت عنوان فوریه-گالرکین رانگه-کوتا مرتبه ? را ارائه می کنیم. در این روش در بعد مکانی از روش فوریه گالرکین (در عمل از تبدیل فوریه گسسته استفاده می شود ) و در بعد زمانی روش رانگه-کوتا مرتبه ? را بکار می بریم. در روش فوق با استفاده از تبدیل فوریه سریع، زمان محاسبه را کاهش می دهیم. نتایج عددی نشان دهنده? کارایی روش می باشند.

واضح است که در بررسی و حل مسائل مقدار اولیه - مرزی شامل معادلات دیفرانسیل پاره ای وابسته به زمان با گرفتن تبدیل لاپلاس از طرفین معادله [کورانت - هیلبرت ]، جدا کردن متغیرها (روش فوریه) [پتروسکی] و جایگذاری پارامتر به جای مشتقات نسبت به زمان به طور صوری (روش انتگرال کنتور) [رسول اف ] به یک مسئله کمکی (اسپکترال) می رسیم که به صورت یک مسئله مقدار مرزی (مستقل از زمان) وابسته به پارامتر می باشد. که به کمک حل مسئله اسپکترال، حل مسئله اصلی را (مسئله مرکب) به صورت انتگرال روی خط لاپلاس ، سری فوریه و انتگرال کنتور بدست می آوریم. بر این اساس هدف اصلی در این جا بررسی و حل مسئله مرکب می باشد که نخست به حل یک مسئله اسپکترال که شامل یک معادله دیفرانسیل معمولی که ضرایب آن وابسته به پارامتر بزرگ است می پردازیم. در ادامه، در حالت های مختلف بسط مجانبی جواب های مستقل خطی معادلهء همگن محاسبه می شود سپس بسط مجانبی جواب مسئله اسپکترال نوشته می شود. ریاضیدانانی چون بیرکهف ، تامارکین، تورژوتین، فشینکف ، شکیل نیکالنیکو، فدایوک ، علی اف و سایرین به بررسی این حالت ها برای معادلهء دیفرانسیل معمولی پرداخته اند. کاری که در این رساله صورت گرفته است از این جهت با کارهای قبلی انجام گرفته متفاوت است که در اینجا ریشه های معادله مشخصه به معنی بیرکهف در قسمتی از بازه مربوط به تغییرات متغیر مستقل متمایز و در قسمت دیگر بازه تغییرات متغییر مستقل ریشه های فوق تکراری هستند، در قسمت دوم پایان نامه به بررسی و حل مسئله اسپکترال، مسئله می پردازیم که شامل معادله دیفرانسیل مرتبهء دوم سه متغیره دو بعدی (یک متغیر زمان و دو متغیر فضا) همراه با شرایط مرزی غیرموضعی می باشد. ابتدا بسط مجانبی حل مسئله اسپکترال محاسبه می شودو سپس با اعمال عکس تبدیل لاپلاس جواب مسئله مرکب بدست می آید. در تمام این حالت ها ضرایب موجود در معادله دیفرانسیل وابسته به زمان نیستند.