در فصل اول ابتدا حلقه دیفرانسیل را معرفی کرده و در ادامه تعاریف مقدماتی مانند ایده آل اول دیفرانسیل – ایده آل نیم اول دیفرانسیل و عضو پوچ توان را بیان می کنیم و سپس به تعریف رادیکال اول دیفرانسیل که اشتراک همه ی ایده آل های اول دیفرانسیل است می پردازیم. همچنین ثابت می کنیم که برای حلقه های دیفرانسیل اشتراک همه ی ایده آل های نیم اول دیفرانسیل و مجموعه ی همه ی عضوهای پوچ توان برابرند. در ادامه نشان می دهیم درهر q-جبر رادیکال اول دیفرانسیل است. در فصل دوم به بررسی جبر ریت و حلقه دیفرانسیل کایگر پرداخته و مفاهیم جدیدی از جمله همریختی دیفرانسیل- صفر دیفرانسیل- یکه دیفرانسیل و ... را معرفی کرده و قضایایی را در این رابطه بیان و بررسی می کنیم. فصل سوم در رابطه با ابرساختارهای جبری و حلقه دیفرانسیل همه ی توابع مشتق پذیر پیوسته روی بازه ی j است. در این فصل نشان داده می شود که حلقه دیفرانسیل معرفی شده شبه ابرگروه است که لزوما جابجایی نیست. در این فصل همچنین روش آبلی سازی و ساختن ابر عمل جابجایی برای این حلقه بیان می شود. در فصل چهارم به تعمیم مفهوم حلقه دیفرانسیل پرداخته و حلقه دیفرانسیل (3و3)-تایی را معرفی می کنیم. همچنین تعاریفی مانند ایده آل دیفرانسیل (3و3)-تایی – ابرگروه 3-تایی و ... را بیان می کنیم. در ضمن قضایا و گزاره های نیز در این رابطه مورد بررسی قرار می گیرند.

این پایان نامه مشتمل برسه فصل است که در فصل اول برمفاهیم مربوط به گروه ها ومدولها پرداخته شده است . در فصل دوم مطالبی در مورد عمل گروه بر روی گروه و قضا یای مربوط به آن آورده شده است و همچنین به معرفی حاصل ضرب خوشه ای و تانسوری می پردازیم.در فصل سوم که مهمترین فصل ازاین پایان نامه می باشد ابتدا زنجیرفیتینگ وطول فیتینگ را تعریف می کنیم ودر بخش دوم از این فصل به بررسی عمل بدون نقطه ثابت روی گروه های متناهی می پردازیم . در بخش سوم نشان می دهیم که هرگاه aگروه آبلی متناهی باشد و روی گروه حل پذیر g بدون نقطه ثابت عمل کند آن گاه تابع خطی مانند fموجود است که طول فیتینگ راکران دارمی کند.

در این پایان نامه گرافی به نام گراف رأس اول معرفی شده است که رأس های این گراف مقسوم علیه های اول درجه سرشت های تحویل ناپذیر گروه g است و در صورتی بین دو رأس از این گراف یال وجود دارد که حاصل ضرب این دو عدد اول درجه سرشتی تحویل ناپذیر از گروه g را بشمارد. در این پایان نامه ویژگی های این گراف در حالت هایی که گروه g حل پذیر و یا غیر حل پذیر است مورد مطالعه قرار گرفته است. در فصل 2 نشان داده شده که هرگاه گروه g حل پذیر وگراف رأس اول آن همبند باشد قطر آن حداکثر 3 است و زمانی که گراف نا همبند باشد تعداد مولفه های همبندی آن حداکثر 2 و هر مولفه همبندی گرافی کامل است. در فصل 3 نشان داده شده گروه غیرحل پذیری وجود دارد که گراف رأس اول آن دارای دو مولفه همبندی است که قطر یکی از مولفه ها برابر 2 است و از این رو گراف کامل نمی باشد، همچنین گروه غیر حل پذیری وجود دارد که گراف رأس اول آن دارای سه مولفه همبندی است.

هدف اصلی این پایان نامه بررسی ابرگروه های وابسته به روابط دوتایی و ارتباط این مبحث با مباحث فضاهای الحاقی و ساختارهای بازه ای است. در فصل اول مفاهیم و تعاریف اولیه ای که در سراسر پایان نامه مورد نیاز هستند را بیان می کنیم. ابرگروه های وابسته به روابط دوتایی، منظم بودن این ابرگروه و همچنین ابرگروه های وابسته به روابط دوتایی خاص از قبیل اجتماع، اشتراک و ... در فصل دوم مورد بررسی قرار می گیرند. در فصل سوم به معرفی ابرگراف ها و ابرگروه های وابسته به ابرگراف ها، گراف های همبند و درخت ها خواهیم پرداخت. سرانجام در فصل چهارم گفتاری در باب فضاهای الحاقی و به دست آوردن فضاهای الحاقی از ابرفضاهای برداری خواهیم داشت. همچنین در این فصل با مفهوم ساختار بازه ای آشنا خواهیم شد و تناظری که این مفهوم با مفاهیم مطرح شده در فصل های قبل دارد را تشریح می کنیم.

در این پایان نامه به بررسی ویژگی های توپولوژی نگاشت pi: x -> y از فضاهای فشرده x و y در ارتباط با ویژگی های جبری همریختی (c(y ) -> c(x از حلقه توابع پیوسته می پردازیم. در فصل اول مفاهیم و تعاریف پیش نیاز مطالب مورد بحث را ارائه می کنیم. در فصل دوم ثابت می کنیم که اگر توسیع حلقه (c(x از (c(y دارای عضو اولیه یعنی c(x) = c(y)[f باشد آن گاه این توسیع متناهی است و در نتیجه نگاشت به طور موضعی یک به یک است. در فصل سوم برای عضو اولیه f ایده ال {i_{f} = {p(t) in c(y )[t] : p(f) = 0 را در نظر می گیریم و برای فضای همبند y ثابت می کنیم که ایده ال {i_{f ایده ال اصلی است اگر وفقط اگر نگاشت pi/ یک پوشش بدیهی باشد. در فصل چهارم برای فضاهای هاسدروف و فشرده x و y نشان می دهیم که همریختی (c(y) ? c(x متناهی (صحیح، متناهیاً تولید شده، ...) است اگر و فقط نگاشت/pi : x -> y به طور موضعی یک به یک باشد.

کاربرد‎ گراف در تمامی علوم بر کسی پوشیده نیست. مثلاً کاربردهای زیادی از این نظریه در شیمی‏، فیزیک‏، نانو و ... دیده شده است. یکی از مفاهیمی که در سال های اخیر ارتباط قوی با شیمی برقرار کرده‏، انرژی گراف و کاربرد های آن است. هم چنین بررسی خواص جبری گراف ها مورد توجه بسیاری از ریاضیدانان بوده است. در سال های اخیر مطالعه روی گراف هایی که انرژی آن ها از گراف کامل بیشتر است‏‏، انجام گرفته است. فصل اول ‎‎شامل دو بخش است‏، که در بخش اول مفاهیم مقدماتی در رابطه با نظریه ی گراف که پیش نیازی برای فصل های آتی می باشد‏، بیان کرده ایم. مطالب این بخش را از مراجع ‎‎[5,3, 26,8] انتخاب نموده ایم. در بخش دوم ضمن یادآوری مفاهیم گروه به بررسی اجمالی طرح های بلوکی و ماتریس های هادامارد و توابع حسابی که در فصل های بعد مورد استفاده قرار می گیرند‏، می پردازیم. ‎‎مطالب این بخش را از مر‎اجع [30,29,28,26,19]‎‎‎انتخاب نموده ایم. در فصل دوم در مورد انرژی گراف و این که گراف ها از جمله گراف های دو بخشی دارای انرژی ماکسیمال هستند سخن می گوییم و در بخش پایانی این فصل گراف های هم انرژی را مورد بررسی قرار می دهیم و سعی می کنیم زوج گراف های همبند و هم انرژی بسازیم. ‎مطالب‎‎ این فصل را از مراجع [27,17,16,13] انتخاب نموده ایم. فصل سوم را با بررسی گراف های فراانرژی از جمله گراف های کیلی واحد‏، گراف های قویاً منتظم اولیه‏، گراف دوری و گراف مربع لاتین به پایان می رسانیم.‎‎‎‎‎ مطالب این فصل را از مراجع ‎‎[25,22,21,15,11,10,4,1]‎‎ انتخاب نموده ایم. ‎‎

گراف های وابسته به ساختارهای مختلف جبری تعریف شده واخیراً نتایج بسیار جالبی هم بدست آمده است. فرض کنیم $x$ یک زیرمجموعه از اعداد صحیح مثبت است و $xin x$. منظور از $(pi(x$، مجموعه ی شمارنده های اول $x$ است. قرارمی دهیم ${1}x*=x$. در این صورت گراف اول، گراف مقسوم علیه مشترک و گراف دوبخشی مقسوم علیه مشترک $x$ را به ترتیب با نمادهای $(delta(x)$، $gamma(x$ و $(b(x$ نشان داده و به صورت زیر تعریف می کنیم. گراف اول گرافی است غیر جهت دار با مجموعه ی رأسی متشکل از اجتماع شمارنده های اول همه ی اعضای $x$ ، به طوری که دو رأس در این گراف مانند $p$ و $q$ مجاورند هرگاه عضوی از $x$ مانند $x$ موجود باشد که $pq$ شمارنده ی $x$ باشد. گراف مقسوم علیه مشترک گرافی است غیر جهت دار با مجموعه ی رأسی اعضای غیربدیهی $x$، به طوری که دو رأس از این گراف مجاورند هرگاه نسبت به هم اول نباشند. گراف دوبخشی مقسوم علیه مشترک گرافی است غیر جهت دار که مجموعه ی رأسی اش اجتماع مجزا از مجموعه های رأسی گراف اول و گراف مقسوم علیه مشترک است. یک عضو مانند $p$ از بخش اول با یک عضو مانند $x$ از بخش دوم مجاورند، هرگاه $p$ شمارنده ی $x$ باشد. هدف اصلی از این بحث معرفی گراف دوبخشی مقسوم علیه مشترک برای حاصل ضرب دو زیرمجموعه از اعداد صحیح مثبت و بررسی خواص ترکیبیاتی آن و استفاده از این خواص در نظریه گروه های متناهی است. یک تعمیم بسیار جالب از گراف مقسوم علیه مشترک $ip$-گراف نامیده می شود. درقسمت دوم این رساله ما فرم دوبخشی از $ip$- گراف را معرفی کرده و برخی خواص این گراف را مورد مطالعه قرار می دهیم.

در این پایان نامه خواصی از حلقه ی r را با در نظر گرفتن ?(r)‘ گراف مقسوم علیه صفر r‘ تحت عمل منظم g روی x بدست می آوریم. در فصل دوم ، فرض می کنیم r ‎ یک حلقه جابجایی یکدار، ‎ x مجموعه تمام غیر یکال های ناصفر r و g گروه تمام یکال های r است. اگر r یک حلقه و x اجتماع تعداد متناهی مدار تحت عمل منظم g روی x باشد، آن گاه نشان می دهیم که تعداد تمام ایده آل ها متناهی و بزرگتر یا مساوی تعداد مدارها است. در فصل سوم، فرض می کنیم r=mat_2(f) حلقه تمام ماتریس های ‎2×2‎ روی یک میدان متناهی، x مجموعه تمام غیر یکال های ناصفر r و g گروه تمام یکال های r است. پس از بررسی بعضی خواص تحت عمل منظم چپ ‎(راست) g روی x نشان می دهیم که گروه خودریختی گراف ?(r) (گراف مقسوم علیه صفر ‎ r)‎ با گروه متقارن ‎ s_(‎"?" f" ?" +1)از درجه یکریخت است. در فصل آخر، فرض می کنیم ‎ r=mat_n(f) حلقه تمام ماتریس های n× n روی میدان متناهی f است. نشان می دهیم که گروه خودریختی های گراف ?(r) گراف مقسوم علیه صفر r با گروه s_t گروه متقارن از مرتبه t که در آن t تعداد مدارها تحت عمل منظم است. واژه های کلیدی: گراف مقسوم علیه صفر، گروه خودریختی های گراف، عمل منظم، مدار

چکیده در این رساله ابتدا رابطه ی اساسی tua^* ‎ را روی ابرگروه h چنان تعریف می کنیم به طوری که خارج قسمتی ^*h/tua (مجموعه تمام رده های هم ارزی) یک گروه حل پذیر شود. ‏بنابر این یک رده از گروه های حل پذیر را که با این رابطه ی منظم قوی به دست‎ می آید را مشخص کرده و چندین قضیه و نتیجه را در رابطه با این موضوع به دست می آوریم. هم چنین رابطه ی اساسی nu^*‎ را روی ابرگروه ‎h‎ معرفی کرده به طوری که خارج قسمتی *^h/nu (مجموعه تمام رده های هم ارزی) یک گروه پوچ توان می شود. به علاوه زیر پلی گروه مشتق یک پلی گروه را تعریف کرده و با آن پلی گروه حل پذیر و پوچ توان را معرفی می کنیم و به تجزیه و تحلیل آن ها می پردازیم. نتایج ارزشمندی را روی این موضوع جدید به دست می آوریم. در ادامه مفهوم پلی گروه کامل را تعریف کرده و با مثال های متعدد موضوع را بررسی می کنیم. هم چنین روی ابر ضرب tua -چند - نیم مستقیم یک پلی گروه بحث می کنیم‎.‎ در ‏پایان ابرگروه‎‏ های که توسط وارلت‎ و کُمر از مشبکه ها به دست آمده اند را مورد مطالعه قرار می دهیم‎‎‏‏، هم چنین وارلت- ابرگروه ها و کُمر- ابرگروه ها را به ترتیب با مرتبه کمتر از 50‎ و13‎ شمارش می کنیم.

فرض‎ کنید ‎ ‎g=(v,e)‎ ‎ یک گراف ساده و ‎‎‎|v|=p و ‎|e|=q است. این گراف را با ‎ ‎(p,q ‎-گراف نشان می دهیم. منظور از یک جورسازی (تطابق) زیرمجموعه ی ‎ ‎m‎ ‎ از e‎ ‎ می باشد به طوری که هر دو عضو از ‎ m ‎ در ‎ ‎g‎ ‎ غیر مجاور باشند. شاخص هوسویای گراف ‎ ‎g‎ ‎ به صورت زیر تعریف می شود: ‎z(g)=?_(k=0)^?n/2???m(g,k),? ‎ m(g,‎k)‎ ‎ تعداد جورسازی های ‎ ‎g‎ ‎ با اندازه ی ‎k است. ‎ هم چنین چندجمله ای هوسویای ‎ ‎g‎ ‎ را با نماد ‎ ‎h(g,x)‎ ‎ نشان داده و برابر است با: h(g,x)=?_({u,v}?v(g))?x^(d(u,v)) ‎‎ ‎‎‎ ‎ d(u,‎v)‎ ‎ فاصله ی بین دو رأس ‎ ‎u‎ ‎ و ‎ ‎v‎ ‎ است. ‎‎ در این پایان ‎‎‎ نا‎‎‎مه خواص شاخص هوسویا را برای گراف‎ ها مطالعه می کنیم و این شاخص را برای برخی گراف های خاص به دست می آوریم. هم چنین چندجمله ای هوسویا برای بعضی از نانوساختارها محاسبه می کنیم.

‏ یک‎$l(2‎ , ‎1)$ ‎ -برچسب گذاری از گراف ‎$g$‎، یک تابع ‎$f$‎ از مجموعه رأس ها ‎$(v(g))$‎ به مجموعه همه اعداد صحیح غیر منفی است به طوری که ‎$|f(x)‎ - ‎f(y)| geq 2$‎ اگر ‎$d(x‎ , ‎y) = 1$‎ و ‎$|f(x)‎ - ‎f(y)| geq 1$‎ اگر ‎$d(x‎ , ‎y) = 2$‎، که ‎$d(x,y)$‎ نشان دهنده فاصله بین ‎$x$‎ و ‎$y$‎ در ‎$g$‎ هست.‎ یک ‎$‎k‎$‎ - ‎$l(2‎ , ‎1)$‎ - برچسب گذاری از گراف ‎$g$‎، یک نگاشت ‎$f:v(g) longrightarrow lbrace 0,1,2,...,k brace$‎ است به طوری که برای هر دو رأس مجاور و ‎متمایز‎ ‎$‎u‎$‎‎‎‏ و‏ ‎$‎v‎$‎‏ از ‎$‎g‎$‎‎‏‏، ‎‎‎$|f(u)‎ - ‎f(v)| geq 2$‎‎‏ و اگر فاصله دو رأس متمایز ‎$‎u‎$‎‏ و ‎$‎v‎$‎‏ دقیقاً ‎$‎2‎$‎‏ باشد آن گاه ‎‎‎$|f(u)‎ - ‎f(v)| geq ‎1$‎‎‎‎‏. ‎کوچکترین عدد صحیح مثبت ‎$‎k‎$‎‏‏ به طوری که ‎$‎g‎$‎‏ یک ‎$‎k‎$‎‏- ‎$‎l(2,1)‎$‎‏- برچسب گذاری را بپذیرد‏، ‎$‎lambda‎$‎- عدد ‎$‎g‎$‎‏ نامیده می شود. در این پایان نامه ‎$‎lambda‎$‎- عدد را برای گراف کیلی مکعبی (به غیر از گراف منشور) بر روی گروه های دو وجهی مطالعه می کنیم‏، که حاصل ضرب بریک گراف ها یا گراف های حلقوی لانه زنبوری نامیده می شود. ‎‏همچنین ‎$‎lambda‎$‎ - عدد برخی از گراف های خاص را مطالعه می کنیم. برخی کران های بالا و پایین را برای این پارامتر بررسی می کنیم. به‎ خصوص گراف مسطح بیرونی‏، ‎$‎lambda‎$‎ - عدد و کران های آن را در نظر می گیریم.

در این ‏رساله‏، ابتدا ‎گاما‎-جبرها‏ را به عنوا‏ن توسیعی از جبرها تعریف کرده‏ و مفهوم ‎گاما-بعد را معرفی می کنیم. سپس با ارائه ‎‎‏‎‎‏‎‎‏چند مثال و خاصیت در مورد گاما‎‎‎-جبرها ‏ به بررسی مطالبی پیرامون ماتریس‏ های ‎ m×n‎‎ و ‎گاما‎‎‎-جبرهای منظم می پردازیم.‎ در ادامه‏، مفهوم گاما‎-جبرها‏ را به گاما‎-ابرجبرها توسعه داده و روابط منظم را روی آن ها مطالعه می کنیم. هم چنین‏، رابطه هم ارزی گاما^* ‎ را روی گاما ‎-ابرجبر v ساخته و نشان می دهیم این رابطه‏، یک رابطه منظم قوی است وvگاما^* مجموعه تمام رده های هم ارزی این رابطه‎‎‏‏، یک گاما بتا* -جبر روی میدان kآلفا^* است. در ادامه‏، روی گاما‎‎‎-جبر شرکت پذیر v و برای هر آلفا در گاما یک گاما-لی جبر ساخته و برخی گزاره ها و خواص پیرامون گاما-لی جبرها را وقتی v و گاما به ترتیب مجموعه های ماترسهای m×n و n × m روی میدان f هستند‏، بررسی کرده و به تعریف‏، آلفا-مشتق، آلفا-نمایش، آلفا-پوچ توانی و اثبات قضیه انگل ‏در این حالت می پردازیم. در ‏خاتمه به معرفی حاصل ضرب تانسوری گاما- مدول ها‏ پرداخته و خواص اساسی آن ها را مورد مطالعه قرار می دهیم.

در این رساله، ‏برخی‎ خواص مشتق روی حلقه ها و $(f,g)$-مشتق دوتایی متقارن روی گاما‎حلقه ها مورد بررسی قرار گرفته است.‎ مفهوم مشتق روی ابرحلقه های ضربی و کراسنر به عنوان تعمیمی از مفهوم مشتق روی حلقه ها معرفی و برخی خواص آن مورد مطالعه قرار گرفته است. در این میان‏، ابرحلقه های (ضربی و کراسنر) دیفرانسیل معرفی و برخی خواص آن ها مورد بررسی قرار گرفته است. سپس، به تعمیم مفهوم مشتق پرداخته شده و بدین ترتیب (f,g)-مشتق روی ابرحلقه های ضربی و کراسنر معرفی شده است. همچنین، به معرفی و تجزیه و تحلیل برخی خواص مشتق روی گاما (نیم )‎ ابرحلقه ها پرداخته شده است. در پایان، مشتق، ‎-$f$‎مشتق و ‎-$(f,g)$‎مشتق روی برخی از جبرهای منطقی از جمله مشبکه ها، ‎-$bci bck$‎جبرها، ‎-$b$‎جبرها و ‎$mv$‎-جبرها معرفی و برخی خواص آن ها مورد مطالعه قرار گرفته است‎.

در این رساله ساختار گراف بخش پذیری روی مجموعه اندازه کلاس های تزویج دسته هایی از گروه های متناهی بررسی شده است.

چکیده ندارد.