موضوع این پایان نامه مطالعه ی خصوصیات گاماحلقه های اول ونیم اول می باشد. این پایان نامه مشتمل بر سه فصل اصلی می باشد. یک فصل به ارائه ی مطالبی از نظریه ی گاماحلقه ها اختصاص دارد که بیشتر مطالب آن تعمیم های گوناگونی از بخش های متناظر با آنها در حلقه ها می باشد. در این فصل به بررسی گاماحلقه, زیرگاماحلقه, ایده آل, گاماهمریختی و گاماحلقه های اول ونیم اول پرداخته ایم. فصل دیگر این پایان نامه دربردارنده ی شیوه ی ساخت گاماحلقه ی خارج قسمتی و مرکز تعمیم یافته ی یک گاماحلقه ی نیم اول و بررسی بسیاری از ویژگی های آنها بوده است. یکی از نتایج مهم این فصل بیان واثبات منظم بودن مرکز تعمیم یافته ی هر گاماحلقه ی نیم اول است. بالاخره در فصل آخر این پایان نامه مفاهیم مشتق و مشتق سه گانه ی جابجایی و کاربرد آنها را در گاماحلقه های اول و نیم اول مطرح کرده ایم و بسیاری از قضایای را که بیان کننده ی ارتباط بین مشتق و جابجایی بودن یک گاماحلقه است را آورده ایم.

هدف این رساله مطالعه ابرفضاهای برداری و ساختارهای فازی آنها است. در این راستا ابتدا به معرفی و بررسی ابرفضاهای برداری و بعد آنها پرداخته و خواص اصلی آنها را مورد مطالعه قرار می دهیم. در ادامه ابرفضاهای برداری فازی، ابرفضاهای برداری فازی تولید شده توسط یک زیرمجموعه فازی، هم مجموعه های فازی از یک زیرابرفضای فازی و ابرفضای برداری فازی خارج قسمتی را معرفی و نتایج اساسی در مورد آنها به دست می آوریم. در خاتمه مفاهیمی مانند استقلال خطی فازی، پایه فازی و بعد ابرفضای برداری فازی، یکریختی بین ابرفضاهای برداری فازی و آزادی فازی بر اساس نقاط فازی را بررسی می کنیم.

در فصل اول ابتدا حلقه دیفرانسیل را معرفی کرده و در ادامه تعاریف مقدماتی مانند ایده آل اول دیفرانسیل – ایده آل نیم اول دیفرانسیل و عضو پوچ توان را بیان می کنیم و سپس به تعریف رادیکال اول دیفرانسیل که اشتراک همه ی ایده آل های اول دیفرانسیل است می پردازیم. همچنین ثابت می کنیم که برای حلقه های دیفرانسیل اشتراک همه ی ایده آل های نیم اول دیفرانسیل و مجموعه ی همه ی عضوهای پوچ توان برابرند. در ادامه نشان می دهیم درهر q-جبر رادیکال اول دیفرانسیل است. در فصل دوم به بررسی جبر ریت و حلقه دیفرانسیل کایگر پرداخته و مفاهیم جدیدی از جمله همریختی دیفرانسیل- صفر دیفرانسیل- یکه دیفرانسیل و ... را معرفی کرده و قضایایی را در این رابطه بیان و بررسی می کنیم. فصل سوم در رابطه با ابرساختارهای جبری و حلقه دیفرانسیل همه ی توابع مشتق پذیر پیوسته روی بازه ی j است. در این فصل نشان داده می شود که حلقه دیفرانسیل معرفی شده شبه ابرگروه است که لزوما جابجایی نیست. در این فصل همچنین روش آبلی سازی و ساختن ابر عمل جابجایی برای این حلقه بیان می شود. در فصل چهارم به تعمیم مفهوم حلقه دیفرانسیل پرداخته و حلقه دیفرانسیل (3و3)-تایی را معرفی می کنیم. همچنین تعاریفی مانند ایده آل دیفرانسیل (3و3)-تایی – ابرگروه 3-تایی و ... را بیان می کنیم. در ضمن قضایا و گزاره های نیز در این رابطه مورد بررسی قرار می گیرند.

این پایان نامه مشتمل برسه فصل است که در فصل اول برمفاهیم مربوط به گروه ها ومدولها پرداخته شده است . در فصل دوم مطالبی در مورد عمل گروه بر روی گروه و قضا یای مربوط به آن آورده شده است و همچنین به معرفی حاصل ضرب خوشه ای و تانسوری می پردازیم.در فصل سوم که مهمترین فصل ازاین پایان نامه می باشد ابتدا زنجیرفیتینگ وطول فیتینگ را تعریف می کنیم ودر بخش دوم از این فصل به بررسی عمل بدون نقطه ثابت روی گروه های متناهی می پردازیم . در بخش سوم نشان می دهیم که هرگاه aگروه آبلی متناهی باشد و روی گروه حل پذیر g بدون نقطه ثابت عمل کند آن گاه تابع خطی مانند fموجود است که طول فیتینگ راکران دارمی کند.

در این رساله، با در نظر گرفتن مفهوم جبرهای منطقی، به مطالعه ی آن ها می پردازیم. در فصل سوم، با در نظر گرفتن مفهوم مشبکه های مانده ای و bl-جبرها، ارتباطی میان تعدادی از مهم ترین قضیه های جبرجابجایی و نظریه ی bl-جبرها برقرار می کنیم. قضیه های باقی مانده ی چینی، بالا رفتن و رو قرار داشتن را اثبات می کنیم و نوع خاصی از موضعی سازی را، که به آن شبه موضعی سازی می گوییم، بر روی bl-جبرها معرفی و مطالعه می کنیم. در فصل چهارم، با در نظر گرفتن مفهوم mv-جبرها، ابتدا mv-جبرهای از مرتبه ی کوچک را رده بندی می کنیم؛ سپس ارتباط میان mv-جبرها و مجموعه های ناهموار را مورد مطالعه و بررسی قرار می دهیم. در فصل پنجم، با دو نوع ابرmv-جبر کار می کنیم. ابرmv-جبری که توسط ما معرفی شده و در بخش اول مورد مطالعه قرار می گیرد را ابرmv-جبر نوع اول و ابرmv-جبری که در بخش بعد مورد مطالعه قرار می گیرد را ابرmv-جبر نوع دوم می نامیم. در بخش دوم، با در نظر گرفتن مفهوم ابرmv-جبر نوع دوم، همریختی ها، ایده آل ها و mv-جبرهای اساسی را مطالعه می کنیم. در فصل ششم، با در نظر گرفتن مفهوم ابرمشبکه، بازتعریفی از ابرمشبکه ها ارائه می دهیم؛ سپس رابطه ی اساسی را بر روی انواع ابرمشبکه ها تعریف و مطالعه می کنیم. در بخش سوم، قضیه هایی در باب ابرمشبکه ها و مشبکه های اساسی بیان و اثبات می کنیم. در بخش آخر، با تعریف توپولوژی زارسکی بر روی ابرمشبکه ها به مطالعه ی ارتباط میان آن ها می پردازیم.

در این پژوهش یک رابطه ی هم ارزی بر روی مجموعه ی تمام زیرمجموعه های فازی گروه g تعریف کرده ایم. با توجه به این رابطه ی هم ارزی برای محاسبه ی تعداد زیرگروه های فازی متمایز گروه g کافی است تعداد زنجیرهای از زیرگروه های g که به g ختم می شوند را محاسبه کنیم. در این زمینه اصل شمول-عدم شمول دارای نقش اساسی است. در بسیاری از موارد از جمله در گروه دوری، p-گروه آبلی مقدماتی، رده ای خاص از گروه هامیلتونی، گروه دووجهی و گروه دودوری این اصل ما را به روابط بازگشتی می رساند. برخی از این روابط بازگشتی به آسانی قابل حل هستند. در مورد یک گروه دودوری با توجه به اینکه هر زیرگروه ماکسیمالش دوری یا دودوری است و تعداد زیرگروه های فازی متمایز یک گروه دوری را می توان محاسبه نمود، با استفاده از اصل شمول-عدم شمول یک رابطه ی بازگشتی را ارائه کرده ایم که در برخی از حالت های خاص از جمله زمانی که گروه دودوری یک گروه چهارگان تعمیم یافته است قابل حل می باشد.

ارتباط های مختلف بین ابرساختارها و مجموعه های فازی توسط پژوهشگران بسیاری در کشورهای مختلف مورد بررسی و مطالعه قرار گرفته است. این پژوهش بر روی ارتباط بین ابرگروه ها و مجموعه های فازی بنا شده و مشتمل بر سه فصل است. یک ارتباط بین ابرگروه ها و مجموعه های فازی توسط کرسینی معرفی شد و فصل اول بر پایه ی همین ارتباط است. این ارتباط منجر به ایجاد یک دنباله ی مجموعه های فازی و فضاهای الحاقی شد که اگر دو فضای الحاقی متوالی یکریخت باشند، دنباله متوقف می شود و طول دنباله ی فضاهای الحاقی وابسته به ابرگروه وار h، درجه ی فازی ابرگروه وار hنامیده می شود. در این فصل شرایط کافی برقرار می کنیم تا به فضاهای الحاقی متوالی غیر یکریخت در دنباله ی مجموعه های فازی و فضاهای الحاقی برسیم و درجه ی فازی را در بعضی از حالت های خاص ابرگروه ها بررسی می کنیم. همچنین به ویژگی های فضاهای الحاقی وابسته به ابرگروه وار h می پر دازیم. یک بحث دیگر روی ارتباط بین ابرگروه ها و مجموعه های فازی توسط کرسینی معرفی شد و فصل دوم بر اساس همین ارتباط بنا شده است. در این فصل نتایج جدید درباره ی ابرساختارهای متناهی وابسته به مجموعه های فازی همراه با دو تابع عضویت را بیان کرده و همچنین تعدادی از زیر ابرگروه های فازی ابرگروه های با دو تابع عضویت را ارائه می کنیم. ارتباط بین ابرگروه وارها و مجموعه های فازی شهودی توسط کریستی و دواز مورد بررسی قرار گرفت و ایده ی درجه ی فازی یک ابرگروه بین مجموعه های فازی شهودی گسترش یافت که در فصل سوم به این ارتباط خواهیم پرداخت. علاوه بر این درجه ی فازی شهودی را در بعضی از حالت های خاص ابرگروه ها، مانند i.p.s ابرگروه ها و ابرگروه های کامل متناهی مورد بررسی قرار می دهیم.

در این پایان نامه، پس از بیان مفاهیم و مقدمات لازم، به بررسی ساختارهای جبری از نظریه مجموعه های ناهموار پرداخته و بر اساس مفهوم مجموعه های تعریف پذیر در نظریه مجموعه های ناهموار، دو زیرجبر بولی مهم در نظریه ی مجموعه های ناهموار تعمیم یافته بیان می شود و الگوریتمی برای محاسبه ی اتم های این جبرها ارائه می شود. پس از آن، به بیان تعمیمی از مجموعه های ناهموار روی مشبکه های فازی پرداخته و سپس با استفاده از مشبکه ی ماتریسی، الگوریتمی ساده برای محاسبه ی تقریب های پایین و بالا از یک مجموعه ی مرجع متناهی ارائه می شود، همچنین با معرفی دستگاه اصولی از مجموعه های ناهموار روی مشبکه های فازی، یک رویکرد اصولی از تقریب بالا بیان می شود. در ادامه، با استفاد از مفهوم ایده آل فازی هم اول به بیان تعمیمی از مجموعه های ناهموار با استفاده از مفهوم نقطه ی مرجع می پردازیم و در پایان با تعریف زیر مدول فازی هم اول به بیان کاربرد نقاط مرجع در مدول ها پرداخته و به این وسیله تعمیم دیگری از مجموعه های ناهموار ارائه می دهیم.

هدف اصلی این پژوهش بررسی قضیه توسیع مک ویلیامز بوده که در 3 فصل تنظیم شده است. ابتدا در فصل اول به بیان تعاریف و مفاهیم مقدماتی می پردازیم. بخش های ابتدایی این فصل مفاهیم اولیه نظریه حلقه ها و مدول ها بوده و در انتهای فصل با بیان چند قضیه و لم، خواص حلقه های شبه فروبنیوسی و فروبنیوسی را(که ارتباط مستقیم با قضیه توسیع(هم ارزی) مک ویلیامز در فصل سوم دارند)، مورد بررسی قرار می دهیم. در فصل دوم، با بیان مفاهیم کد، کدهای خطی و قضایای مرتبط با آن ها، اصول و مفاهیم مقدماتی نظریه کدگذاری را تعریف می کنیم. همچنین در انتهای این فصل، قضیه مهم مک ویلیامز و در فصل سوم، قضیه هم ارزی مک ویلیامز برای کدها روی حلقه های فروبنیوسی متناهی را بیان و اثبات می کنیم.

مفهوم ? - حلقه ها توسط نوباسوا معرفی شد و بلافاصله بعد از وی در سال 1966، بارنس این مفهوم را توسعه داد و نتایجی به دست آورد. مفهوم ? - نیم حلقه ها نیز توسط روآ به عنوان توسیعی از ? - حلقه ها معرفی شد. قالب اصلی این رساله بیان مفاهیم و اثبات قضیه های گوناگون در ? - نیم ابر حلقه ها است. مفهوم نیم گروه سه تایی توسط باناخ معرفی شد. وی با استفاده از مثالی نشان داد که یک نیم گروه سه تایی قابل تبدیل به یک نیم گروه معمولی نیست. در این رساله مفاهیم ? -نیم ابرحلقه و ? - نیم ابرحلقه سه تایی معرفی می شوندکه تعمیمی از نیم حلقه، نیم ابرحلقه و ابرحلقه هستند. مفهوم? - نیم ابرحلقه ها، توسیعی از نیم حلقه ها، نیم ابرحلقه ها و ? - نیم حلقه ها است. سپس مفهوم ایده آل ناهموار (ایده آل اول ناهموار) مورد بررسی قرار گرفته است. همچنین رابطه ی بین تقریب بالایی و تقریب پایینی مطالعه شده است. در ادامه، مفهوم حاصل ضرب مختلط معرفی و نتایج مرتبط بدست می آیند. به علاوه، وجود عملگری همورد بین همدسته?? نیم-ابرحلقه ها و همدسته نیم حلقه ها بررسی می شود. در نهایت، مفاهیم ? - نیم ابر حلقه های منظم و ساده معرفی و وجود عملگری همورد بین همدسته ? -نیم ابر حلقه های جابجایی ضعیف و نیم حلقه ها بررسی می شوند. واژه های کلیدی: ? - نیم ابرحلقه، نیم ابرحلقه سه تایی، تقریب بالایی و پایینی، حاصلضرب مختلط، نیم حلقه اساسی.

در این رساله، ابتدا برخی تعاریف و قضایای مقدماتی (نیم)ابرگروه ها را بیان سپس مفهوم (نیم)ابرگروه های مرتب جزیی را تعریف می کنیم. در ادامه ?-نیم ابرگروه ها را که تعمیمی از ?-نیم گروه ها و نیم ابرگروه ها است را معرفی کرده و رابطه اساسی روی ?-نیم ابرگروه ها را به عنوان کوچک ترین رابطه هم ارزی منظم قوی، مطالعه می کنیم. همچنین ایده آل های اول و نیم اول یک ?-نیم ابرگروه را بررسی می کنیم. ?-نیم ابرگروه های وابسته به یک مجموعه از روابط دوتایی را معرفی کرده و شرط های لازم و کافی را ارایه می کنیم به طوری که s یک ?-نیم ابرگروه شود که در آن ? یک مجموعه از روابط دوتایی روی s است. در ادامه، مفهوم ?-نیم گروه های n-تایی را به عنوان تعمیمی از نیم گروه های n-تایی و ?-نیم گروه ها معرفی می کنیم. سپس نیم گروه n-تایی عملگر وابسته به یک ?-نیم گروه n-تایی را تعریف کرده و ارتباط بین آنها را بررسی می کنیم. روابط هم ارزی گرین را برای یک ?-نیم گروه n-تایی بیان و برخی خواص آن ها را اثبات می کنیم. در فصل آخر، ابرگروه های توپولوژیک از نوع مارتی و پلی گروه های توپولوژیک را مطالعه کرده و با در نظر گرفتن توپولوژی خارج قسمتی القا شده توسط رابطه اساسی، نشان می دهیم که اگر هر زیرمجموعه باز آن یک ابرگروه توپولوژیک یک بخش کامل باشد، آنگاه گروه اساسی آن یک گروه توپولوزیک است. در پایان، قضایای یکریختی را برای پلی گروه های توپولوژیک بیان و اثبات می کنیم.

یکی از روش های دستیابی به توسعه پایدار شهری که در دهه های اخیر مطرح گردیده "بومی شناسی صنعتی" است. بومی شناسی صنعتی در جستجوی دستیابی به توسعه پایدار از طریق عدم انجام فعالیت هایی است که اکوسیستم و زندگی انسان را به مخاطره می اندازد. مکان یابی شهرک های صنعتی مبتنی بر ویژگی های توسعه پایدار یکی از موثرترین اقدامات برای دستیابی به بومی شناسی صنعتی و پس از آن توسعه پایدار شهری است چه آن که شهرک های صنعتی مبتنی بر ویژگی های توسعه پایدار بخش مهمی از استراتژی های اقتصادی و برنامه ریزی های شهری کشورهای مختلف مخصوصاً کشورهای درحال توسعه به شمار می رود. در این پژوهش سعی شده است تا معیارهای انتخاب مکان با توجه به هدف توسعه ی پایدار بازنگری شود و در نتیجه معیارهایی برای مکان یابی شهرک های صنعتی مطرح شود که با هدف توسعه پایدار هماهنگ باشد. سپس به ارزیابی مکان یابی شهرک صنعتی یزد با استفاده از توابع فازی می پردازد. نتایج حاصل از پژوهش نشان می دهد که در مکان یابی شهرک صنعتی یزد معیارهای اجتماعی و اقتصادی در اولویت بوده و توجه کمتری به معیارهای زیست محیطی شده است.

کاربرد‎ گراف در تمامی علوم بر کسی پوشیده نیست. مثلاً کاربردهای زیادی از این نظریه در شیمی‏، فیزیک‏، نانو و ... دیده شده است. یکی از مفاهیمی که در سال های اخیر ارتباط قوی با شیمی برقرار کرده‏، انرژی گراف و کاربرد های آن است. هم چنین بررسی خواص جبری گراف ها مورد توجه بسیاری از ریاضیدانان بوده است. در سال های اخیر مطالعه روی گراف هایی که انرژی آن ها از گراف کامل بیشتر است‏‏، انجام گرفته است. فصل اول ‎‎شامل دو بخش است‏، که در بخش اول مفاهیم مقدماتی در رابطه با نظریه ی گراف که پیش نیازی برای فصل های آتی می باشد‏، بیان کرده ایم. مطالب این بخش را از مراجع ‎‎[5,3, 26,8] انتخاب نموده ایم. در بخش دوم ضمن یادآوری مفاهیم گروه به بررسی اجمالی طرح های بلوکی و ماتریس های هادامارد و توابع حسابی که در فصل های بعد مورد استفاده قرار می گیرند‏، می پردازیم. ‎‎مطالب این بخش را از مر‎اجع [30,29,28,26,19]‎‎‎انتخاب نموده ایم. در فصل دوم در مورد انرژی گراف و این که گراف ها از جمله گراف های دو بخشی دارای انرژی ماکسیمال هستند سخن می گوییم و در بخش پایانی این فصل گراف های هم انرژی را مورد بررسی قرار می دهیم و سعی می کنیم زوج گراف های همبند و هم انرژی بسازیم. ‎مطالب‎‎ این فصل را از مراجع [27,17,16,13] انتخاب نموده ایم. فصل سوم را با بررسی گراف های فراانرژی از جمله گراف های کیلی واحد‏، گراف های قویاً منتظم اولیه‏، گراف دوری و گراف مربع لاتین به پایان می رسانیم.‎‎‎‎‎ مطالب این فصل را از مراجع ‎‎[25,22,21,15,11,10,4,1]‎‎ انتخاب نموده ایم. ‎‎

فرض کنید ‎$r$‎ حلقه‎ ‎ی تعویض‎‎ پذیر,‎ یکدار و ‎$m$‎ یک ‎$r$-‎مدول یکانی است. مدول ‎$m$‎ را مدول ضربی می‎ نامند,‎ هرگاه برای هر زیرمدول ‎$n$‎ از مدول ‎$m$‎ ایده آل ‎$i$‎ از حلقه ی‎ ‎‎‎‎‎‎$r$‎ وجود داشته باشد به طوری که ‎$mi=n$‎. در این پایان‎ ‎نامه برای ‎$r$-‎مدول ضربی ‎$m$‎ حلقه‎ ‎ی ‎$m^{ast}$‎ شامل درون‎ ریختی ‎های ‎$m$‎ بررسی می‎ شود.‎ رابطه بین زیرمدول‎ ‎های اول(ماکسیمال) از مدول ‎$m$‎ با ایده آل‎ ‎های اول(ماکسیمال) از حلقه‎ ‎ی ‎$m^{ast}$‎ بیان می‎ گردد.‎ هم چنین در این پایان‎ ‎نامه دو رده‎ ‎بندی از ایده آل‎ ‎های حلقه‎ ‎ی ‎$m^{ast}$‎ یعنی ایده آل‎ ‎های ‎$g_{m^{ast}}(m,n)$‎ و ‎$g_{m^{ast}}(n,0)$‎ را برای هر زیرمدول ‎$n$‎ از مدول ‎$m$‎ بیان می‎ کنیم.‎ در نهایت نشان می‎ ‎دهیم که ‎$g_{m^{ast}}(m,n)$‎ یک ایده آل راست از حلقه‎ ‎ی ‎$m^{ast}$‎ است در حالی که ‎$g_{m^{ast}}(n,0)$‎ یک ایده آل چپ از حلقه‎ ‎ی ‎${m^ast}$‎ است. ‎‎‎

دراین پایان نامه در باره کاربرد نظریه مجموعه های ناهموار در سیستم های اطلاعاتی بحث می کنیم. در واقع در این پایان نامه نظریه ی مجموعه های ناهموار را با نظریه مجموعه های فازی با تابع مقدار فاصله ای ترکیب می کنیم و به معرفی سیستم های اطلاعاتی فازی با تابع مقدار فاصله ای می پردازیم. همچنین تقریب ناهموار یک مجموعه ی فازی با تابع مقدار فاصله ای روی مجموعه مرجع u را به عنوان یک فضای تقریب پاولاک مورد مطالعه قرار داده و فضای تقریب پاولاک را تعمیم می دهیم و چند نتیجه خاص از این عملگر های تقریب را بررسی می کنیم. در ادامه به معرفی برخی کاربرد های نظریه مجموعه های ناهموار می پردازیم و در باره ساده سازی سیستم های اطلاعاتی فازی با تابع مقدار فاصله ای بحث کرده و با ارائه مثال هایی روشی برای کسب دانش و آگاهی بیشتر از این سیستم های اطلاعاتی فازی بیان می کنیم.

هدف این پایان بررسی نوارهای برخی از نیم گروه هاست. ابتدا در فصل اول به ارائه ی برخی از تعاریف و قضایای مقدماتی می پردازیم که در فصل های بعد مورد استفاده قرار می گیرد و با استفاده از رادیکال های اصلی، مشخصات کوچک ترین نیم مشبکه ی هم نهشت روی یک نیم گروه را بیان می کنیم. در فصل دوم ویژگی های نوارهای نیم کروه های ?-ساده،?n-ساده و ?-ساده را مشخص می کنیم و درانتهای فصل ویژگی نیم گروه هایی را بیان می کنیم که یک نیم مشبکه از نیم گروه های ?n-ساده اند. در فصل سوم نیم گروه هایی را بررسی می کنیم که هر زیرنیم گروهشان ارشمیدسی است و مشبکه ی این نیم گروه ها را مطالعه می کنیم. هم چنین مشخصات نیم مشبکه ی ماتریس های نیم گروه های ارشمیدسی چپ و به طور خاص ماتریس های نیم گروه های ارشمیدسی چپ را ارائه می دهیم. در بخش آخر شرایط یک نوار از نیم گروه های ارشمیدسی را به دست می آوریم. ا در آخرین فصل نیم گروه های الحاقی-توانی را تعریف کرده و نیم گروه هایی را مشخص می کنیم که نوارهایی از نیمگروه های الحاقی-توانی هستند.

گراف های وابسته به ساختارهای مختلف جبری تعریف شده واخیراً نتایج بسیار جالبی هم بدست آمده است. فرض کنیم $x$ یک زیرمجموعه از اعداد صحیح مثبت است و $xin x$. منظور از $(pi(x$، مجموعه ی شمارنده های اول $x$ است. قرارمی دهیم ${1}x*=x$. در این صورت گراف اول، گراف مقسوم علیه مشترک و گراف دوبخشی مقسوم علیه مشترک $x$ را به ترتیب با نمادهای $(delta(x)$، $gamma(x$ و $(b(x$ نشان داده و به صورت زیر تعریف می کنیم. گراف اول گرافی است غیر جهت دار با مجموعه ی رأسی متشکل از اجتماع شمارنده های اول همه ی اعضای $x$ ، به طوری که دو رأس در این گراف مانند $p$ و $q$ مجاورند هرگاه عضوی از $x$ مانند $x$ موجود باشد که $pq$ شمارنده ی $x$ باشد. گراف مقسوم علیه مشترک گرافی است غیر جهت دار با مجموعه ی رأسی اعضای غیربدیهی $x$، به طوری که دو رأس از این گراف مجاورند هرگاه نسبت به هم اول نباشند. گراف دوبخشی مقسوم علیه مشترک گرافی است غیر جهت دار که مجموعه ی رأسی اش اجتماع مجزا از مجموعه های رأسی گراف اول و گراف مقسوم علیه مشترک است. یک عضو مانند $p$ از بخش اول با یک عضو مانند $x$ از بخش دوم مجاورند، هرگاه $p$ شمارنده ی $x$ باشد. هدف اصلی از این بحث معرفی گراف دوبخشی مقسوم علیه مشترک برای حاصل ضرب دو زیرمجموعه از اعداد صحیح مثبت و بررسی خواص ترکیبیاتی آن و استفاده از این خواص در نظریه گروه های متناهی است. یک تعمیم بسیار جالب از گراف مقسوم علیه مشترک $ip$-گراف نامیده می شود. درقسمت دوم این رساله ما فرم دوبخشی از $ip$- گراف را معرفی کرده و برخی خواص این گراف را مورد مطالعه قرار می دهیم.

هدف اصلی این پایان نامه، بررسی مفهوم بعد ابرفضاهای برداری روی میدانها و ابرمیدانها و در باشد. در فصل اول مفاهیم کلیدی و مورد نیاز در این پایان نامه ذکر می شوند. در فصل دوم ضمن ارائه مفهوم ابذفضای برداری روی یک میدان مفروض (با شرط تالینی)، استقلال و وابستگی خطی، پایه، بعد یک ابرفضای برداری و تبدیلات خطی بررسی می گردند. همچنین مفهوم ابرفضای برداری خارج قسمتی و یکریختی ابرفضاهای برداری ارائه و رابطه اساسی روی یک ابرفضای برداری تعریف و برخی از خواص آن مورد بررسی قرار می گیرد. در فصل سوم به جای استفاده از ابرگروه آبلی از پلی گروه آبلی و به جای میدان از ابرمیدان کراسنر استفاده می شود و با تعریف جمع مستقیم دو زیر ابرفضای برداری، بعد آن به دست می آید. سر انجام در فصل چهارم به جای میدان از ابرمیدان کراسنر و به جای گروه آبلی از ابرگروه کانونی n تایی استفاده شده و مفاهیم استقلال و وابستگی خطی، پایه و بعد در این ابرفضا تعمیم می یابد و در پایان با ارائه قضایای یکریختی در مورد دو زیر ابرفضای برداری n تایی، به اثبات این قضایا پرداخته می شود.

در این پایان نامه خواصی از حلقه ی r را با در نظر گرفتن ?(r)‘ گراف مقسوم علیه صفر r‘ تحت عمل منظم g روی x بدست می آوریم. در فصل دوم ، فرض می کنیم r ‎ یک حلقه جابجایی یکدار، ‎ x مجموعه تمام غیر یکال های ناصفر r و g گروه تمام یکال های r است. اگر r یک حلقه و x اجتماع تعداد متناهی مدار تحت عمل منظم g روی x باشد، آن گاه نشان می دهیم که تعداد تمام ایده آل ها متناهی و بزرگتر یا مساوی تعداد مدارها است. در فصل سوم، فرض می کنیم r=mat_2(f) حلقه تمام ماتریس های ‎2×2‎ روی یک میدان متناهی، x مجموعه تمام غیر یکال های ناصفر r و g گروه تمام یکال های r است. پس از بررسی بعضی خواص تحت عمل منظم چپ ‎(راست) g روی x نشان می دهیم که گروه خودریختی گراف ?(r) (گراف مقسوم علیه صفر ‎ r)‎ با گروه متقارن ‎ s_(‎"?" f" ?" +1)از درجه یکریخت است. در فصل آخر، فرض می کنیم ‎ r=mat_n(f) حلقه تمام ماتریس های n× n روی میدان متناهی f است. نشان می دهیم که گروه خودریختی های گراف ?(r) گراف مقسوم علیه صفر r با گروه s_t گروه متقارن از مرتبه t که در آن t تعداد مدارها تحت عمل منظم است. واژه های کلیدی: گراف مقسوم علیه صفر، گروه خودریختی های گراف، عمل منظم، مدار

چکیده در این رساله ابتدا رابطه ی اساسی tua^* ‎ را روی ابرگروه h چنان تعریف می کنیم به طوری که خارج قسمتی ^*h/tua (مجموعه تمام رده های هم ارزی) یک گروه حل پذیر شود. ‏بنابر این یک رده از گروه های حل پذیر را که با این رابطه ی منظم قوی به دست‎ می آید را مشخص کرده و چندین قضیه و نتیجه را در رابطه با این موضوع به دست می آوریم. هم چنین رابطه ی اساسی nu^*‎ را روی ابرگروه ‎h‎ معرفی کرده به طوری که خارج قسمتی *^h/nu (مجموعه تمام رده های هم ارزی) یک گروه پوچ توان می شود. به علاوه زیر پلی گروه مشتق یک پلی گروه را تعریف کرده و با آن پلی گروه حل پذیر و پوچ توان را معرفی می کنیم و به تجزیه و تحلیل آن ها می پردازیم. نتایج ارزشمندی را روی این موضوع جدید به دست می آوریم. در ادامه مفهوم پلی گروه کامل را تعریف کرده و با مثال های متعدد موضوع را بررسی می کنیم. هم چنین روی ابر ضرب tua -چند - نیم مستقیم یک پلی گروه بحث می کنیم‎.‎ در ‏پایان ابرگروه‎‏ های که توسط وارلت‎ و کُمر از مشبکه ها به دست آمده اند را مورد مطالعه قرار می دهیم‎‎‏‏، هم چنین وارلت- ابرگروه ها و کُمر- ابرگروه ها را به ترتیب با مرتبه کمتر از 50‎ و13‎ شمارش می کنیم.

در این پایان نامه به مطالعه ی مقادیر ویژه ی گراف ها پرداخته و کران های بالا و پائین برای مقادیر ویژه ی گراف را مطالعه خواهیم کرد. هم چنین به اختصار به بررسی کران های بالا و پائین مقادیر ویژه ی لاپلاسین گراف خواهیم پرداخت.

در این پایان نامه ابتد امفاهیم گوناگونی از نظریه گروه های متناهی مانندg-مدول ها، -fg مدول ها، -gمدارها و مدارهای منظم تعریف می شوند. در ادامه گروه های حل پذیر و گروه های کاملاً تحویل پذیر و g‎- مدول های کاملاً تحویل پذیر نیز معرفی می گردد. هدف اصلی این پایان نامه این است که نشان دهیم اگر ?یک مجموعه از اعداد اول فرد، g یک گروه ?- حل پذیر متناهی و h‎ یک p‎- زیرگروه هالg باشد، آن گاه x,y متلق به g وجود دارد به طوری که اشتراک h و h به توان x و h به توان y برابر است با اشتراک p-زیرگروه های نرمال g است. ‎

عوامل اصلی در مسائل مربوط به استدلال فضایی شامل نمایش اطلاعات‏، نمایش و مدیریت ابهام‏، ترکیب اطلاعات ناهمگن و تصمیم گیری است. ‎در این پایان نامه ‎‎به منظور مطالعه ی استدلال فضایی در پردازش تصویر‏، مهم ترین رویکردهای فازی برای تعریف روابط فضایی شامل روابط توپولوژیکی (روابط مجموعه ها و مجاورت) و روابط متریکی (فاصله ها و موقعیت نسبی ‎‎جهتدار) بیان می شوند. فصل اول شامل مقدماتی درباره ی نظریه مجموعه های فازی‏، برخی عملگرهای مجموعه ای برای مجموعه های فازی‏ و ‎مفاهیم اولیه ی هندسه ی مسطحه فازی می باشد. در فصل دوم‏، روش های کلی و معمولی که می توانند برای تعریف یک رابطه ی فازی با استفاده از هم ارز معمولیشان‏ استفاده شود‏، در سه کلاس دسته بندی می شوند.‎‎ ‎سپس‎ روابط نظریه مجموعه ها (اشتراک‏ و شمول ‏فازی) و رابطه ی توپولوژیکی مجاورت معرفی می شوند. کلاس بندی فاصله های فازی نسبت به شرایط لازم برای کاربرد در پردازش تصویر تحت ابهام در فصل سه ارائه می شود. در فصل چهارم روابط فضایی بین نقاط (معمو‎‎لی‏ ‎‎‎و فازی‏) و ناحیه ها (معمولی‏ و فازی) تعریف می شوند. سپس برخی از رویکردهای فازی موجود برای ارزیابی موقعیت نسبی جهتدار بین اشیاء در تصویر ارائه می شود و در نهایت این رویکردها مقایسه می شوند. همچنین‏، مثال هایی از کاربرد این تعاریف در پردازش تصویر بیان شده است.

مرجع اصلی مطالعه ی ما در این پایان نامه‏، مقاله ی ابودنیا و سلاما با عنوان « تعمیم فضاهای تقریب ناهموار پاولاک با استفاده از مجموعه های ‎$‎‎‎‎delta‎ ‎eta‎$‎‎‎-باز » است. نظریه ی مجموعه های ناهموار پاولاک تعمیم یافته را در یک مدل توپولوژیکی بررسی می کنیم به طوری که تقریب ها با استفاده از مفهوم توپولوژیکی مجموعه های ‎$‎‎‎‎delta ‎‎‎eta‎‎$‎-باز‎ تعریف می شوند. برخی از نتایج مفهوم توپولوژیکی مجموعه های ‎$‎‎‎‎delta ‎eta‎ ‎‎$‎-باز مورد مطالعه قرار گرفته است. ‎‎‎ به علاوه‏، مفاهیمی از مجموعه های فازی‏، از قبیل مجموعه های نیم باز فازی‏، ‎$‎‎‎‎alpha‎$‎‎-باز فازی‏، پیش باز فازی‏، ‎$‎‎‎‎eta‎$‎‎-باز فازی‏، ‎$‎‎‎‎delta‎ ‎eta‎$‎‎-باز فازی‎‏‎ در فضای توپولوژیک فازی را معرفی کرده و خاصیت های پایه ای این مجموعه های فازی را مورد بررسی قرار می دهیم. در بین ‎نتایج‎ مختلف‏، رابطه ی بین بستار و درون این مجموعه های فازی را مورد بررسی قرار داده ایم.

در این پایان نامه ضمن تعریف عضوهای تمیز و نیم تمیز از یک حلقه، حلقه های تمیز و نیم تمیز معرفی و با ارائه مثال هایی ارتباط میان این حلقه ها بررسی می شودو نشان داده می شود که مجموعه ی یک حلقه ی تمیز یک زیر مجموعه های سره ازحلقه ی نیم تمیز است. در ادامه ایده آل نیم تمیز به عنوان تعمیمی از حلقه های نیم تمیز معرفی و بررسی می شود. در پایان ارتباط میان حلقه های تمیز-پوچ، نیم تمیز- پوچ،مناسب، نیم مناسب و قوی بررسی می شود.

رنگ آمیزی گراف یکی از معروفترین و پرکاربردترین مباحث در نظریه گراف است. رنگ آمیزی گراف ابتدا در سال 1880 با حدس چهارنگ مطرح شد. این حدس بیان می کرد که هر نقشه را می توان با چهار رنگ، رنگ آمیزی کرد. چندین رنگ آمیزی گراف وجود دارد که رنگ آمیزی رأسی یا یالی گراف بیشترین توجه را به خود جلب کرده اند. در فصل اول این پایان نامه ابتدا مقدماتی از نظریه گراف، که در طول پایان نامه مورد نیاز است، بیان می گردد. در فصل دوم که شامل چهار بخش است به تعاریف و مفاهیم مربوط به رنگ آمیزی گراف می پردازیم. بخش اول رنگ آمیزی رأسی را معرفی می کنیم. در بخش دوم که پایه این پایان نامه می باشد، رنگ آمیزی یالی را تعریف کرده و قضایا مربوط به آن که در فصل سوم مورد استفاده قرار می گیرد را اثبات می کنیم. در بخش سوم، رنگ آمیزی تام گراف را معرفی می کنیم و در واقع این رنگ آمیزی اجتماع دو رنگ آمیزی رأسی و یالی می باشد. در بخش آخر، تنها چند تعریف از دیگر رنگ آمیزی های گراف را مطرح می کنیم. در فصل سوم کلاس بندی گراف را تعریف می کنیم و در این رابطه چندین گراف را تعریف و کلاس آن ها را بیان می کنیم.

یکی از مدل های ارائه شده برای کشف دانش از داده های دورگه مدل مجموعه ناهموار است. چندین مدل مجموعه ناهموار فازی و یک مدل مجموعه ناهموار همسایگی در طی سال های اخیر ارائه شده اند. این مدل ها برای پردازش داده های دورگه با اهداف بخصوصی به کار می روند‏، بنابراین انتخاب مدل مناسب از بین مدل های موجود امر مهمی است. در این پایان نامه دانه های اطلاعاتی معرفی و ارتباط بین مدل های موجود برای پردازش دانه های اطلاعاتی دورگه بررسی می شود. تجزیه و تحلیل روابط بین مدل های موجود نشان می دهد که تقریب ناهموار فازی هو حالت خاصی از تقریب ناهموار فازی وانگ و همسایگی است. علاوه بر این تناظر یک به یکی بین تقریب ناهموار همسایگی و فازی وانگ وجود دارد.

اخیرأ، کدهای بر روی حلقه های متناهی توجه زیادی را به خود جلب کرده است. یک مجموعه ‎$‎ -‎n $‎تایی بر روی حلقه ی ‎$ r $‎ را یک کد خطی بر روی ‎$ r $‎ گویند هرگاه یک ‎$‎ -‎r $‎مدول باشد. یک کد دوری بر روی حلقه ی ‎$ r $‎ از طول ‎$ n $‎، یک کد خطی است با این شرط که اگر ‎$ (c_0‎, ‎c_1‎, ‎ldots‎, ‎c_{n-1}) in c$‎ آن گاه ‎$ (c_{n-1}‎, ‎c_0‎, ‎ldots‎, ‎c_{n-2}) in c$‎. کدهای دوری ایده آل های حلقه ی ‎$ r_{n}=frac {r[x]}{<x^n-1>} $‎ هستند. در ابتدا یک بررسی درباره کدهای دوری بر روی حلقه ها‎ از جمله حلقه ی ‎ $mathbb{z}_{4}$‎ و حلقه ی گالوای ‎$ gr(q‎, ‎l) $‎ انجام می شود، به طوری که ‎$ gr(q‎, ‎l) $‎ حلقه ی توسیع گالوا از درجه ‎$ l $‎ بر روی ‎$mathbb{z}_{q}$‎ می باشد.‎ سپس خواهیم دید که کدهای شبه-دوری تعمیم قابل توجهی از کدهای دوری هستند. در این پایان نامه‏، برخی از خواص ساختاری کدهای شبه-دوری بر روی حلقه ی ‎$mathbb{z}_{q}$‎ بررسی خواهد شد. یک ‎$‎ -‎l $‎کد شبه دوری از طول ‎$ lm $‎ بر روی ‎$mathbb{z}_{q}$‎ هم به فرم سطری گردشی نمایش داده می شود و هم به عنوان یک ‎$‎- ‎frac{mathbb{z}_q[x]}{(x^m-1)}$‎زیرمدول از ‎$ frac{gr(q‎, ‎l)[x]}{(x^m-1)}$‎. در آخر به بررسی کدها بر روی ابرحلقه ها می پردازیم.

فرض‎ کنیم ‎‎$‎r‎$‎ حلقه ای جابجایی و یکدار‏، ‎‎$‎a‎$‎ و ‎‎$‎b‎$‎‎ جبر های یکدار بر روی ‎‎$‎r‎$‎ و ‎‎$‎m‎$‎ یک ‎‎$‎(a,b)‎$-‎ دو مدول باشد که ‎‎$‎m‎$‎ به عنوان یک ‎‎$‎a‎$-‎ مدول چپ وفادار و ‎‎$‎b‎$-‎ ‎مدول راست وفادار است. فرض کنیم ‎‎$‎left[ {egin{array}{*{20}c} a & m 0 & b end{array}} ight]‎‎$‎‎‎ ‎‎‎‎‎‎$‎‎‎‎‎mathcal{‎t}=‎‎‎$‎‎ ‎جبر مثلثی شامل ‎‎$‎a‎$‎، ‎‎$‎b‎$‎ و ‎‎$‎m‎$‎ است در این جا مشتقات سه تایی لی از ‎‎$‎mathcal{t}‎$‎ را مورد مطالعه قرار می دهیم که با داشتن دو شرط بر روی جبر مثلثی هر مشتق سه تایی لی بر روی ‎‎$‎mathcal{t}‎$‎ به شکل استاندارد است یعنی به صورت مجموعی از یک مشتق جمعی و تابع خطی می باشد که بر روی دومین جابجاگر های ‎‎$‎mathcal{t}‎$‎ صفر است. مثال هایی از جبر های مثلثی و مشتقات سه تایی لی بر روی آن ها را نیز آورده ایم. در حالت کلی به بررسی مشتقات سه تایی لی بر روی جبر ماتریسی ‎‎$‎m‎_{n}(a)‎$‎‎ پرداخته ایم که تناظری بین مشتقات سه تایی لی بروری جبر ماتریسی ‎‎$‎m‎_{n}(a)‎$‎‎ و مشتق بر روی جبر دلخواه ‎‎$‎a‎$‎ برقرار است.

ابرگروه های نوع u از طرف راست با اسکالر همانی راست 1 را می توان بر حسب خانواده ی {p_1 = {1o x|x ∈ h دسته بندی کرد. در این پایان نامه ابتدا ثابت خواهد شد اگر مجموعه ای دارای مرتبه ی بزرگتر از 6 باشد آن گاه ابرگروه و یا نیم ابرگروه های سره ی نوع uاز طرف راست وجود دارند به طوری که اسکالر همانی راست، همانی چپ نمی باشد. سپس یک ساختار روی ابرگروه های نوع u از طرف راست که اسکالر همانی راست، همانی چپ نیست، ارائه می شود. این ساختار تمامی ابرگروه ها با مرتبه 6 را توصیف می کند و هم چنین این امکان را فراهم می سازد تا یک رابطه ی نیم-مرتب روی آن ها تعریف شود. به کمک این رابطه ی نیم-مرتب، نشان داده می شود با تقریب یکریختی، 946 ابرگروه نوع u از طرف راست با مرتبه 6 وجود دارد به طوری که اسکالر همانی راست، همانی چپ نیست. لازم به ذکر است این ابرگروه ها، با بسط ابرعمل 41 ابرگروه مینیمال به دست می آیند. در فصل پایانی نیز ابرگروه های سه تایی نوع u از طرف راست معرفی می شود.

در این پایان نامه، خاصیت کمترین مربع روی مجموعه های k عضوی (1<k) و همچنین گروه (b(n,k تعریف شده است. گروه های (2)ds اخیرا توسط فریمن مورد مطالعه قرار گرفت و گروه های (3)ds توسط برکویچ، فریمن و پرگر مورد مطالعه قرار گرفته است. در این پایان نامه، خاصیت کمترین مربع روی مجموعه های k عضوی و همچنین گروه (b(n,k تعریف شده است. گروه های (ds(2 اخیرا توسط فریمن مورد مطالعه قرار گرفت و گروه های (ds(3 توسط برکویچ، فریمن و پرگر مورد مطالعه قرار گرفته است.

در این ‏رساله‏، ابتدا ‎گاما‎-جبرها‏ را به عنوا‏ن توسیعی از جبرها تعریف کرده‏ و مفهوم ‎گاما-بعد را معرفی می کنیم. سپس با ارائه ‎‎‏‎‎‏‎‎‏چند مثال و خاصیت در مورد گاما‎‎‎-جبرها ‏ به بررسی مطالبی پیرامون ماتریس‏ های ‎ m×n‎‎ و ‎گاما‎‎‎-جبرهای منظم می پردازیم.‎ در ادامه‏، مفهوم گاما‎-جبرها‏ را به گاما‎-ابرجبرها توسعه داده و روابط منظم را روی آن ها مطالعه می کنیم. هم چنین‏، رابطه هم ارزی گاما^* ‎ را روی گاما ‎-ابرجبر v ساخته و نشان می دهیم این رابطه‏، یک رابطه منظم قوی است وvگاما^* مجموعه تمام رده های هم ارزی این رابطه‎‎‏‏، یک گاما بتا* -جبر روی میدان kآلفا^* است. در ادامه‏، روی گاما‎‎‎-جبر شرکت پذیر v و برای هر آلفا در گاما یک گاما-لی جبر ساخته و برخی گزاره ها و خواص پیرامون گاما-لی جبرها را وقتی v و گاما به ترتیب مجموعه های ماترسهای m×n و n × m روی میدان f هستند‏، بررسی کرده و به تعریف‏، آلفا-مشتق، آلفا-نمایش، آلفا-پوچ توانی و اثبات قضیه انگل ‏در این حالت می پردازیم. در ‏خاتمه به معرفی حاصل ضرب تانسوری گاما- مدول ها‏ پرداخته و خواص اساسی آن ها را مورد مطالعه قرار می دهیم.

در این رساله، ‏برخی‎ خواص مشتق روی حلقه ها و $(f,g)$-مشتق دوتایی متقارن روی گاما‎حلقه ها مورد بررسی قرار گرفته است.‎ مفهوم مشتق روی ابرحلقه های ضربی و کراسنر به عنوان تعمیمی از مفهوم مشتق روی حلقه ها معرفی و برخی خواص آن مورد مطالعه قرار گرفته است. در این میان‏، ابرحلقه های (ضربی و کراسنر) دیفرانسیل معرفی و برخی خواص آن ها مورد بررسی قرار گرفته است. سپس، به تعمیم مفهوم مشتق پرداخته شده و بدین ترتیب (f,g)-مشتق روی ابرحلقه های ضربی و کراسنر معرفی شده است. همچنین، به معرفی و تجزیه و تحلیل برخی خواص مشتق روی گاما (نیم )‎ ابرحلقه ها پرداخته شده است. در پایان، مشتق، ‎-$f$‎مشتق و ‎-$(f,g)$‎مشتق روی برخی از جبرهای منطقی از جمله مشبکه ها، ‎-$bci bck$‎جبرها، ‎-$b$‎جبرها و ‎$mv$‎-جبرها معرفی و برخی خواص آن ها مورد مطالعه قرار گرفته است‎.

در پایان نامه ی حاضر ابتدا نیم ابرگروه های کامل مورد مطالعه قرار می گیرند. سپس یک شرط لازم وکافی برای کامل بودن نیم ابرگروه ها و مفهوم مجموعه ی نرم بیان شده و روشی برای تعیین ابرگروه های کامل در حد یکریختی روی یک مجموعه ی ناتهی بیان می گردد. همچنین مفهوم نیم گروه سه تایی پیش مرتب تعریف شده و نیم ابرگروه های سه تایی گرفته شده از نیم گروه های سه تایی پیش مرتب معرفی و بعضی خواص نیم ابرگروه سه تایی گرفته شده از آنها بررسی می شود. در ادامه نیم ابرگروه های سه تایی کامل تعریف شده اند و نشان داده شده است که هر نیم ابرگروه سه تایی کامل، از یک نیم گروه سه تایی گرفته می شود. همچنین ثابت می شود اگر ‎$f$‎ یک همریختی سه تایی یکنوا بین دو نیم گروه سه تایی پیش مرتب باشد آنگاه ‎$f$‎ یک همریختی سه تایی بین نیم ابرگروه های سه تایی گرفته شده از آنها القاء می کند. افزون بر این شرطی لازم و کافی برای کامل بودن نیم ابرگروه های سه تایی بیان گردیده و روابط دوتایی روی نیم ابرگروه های سه تایی مورد مطالعه قرار گرفته اند. به ویژه برخی از خواص اساسی روابط سازگار روی آنها بررسی شده است. به علاوه پس از معرفی ابرگروه سه تایی گرفته شده از یک رابطه ی دوتایی، شرایطی هم ارز با ابرگروه بودن آن بیان می شود و در پایان دو مورد خاص از این ابرگروه های سه تایی به همراه مثال هایی در ارتباط با این موضوع ارائه گردیده است.

بحث اصلی این پایان نامه، در مورد ماتریس های 2×2 تمیز قوی روی دامنه های صحیح می باشد. توجه کنید که یک ماتریس تمیز قوی است هرگاه بتوان آن را به صورت مجموع یک ماتریس خودتوان و یک ماتریس معکوس پذیر نوشت، که آن دو ماتریس خودتوان و معکوس پذیر نسبت به ضرب ماتریس ها با یکدیگر دارای خاصیت جابجایی باشند. در این پایان نامه سعی شده، تا شرایط لازم و کافی را برای این که یک ماتریس 2×2 تمیز قوی باشد مورد بررسی قرار گیرد. در پیرامون این مباحث نیز شرایط لازم و کافی برای این که یک ماتریس 2×2 روی حلقه موضعی، تمیز قوی باشد، بیان شده است.هم چنین به معرفی ماتریس های تمیز، ماتریس های ?-منظم قوی، ماتریس های j_nتمیز قوی و ارتباط آن ها با یکدیگر پرداخته شده است.

نظریه غالب در گراف ها به طور گسترده مورد مطالعه قرار گرفته است. ناتانسون در درسال ‎1980‎ راه را برای ظهور یک کلاس جدید از گراف ها یعنی گراف های حسابی با معرفی نظریه اعداد هموار کرد. همچنین ضرب تانسوری به عنوان یک عمل در روابط دوتایی توسط آلفرد نورت وایتهد و برترند راسل درسال ‎1912‎ در ریاضیات معرفی شد. این نیز معادل با حاصل ضرب کرونکر از ماتریس مجاورت گراف توسط ویچسل در سال ‎1962‎ است. یوما ماهسواری و منجوری در سال ‎2012‎ به مطالعه ی مباحثی در خصوص ضرب مستقیم گراف های کیلی با گراف های حسابی پرداختند. ‎‎ ‎indent‎‎ این پایان نامه، مشتمل بر 4‎ فصل است. در فصل اول به تعاریف و مفاهیم مقدماتی مربوط به نظریه ی گراف و نظریه گروه و تعریف انواع مجموعه های غالب و ضرب گراف ها پرداخته می شود. در فصل دوم مجموعه های غالب و اعداد غالب گراف حسابی در موارد گوناگون بیان شده است. در فصل سوم نیز مجموعه های غالب و اعداد غالب گراف کیلی نشانگر اویلر در موارد گوناگون مورد بررسی قرار گرفته و در فصل آخر برخی خواص ضرب مستقیم گراف های کیلی نشانگر اویلر با گراف های حسابی مطرح شده و مجموعه های غالب و عدد غالب آن در موارد مختلف محاسبه شده است‎.‎ ‎indent‎‎ لازم به ذکر است که مقاله و مرجع اصلی این پایان نامه، مرجع شماره ی ‎[ ef{m14}]‎ است.

‏اگر در تعریف حلقه حداقل یکی از عمل ها را به عنوان ابرعمل در نظر بگیریم‏، تعریف های متفاوتی برای ابرحلقه حاصل می شود.‎‎ یک تعریف آشنا از یک ابرحلقه‏، ابرحلقه ی کراسنر است cite{krasner} که با در‎~‎نظر گرفتن جمع به عنوان یک ابرعمل به دست می آید به طوری که ‎$ ‎(r,+) $‎ ‏‎ ‎یک‎ ابرگروه کانونی است. یک مطالعه ی کلی از نظریه ی ابرحلقه ها در مرجع cite{davvaz2}‏ انجام گرفته است. حلقه ی ترکیبی به عنوان یک جبر سه‎‏ عملیاتی ‎$ ‎(r,+,cdot,circ)‎ $‎ توسط ادلر‎ltrfootnote{ adler}‎ در سال 1962 معرفی شد ‏به طوری که ‎$ ‎(r,+,‎cdot‎)‎ $‏ یک حلقه ی جابجایی و عمل ترکیبی ‎$ circ $‎ شرکت پذیر و نسبت به عمل های ‎جمع‏ و ضرب ‎ توزیع پذیر راست است‎‎‎. هم چنین‏ منگر‎ltrfootnote{ menger}‏‎‎ ‎‎و مانسltrfootnote{ mannos} تعریف‎‏ های متفاوتی برای جبر سه عملیاتی ارائه ‎‎‏دادندcite{menger1,menger2, mannos}. در فصل اول این پایان نامه‏، مفهوم حلقه های ترکیبی را مورد بررسی قرار ‎‏داده و خواص مهم آن ها را بیان می کنیم.‎ مقاله و مرجع اصلی این فصل‏، مرجع ‎cite{adler}‎‏ می باشد. ابرحلقه ی ترکیبی به‏ عنوان یک ساختار جبری چهارتایی ‎$ ‎(r,+,‎cdot‎,circ)‎ $‎ توسط کریستاltrfootnote{ crista} و جانسیک‎ راسوویکltrfootnote{ janc‎ic-rasovic}‏ در سال 2012 ‏معرفی شد به طوری که ‎$ ‎(r,+,cdot)‎ $‏ یک ابرحلقه ی جابجایی است و ابرعمل ترکیبی ‎$ ‎circ‎ $‏ شرکت پذیر و نسبت به جمع و ضرب توزیع پذیر راست است‎‎. در فصل دوم‏، مفهوم ابرحلقه ی ترکیبی را مورد مطالعه قرار می دهیم و نشان می دهیم که ساختار ترکیبی یک ابرحلقه توسط کلاسی از درون ریختی های آن مشخص می شود. هم چنین قضایای یکریختی نظریه ی حلقه ها را در زمینه ی ابرحلقه های ترکیبی نتیجه می گیریم.‎ بیشتر مطالب این فصل از مرجع ‎cite{crista}‎‏ گرفته شده است. یک تعمیم مناسب از یک ابرگروه‏، ‎$ ‎n‎ $‎‏-ابرگروه نامیده شد که توسط دواز و ووجیوکلیسltrfootnote{vougiouklis} در سال 2006 معرفی شده و مورد مطالعه قرار گرفتcite{davvaz4}. ‎‏هم چنین‏ دواز و دیگران در سال 2009 کلاسی از ابرسیستم های جبری را در نظر گرفتند که تعمیمی از نیم گروه ها‏، ابرنیم گروه ها و ‎$ ‎n‎ $‎‏-نیم گروه هاست cite{davvaz6}. سپس لئورنیو فوتی‎ltrfootnote{leoreanu-fotea} ‎‎ ابرگروه های کانونی ‎$ ‎n‎ $‎‏-تایی را مورد مطالعه قرار داد cite{leoreanu-fotea}. اخیراً ‎$ ‎(m,n)‎ $‎‏-ابرحلقه های کراسنر توسط میروکیلی و دواز معرفی شده و مورد بررسی قرار گرفته اند cite{mirvakili2}. ‎$ ‎(m,n)‎ $‎‏-ابرحلقه های کراسنر تعمیم های مناسب ابرحلقه های کراسنر هستند. ‎$ ‎(m,n)‎ $‎‏-‎‎ابرحلقه در فرم کلی در cite{davvaz5, mirvakili1}‏ به عنوان ساختار توزیع پذیر قوی معرفی شد. سپس در cite{jancic2} جانسیک راسوویک و داسیکltrfootnote{dasic} آن را با معرفی مفهوم ‎$ ‎(m,n)‎ $‎‏-ابرحلقه با توزیع پذیری شمول تعمیم دادند. در فصل آخر این پایان نامه یک ساختار ترکیبی برای ‎$ ‎(m,n)‎ $‎‏-ابرحلقه ها پیشنهاد داده و آن را ‎$ ‎(m,n,k)‎ $‎‏-ابرحلقه ی ترکیبی می نامیم که تعمیمی از حلقه های ترکیبی و ابرحلقه های ترکیبی است. مثال هایی از این مفهوم جدید ارائه ‎‎‏می دهیم و قضایای یکریختی نظریه ی حلقه ها را برای آن نتیجه گرفته و اثبات می نماییم.

‎ در سال ‎1934‎مارتی‎‎‎‎ ‎[34]‎ در هشتمین کنفرانس ریاضیدانان اسکاندیناوی با ارائه ی مقاله ای، نظریه ی ابرساختارها را بنا کرد. مشابه ابرگروه ها که تعمیمی از مفهوم گروه ها هستند (ابرعمل جایگزین عمل دوتایی می شود)، ابرحلقه ها نیز تعمیمی از مفهوم حلقه ها هستند که در آن ها هردو عمل دوتایی یا تنها یکی از آن ها توسط ابرعمل ها جایگزین می شوند. ابرحلقه ها با توجه به نحوه ی جایگزینی ابرعمل ها انواع مختلفی دارند. اولین نوع ابرحلقه ها که به حلقه های معمولی نزدیک ترند توسط کراسنر ‎‎‎[23]‎‎‎ معرفی شد. در ابرحلقه ی کراسنر جمع یک ابرعمل با شرایطی خاص است در حالی که ضرب یک عمل دوتایی باقی می ماند. در آغاز دهه ی هفتاد شاگردان کراسنر‏ به ویژه میتاس‎ و استریتی گوپلس به بررسی این نوع ابرحلقه ها ‎[30,31,42]‎‎$‎ پرداختند. ناکاسیس‎در ‎‎‎[32]‎‎‎ به بررسی و مطالعه ی نظریه ی ابرحلقه ها و ابرمیدان ها پرداخت. نوع دوم ابرحلقه ها توسط روتا‎ ‎‎‎[39]‎‎‎ معرفی شد که در آن جمع همان عمل دوتایی باقی می ماند اما ضرب یک ابرعمل است. این نوع ابرحلقه ها کمتر مورد مطالعه قرارگرفته اند. نوع سوم ابرحلقه ها توسط میتاس کشف شد و آن را حلقه ی‏ عمومی نام گذاری کرد. در حلقه ی عمومی هردو عمل جمع و ضرب توسط ابرعمل ها جایگزین می شوند و ابرساختار جمعی یک ابرگروه کانونی است. در تعمیم حلقه ی عمومی ابرساختار جمعی یک ابرگروه دلخواه در نظر گرفته می شود که دراین صورت با نوع جدیدی از ابرحلقه ها رو به رو هستیم که اولین بار توسط اسپارتالیس ‎ ‎‎‎[40]‎‎‎ معرفی شدند.‎ هم چنین این ابرحلقه تعمیمی از تعریف ارائه شده توسط دسالوو‎‎ ‎[18]‎ نیز هست. یک مرورکلی روی نظریه ی ابرحلقه ها توسط دواز ‎ و لئورئانو- فوتیه ‎ در ‎‎‎[10]‎‎‎ ارائه شده است. ‎ ‎ مقالات بسیاری به مطالعه ی ابرحلقه ها،‎ تقریب در ابرحلقه ها ‎‎‎[11]‎‎‎, ‎ساخت ابرحلقه های خاص مانند‎ ‎(m,n)‎-ابرحلقه های کراسنر ‎‎‎[1,27]‎‎‎, ابرحلقه های فازی ‎‎‎[12]‎‎,‎‎‎ ابرحلقه های چینی ‎‎‎[20]‎‎‎,‎‎ همریختی های میان ‏ابرحلقه ها ‎[36]‎‎‎, روابط اساسی در یک ابرحلقه ‎[28]‎‎, ارتباط با فضای هندسی ‎[29]‎ و ... پرداخته اند. ‎‎ ابرحلقه های الحاقی ‎[36]‎, با تعریف ابرعمل هایی وابسته به روابط دوتایی در ساختارهای جبری می توان ابرساختارهای جبری جدیدی به دست آورد. شناخته شده ترین ابرگروه های به دست آمده از روابط دوتایی توسط روزنبرگ‎ ‎‎‎[38]‎‎ و کورسینی‎ ‎[3]‎‎‎ معرفی شدند و توسط کورسینی و لئورئانو ‎[5]‎‎‎, ‎دسالوو و لوفارو‎ ‎[13]‎‎‎, ‎کریستیا‎ و همکاران ‎[6,8,9]‎, اسپارتالیس ‎[41]‎‎‎, لئورئانو- فوتیه و روزنبرگ ‎[25]‎‎ و ... مورد مطالعه قرار گرفتند. علاوه براین، می توان با استفاده از لم پایانی ابرساختارهایی از ساختارهای مرتب جزئی به دست آورد. این روش توسط چوالینا ‎ ‎‎‎[2]‎‎‎ و بعداً توسط نوواک ‎[34]‎‎‎ بررسی شده است. فنگ ‎ در ‎‎‎[15]‎‎‎ ابرگروه وارهای فازی را با استفاده از روابط فازی تعریف کرد. روابط دوتایی کاربردهای فراوانی در نظریه ی جبری فازی دارند (برای مثال ‎‎‎[19]‎‎‎ را ببینید). به طورمشابه، می توان با استفاده از روابط دوتایی یا روابط فازی تعریف شده روی یک نیم گروه، یک ابرحلقه ساخت. این موضوع اخیراً توسط جانسیس-رزوویک‎در ‎[21]‎‎‎ مورد مطالعه قرارگرفته است. این پایان نامه مشتمل بر سه فصل است. در فصل اول به معرفی تعاریف و مفاهیمی می پردازیم که در این پایان نامه به کار می روند. فصل دوم را با ساخت ابرگروه هایی با استفاده از ‎(نیم)‎ گروه های مرتب جزئی در بخش اول آغاز می کنیم. در بخش های دوم و سوم به بررسی ابرگروه وارهای وابسته به روابط دوتایی و بررسی اعمال روی ‎re(h)‎ می پردازیم و در بخش چهارم ابرگروه های کاهش یافته را مطرح می کنیم. در بخش اول ‏از فصل سوم با استفاده از یک رابطه ی ‎l‎-فازی به ساخت ابرحلقه و ‎h_v‎-حلقه می پردازیم. در بخش دوم به بررسی این موضوع می پردازیم که اگر ‎ و ‎s‎ روابط ‎l‎-فازی تعریف شده روی نیم گروه ‎h‎ باشند به طوری که ابرساختارهای مرتبط ‎(h,+_r,o_r)‎ و ‎(h,+_s,o_s)‎ ابرحلقه باشند آنگاه آیا ابرساختارهای مرتبط با اشتراک، اجتماع، ترکیب و ضرب دکارتی میان ‎r‎ و ‎s‎ نیز ابرحلقه هستند؟ درنهایت عکس این مطلب را مورد مطالعه قرار می دهیم. به عبارت دیگر فرض می کنیم ابرساختارهای متناظر با اجتماع یا ترکیب دو رابطه ی ‎‎‎‎l‎‎‎‏‎-فازی ابرحلقه های توزیع پذیر قوی هستند و به بررسی شرایطی می پردازیم که تحت برقراری آن ها ابرساختار متناظر با یکی از این دو رابطه ی ‎‎‎‎l‎‎‎‏‎-فازی نیز ابرحلقه ی توزیع پذیر قوی باشد. ‏متذکر می گردد که در سراسر این پایان نامه با ابرحلقه های تعریف شده توسط اسپارتالیس کار می کنیم.

نظریه مجموعه های ناهموار در واقع تعمیمی از نظریه مجموعه ها است، که در آن زیرمجموعه ای از مجموعه مرجع با یک زوج مرتب از مجموعه ها که تقریب های بالا و پایین نامیده می شوند، توصیف می شود. در این پایان نامه، پس از معرفی این نظریه و مفاهیم مورد نیاز، مجموعه های ناهموار مبتنی بر پوشش، که یکتعمیم مهم از مجموعه های ناهموار هستند، بیان می شوند. در ادامه توابع سازگار و نگاشت های پوششی تعریف می شوند. سپس مفهوم همریختی، که یک نگاشت پوششی خاص بین سیستم های اطلاعاتی است، معرفی می شود. در نهایت رابطه بین سیستم های اطلاعاتی از طریق مجموعه های ناهموار مبتنی بر پوشش بررسی می شود.

هدف ما در این رساله، برقراری ارتباط بین ابرگراف ها و ابرگروه ها است. در این راستا،انواع همریختی را برای ابرگروه هایn -تایی معرفی کرده و سپس ضرب حلقوی پلی گروه های n-تایی را مورد مطالعه قرار خواهیم داد. همچنین چند ارتباط بین ابرگراف ها، ابرگراف های تعمیم یافته و ابرگروه وارها برقرار ساخته و سپس نوع جدیدی از ابرگراف های فازی را معرفی می کنیم. در پایان، برخی از ابرساختارهای فازی نظیرf-ابرگروه ها از نوع u، fn-ابرگروه ها fn-ابرگروه های انتقالی، fn-پلی گروه ها، f(m,n)-ابرحلقه های کراسنر و ضربی و f(m,n)-ابرمدول ها را معرفی می کنیم.

در این پایان نامه نیم گروه ها با یک عمل گر یکتای c به نام بستار راست مورد بررسی قرار گرفته اند.‎‏ نیم گروه های بستا‏ر‎‎ ‏را می توان به عنوان تعمیم هایی از نیم گروه های وارون پذیر (نه لزوما منظم) در نظر گرفت. هم چنین در این پایان نامه ساختارهای مختلفی از نظریه نیم گروه های وارون پذیر به بعضی رده های مهم نیم گروه های بستار مانند نیم گروه های بستار وارون پذیر‏ و نیم گروه های بستار پیچیده‏ گسترش یافته است. به علاوه روابط هم نهشتی روی نیم گروه های بستار مورد مطالعه قرار گرفته است.

در این رساله ساختار گراف بخش پذیری روی مجموعه اندازه کلاس های تزویج دسته هایی از گروه های متناهی بررسی شده است.

فرض کنید ‎$g=(v,e)$‎ گراف ساده است. عدد بل گراف ‎$g$‎ را با ‎$b(g)$‎ نشان داده و برابر است با تعداد افرازهای مجموعه ی رئوس ‎$g$‎ به بلوک ها(رده ها) که هر بلوک ‎(رده)‎ مجموعه های مستقل گراف ‎$g$‎ می باشند، که منظور از مجموعه ی مستقل گراف ‎$g$‎ زیرمجموعه ای از رئوس ‎$g$‎ است که هیچ دو عضو آن مجموعه، مجاور نباشند. عدد استرلینگ گراف ‎$g$‎ که با ‎$s(g,k)$‎ نشان داده می شود برابر است با تعداد افرازهای مجموعه ی رئوس ‎$g$‎ به ‎$k$‎ زیرمجموعه ی ناتهی و مجزا است. ‎ در این پایان نامه اعداد بل و استرلینگ را برای برخی از گراف ها مانند گراف های مسیر، دور، چرخ، درخت و... محاسبه می کنیم. هم چنین توابع مولد دنباله ی اعداد استرلینگ گراف ‎$g$‎ را در نظر گرفته که این تشکیل یک چندجمله ای می دهد و آن را با ‎$sigma(g,x)$‎ نشان می دهیم و ارتباط این چندجمله ای را با چندجمله ای رنگی گراف به دست خواهیم آورد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

نظریه مجموعه های ناهموار یکی از روش های قابل توجه در مدل سازی سیستم های غیر قطعی و غیر دقیق است. در این پایان نامه، تقریب ناهموار در گراف های کیلی مورد مطالعه قرار گرفته و مجموعه های یالی ناهموار در گراف های کیلی معرفی شده اند. علاوه بر این، ساختاری جبری به نام گراف شبه کیلی که در بر گیرنده گراف کیلی نیز هست، پیشنهاد شده است. تقریب ناهموار به این ساختار تعمیم داده شده و مجموعه های رأسی ناهموار و همچنین مجموعه های ناهموار در گراف های در گراف های شبه کیلی، معرفی شده اند. قضیه های نیز در این رابطه مطرح و اثبات شده اند. برخی ویژگی ها مانند همبندی و همبندی بهینه هم، مورد توجه بوده اند. همراهی نظریه مجموعه ناهموار با نظریه مجموعه فازی که هر دو نتیجه ای از کلیت نظریه مجموعه اند، قدرت آن را در مباحث نظری افزایش می دهد. در این پایان نامه تعریف مجموعه کیلی فازی و در نتیجه گراف کیلی فازی ارائه شده است. در ادامه مجموعه های یالی ناهموار فازی در گراف های کیلی، مجموعه های فازی ناهموار و مجموعه های فازی یالی ناهموار فازی در گراف های کیلی فازی معرفی شده اند. این تقریب ها در مدل سازی سیستم های شبکه ای و همچنین تحمل خرابی و مقیاس پذیری در آن ها می توانند، لحاظ شوند.

چکیده این رساله در دو فصل تدوین یافته است .فصل اول به مطالب بنیادی جبرلی و نظریه گروههای شوالی اختصاص یافته است .گروههای شوالی درسال 1955 توسط شوالی دریک مقاله با شکوه معرفی شدند وپس از آن نظریه گروههای ساده زندگی تازه ای یافت . این گروهها به عنوان گروه اتومرفیسم های جبرلی می باشند ودراین فصل بیشتر توجه ها برروی نتایج اساسی درساختمان گروههای شوالی است . درفصل دوم یک خانواده از گروههای ساده را بنامیکنیم.اساس بناسازی این گروهها، استفاده از گروههای شوالی از نوع g2 است .این خانواده هم شامل گروههای متناهی وهم گروههای نامتناهی است .گروههای متناهی این خانواده را که معمولا" با2g2)q(نشان می دهند دارای مرتبهq3)q-1()q3+1(میباشند که درآن q=32n+1 , n=1 , 2 , 3 ,... بااستفاده از این مطلب که مرتبه بالابر 8 قابل قسمت و بر 16 قابل قسمت نیست نشان می دهیم که گروههای فوق دارای یک -2 سیلو زیرگروه از مرتبه 8 است .درادام فصل دوم،ثابت میکنیم که هر اتومرفیسم گروه ساده 2g2)q(را میتوانیم به صورت حاصلضرب یک اتومرفیسم داخلی و یک اتومرفیسم القاء شده توسط اتومرفیسمی از میدان نوشت .

دراین رساله فضاها و نگاشتهای خطی فازی مورد بررسی قرار می گیرد.

این پایان نامه از چهار فصل تشکیل شده است: فصل اول به معرفی مفاهیم اساسی نظریه ابرساختارها اختصاص دارد. در فصل دوم ‏‎hv‎‏ - شبه حلقه ها را مورد بررسی قرار می دهیم و چند قضیه اساسی مربوط به ابر ساختارها را به این دسته از ابرساختارها تعمیم می دهیم. در فصل سوم یک ساختار جدید را معرفی می کنیم، در این فصل ابرحلقه چندجمله ایها را می سازیم و قضیه اساسی مربوط به ابرحلقه چندجمله ایها را بیان و اثبات می کنیم. فصل چهارم را به بررسی خواص ابرحلقه های ضربی اختصاص داده ایم. در این فصل قضیه همریختی اساسی مربوط به ابرحلقه های ضربی را بیان و اثبات می کنیم و قضایای دوم و سوم همریختی نیز ارائه شده اند.