در این پایان نامه به معرفی آنالیز بازه ای و قضایا و قوانین حاکم بر حساب بازه ها پرداخته و روشهای تائید شده ای را در حل معادلات دیفرانسیل و معادلات انتگرال به صورت جداگانه مرور می کنیم. در هر مورد مشکلات پیش رو و راه کارهای مختلف رفع این موانع را با جزئیات بررسی می نماییم. به عنوان بخش اصلی کار به معرفی الگوریتم جدیدی بر اساس بیان متفاوتی از الگوریتم مور پرداخته، سپس به کمک آن کرانهایی برای معادلات انتگرو-دیفرانسیل و معادلات انتگرال دوبعدی ولترا-فردهولم می یابیم. در ادامه تلاش می کنیم تا با معرفی کران های جدیدی به کمک چند جمله ای های تیلور بازه ای، دقت روش پیشنهادی را افزایش دهیم. با حل مثالهای متنوع عددی به همراه تحلیل نتایج بدست آمده نشان می دهیم که روش در عمل قابل اطمینان و کاربردی می باشد و در نهایت با تغییر الگوریتم اقدام به حل یک مساله کاربردی در مهندسی شیمی می نماییم.

در شبیه سازی مخازن نفتی مدل های فیزیکی مختلف و روش های عددی گوناگونی به کار گرفته شده است.جریان مخلوط نشدنی دوفازی یکی از این مدل های فیزیکی می باشد که در آن جریان حاکم را مرکب از دوجزء نفت و آب به ترتیب به عنوان فازهای نارطوبتی و رطوبتی در نظر می گیرد.بعد از مدل سازی دوبعدی این جریان یک دستگاه غیرخطی شامل دو معادله فشار و اشباع به دست می آید.در این پایان نامه با استفاده از روش عددی اجزای متناهی روی یک ناحیه دوبعدی و همچنین روش فشار ضمنی - اشباع صریح که یک روش متداول در حل معادلات مرتبط با مخازن نفت می باشد به حل این معادلات پرداخته و تقریبی از جواب مورد نظر را با روش بیان شده در فوق به دست می آوریم.

‎‎ریاضیات، به عنوان زبان علوم، همواره نقش مهمی در فن آوری ایفا می کند و در حال حاضر در حل مسائل اقتصادی، بوم شناسی، پزشکی‏، فیزیک نظری، مکانیک و مهندسی بکار میرود. بسیاری از مسائل این علوم، با استفاده از معادلات دیفرانسیل معمولی یا جزیی مدل بندی می شوند. اغلب آنها را می توانیم به معادلات انتگرال و یا انتگرال دیفرانسیل‎ با شرایط اولیه یا شرایط مرزی تبدیل نماییم. در این رساله، حل پذیری عددی رده هایی از معادلات انتگرال و انتگرال دیفرانسیل غیر خطی را مورد مطالعه قرار می دهیم. ما با بدست آوردن نتایج وجودی و منحصربفردی، روشهای پیشرفته عددی مانند، سری تیلور، تبدیل دیفرانسیلی‏، هم محلی و انتگرال گیری ضربی را بترتیب برای حل معادلات انتگرال دیفرانسیل‎‎ یک بعدی، معادلات انتگرال دیفرانسیل دو بعدی‏، معادلات انتگرال تاخیری منفرد ضعیف و معادلات انتگرال ولترا-فردهلم، تحت برخی از شرایط قابل اثبات روی هسته ها و توابع غیرخطی، مورد تحلیل قرار می دهیم. با مطالعه آنالیز خطا و همگرایی روش ها، نهایتا برای تایید نتایج ت?ئوری، مثال های عددی را بیان می کنیم.

در روش ماترسی تاپلیتز ابتدا بازه انتگرالگیری را به زیربازه های مساوی تقسیم و جمله انتگرالی معادله انتگرال اولیه را به مجموع متناهی از انتگرالها روی زیربازه ها تبدیل می کنیم. سپس با استفاده از توابع کمکی هر یک از انتگرال ها روی زیربازه ها را تقریب زده و به این ترتیب معادله انتگرال اولیه را به یک دستگاه جبری غیرخطی تبدیل می کنیم و با حل این دستگاه غیرخطی جواب تقریبی معادله انتگرال را در نقاط گره ای به دست می آوریم. نکته مهم در این روش شکل ماترس ضرایب دستگاه غیرخطی حاصله می باشد که بر اساس تئوری و عددی ارائه شده در پایان نامه به یکی از شکلهای تاپلیتز، متقارن مرکزی، پادمتقارن مرکزی، قرینه سطری، قرینه ستونی، متقارن سطری و متقارن ستونی می باشد.

در این پایان نامه یک روند برای تبدیل یک مساله کنترل بهینه عمومی به یک دستگاه معادله جبری دیفرانسیل(dae)تشریح شده است. شرایط لازم کیون-تاکر مسئله کنترل بهینه شامل معادلات دیفرانسیل،شرایط تکمیلی و نامساوی های مربوطه است که این نامساوی ها را می توان با اضافه کردن متغیرهای اضافی و ضرایب لاگرانژ به تساوی تبدیل کرد. مطالعه خواص معادله جبری دیفرانسیل حاصله، از نخستین اهداف ما در این پایان نامه می باشد که در این میان اندیس یک دستگاه dae را تعریف و نشان می دهیم که این پارامتر، میزان خوش وضعی مساله را مشخص می کند. مفهوم اندیس مهارشدنی در مطالعه اندیس در یک روش سیستماتیک استفاده می شود، و در طی این مراحل نشان داده می شود که از کدام مولفه های دستگاه معادلات برای کاهش اندیس باید مشتق گرفته شود. به وسیله مفهوم اندیس مهارشدنی، اندیس یک مساله از اندیس بالا(اندیس 3) را کاهش می دهیم بدون اینکه تعداد معادلات افزایش یابد.

همان طور که می دانیم بیشتر روش های عددی که برای حل معادلات انتگرال با هسته ی منفرد ضعیف به کار گرفته می شوند حتی در حالت خطی نیز تا حدی پیچیده هستند و اغلب در عمل به دلیل ناهموار بودن جواب در نقاط ابتدایی و انتهایی بازه و نیز گسترش خطای گرد کردن از دقت بالایی برخوردار نیستند. یکی از روش های حل معادلات انتگرال منفرد ضعغیف روش انتگرال گیری حاصل ضربی است که در آن قسمت بدرفتار هسته ی معادله انتگرال را با تابع دیگری تقریب می زنند به طوری که انتگرال حاصل شده به راحتی قابل محاسبه باشد. در این پایان نامه روش انتگرال گیری حاصل ضربی به کمک شبه درونیاب های گسسته ی مبتنی بر توابع اسپلاین به کار گرفته می شود. در طی این فرایند متناسب با نوع معادله انتگرال یک دستگاه معادله ی خطی یا غیر خطی حاصل می شود که با حل آن جواب های عددی معادله تعیین می شوند.

در این پایان نامه حل عددی معادلات انتگرال فردهلم نوع دوم با هسته های هموار و منفرد ضعیف مورد بررسی قرار می گیرد. بدین منظور ابتدا توابع متعامد لورانت را معرفی و برخی خواص آنها را مورد بررسی قرار می دهیم. سپس با استفاده از این توابع متعامد به حل عددی معادلات انتگرالی با هسته هموار پرداخته می شود. قسمت پایانی رساله روش جدیدی مبتنی بر دستگاهی از چندجمله ایهای معرفی شده، برای حل معادلات انتگرالی منفرد ضعیف به همراه مباحث مربوط به همگرایی روش ارائه شده، را بدست می دهد.نهایتاً روش حاصله در حل عددی تعدادی مسئله نمونه بکار رفته و نتایج عددی با مراجع مختلف مقایسه شده است.

در این پایان نامه کاربرد روش عنصر متناهی برای حل معادلات انتقال گرما در حالت ایستا با شرایط دیریکله مورد مطالعه قرار می گیرد. اساس کار بر آن است که از توابع b-اسپلاین دو بعدی به عنوان توابع پایه در روش مذکور استفاده می کنیم بدین منظور ابتدا به بیان توابع اسپلاین،b-اسپلاین و ویژگی های آن پرداخته و سپس b-اسپلاین های وزن دار را معرفی می نماییم. در ادامه الگوریتم کلی روش عنصر متناهی مطرح می شود. در پایان با بیان قضایای همگرایی و پایداری به حل یک مثال عددی پرداخته و کارایی روش نشان داده می شود.

هدف از این پایان نامه، بررسی مساله بهینه سازی مخروطی هم مثبت است . مساله بهینه سازی مخروطی هم مثبت ، یک مساله برنامه ریزی مخروطی است که تابع هدف آن خطی بوده و مجموعه شدنی توسط قیود خطی تعریف می شود و کلیه متغیر ها در مجموعه مخروط های هم مثبت قرار دارند . این مساله، بسیاری از مسایل بهینه سازی، از جمله مسایل تخصیص درجه دوم ، افراز گراف، درجه دوم کسری معین و درجه دوم خطی و نامحدب با قیود دودویی را شامل می شود. به عنوان یک کاربرد این مساله، مساله افراز گراف به اجمال مورد بررسی قرار می گیرد. در ادامه الگوریتم هایی برای تشخیص مفهوم کاملا مثبت بودن یک ماتریس و حل مسایل بهینه سازی متناظر مخروطی هم مثبت ارایه می شود. و هم چنین، مفهوم آزادسازی برای درون مجموعه مخروط کاملا مثبت مورد بررسی قرار خواهد گرفت.

محاسبه تابع احتمال r(z,t) که در آن t زملن و z مقدار اولیه است، از جمله مسایل عدم ورشکستگی یک شرکت بیمه با زمان متناهی برای مدیریت ریسک در اقتصاد در نظر گرفته می شود. در این پایان نامه ابتدا یک مدل ریاضی برای r(z,t) را از [3] معرفی کرده و نحوه بدست آوردن مدل مذکور را توضیح می دهیم. سپس به معرفی برخی مدل هایی که در مدل مذکور به شکل معادله انتگرال یا معادله انتگرو دیفرانسیل استفاده شده اند می پردازیم. نهایتا با شبیه سازی برخی داده های آماری از صندوق بیمه کشاورزی شرایط مدل ارایه شده را با استفاده از نرم افزار های spss17 و mintab14 بررسی و با توجه به دانشی که در ارتباط با مدل بدست آورده ایم سعی در تغغیر برخی شرایط و سپس حل مدل موجود پرداخته و نتایج حاصله را تفسیر کنیم.

در این رساله، روش تحلیلی- عددی جدیدی مبتنی بر خواصی از چندجمله ای های ماتریسی برای حل دستگاه های معادلات اپراتوری ارائه شده است. بدین منظور ابتدا با استفاده از برخی عناوین جدید در حوزه جبرخطی، چندجمله ای های ماتریسی و تعاریف مرتبط با آن را بیان می کنیم و نظر به ارتباط گسترده مفاهیم جبرخطی و نظریه اپراتورها، با تعریف اپراتور مناسب، معادله چندجمله ای ماتریسی را متناظر با دستگاه معادلات اپراتوری مفروض در نظر گرفته، سپس با تجزیه چندجمله ای ماتریسی با روش های موجود، روشی برای تقریب جواب دستگاه معادلات توسعه داده شده است. پس از بکارگیری تجزیه کانونی، دستگاه مستقل هم ارزی حاصل می شود که حل آن نسبت به دستگاه اصلی ارجح است. مباحث مربوط به تحلیل روش جدید ارائه شده، مورد مطالعه قرار گرفته و در ادامه نشان داده می شود که به دلیل ساختار مناسب تجزیه اسمیت چندجمله ای های ماتریسی، استفاده از آن ها برای حل رده گسترده ای از معادلات بسیار کارآمد می باشد. در این تحقیق، روش معرفی شده بطور خاص برای انواع دستگاه معادلات اپراتوری با ضرایب ثابت، دستگاه معادلات انتگرال و معادلات انتگرال جبری به تفصیل بحث و بررسی شده است. کاربردی از روش پیشنهادی در حل یک مسئله در مکانیک جامدات مطرح شده که کارایی روش را نشان می دهد. نتایج تحلیلی و عددی ارائه شده در این رساله، بهبود محاسباتی چشمگیری را از حیث دقت جواب های محاسباتی و سرعت روش نشان می دهد.

امروزه روش های تحلیلی-حددی زیادی جهت حل مسائل غیرخطی عملگری وجود دارد. روش های تکراری از جمله روش های عددی برای حل دسته زیادی از معادلات عملگری هستند و بعلاوه قادرند برای معادلات غیرخطی پیچیده تر به صورت جملاتی از یک فضای خطی به فضای خطی دیگر نگاشته شوند و جواب ها را در فضای متناظر ارائه دهند. در این رساله روشی را که از روش تجزیه عددی الگو گرفته شده است، مطرح و ایده تجزیه را روی روش تکراری نیوتن پیاده سازی کرده و یک روش تکراری جدید بر پایه تجزیه تابع f به عنوان جمله آزاد یک معادله حملگری به دو تابع ساده تر ارائه می دهیم. در ادامه پایداری و همگرایی این روش را ثابت کرده و در انتها آن را برای معادلات غیرخطی جبری نیز پیاده سازی کرده و نتایج آن را بررسی می کنیم.

در این پایان نامه ابتدا به معرفی مسایل معکوس پرداخته، سپـس مفـهوم خـوش وضعی و بدوضعی این مسایل را شــرح می دهیم. برای حل بسیاری از مسایل معکوس بدوضع از منظم سازی استفاده می شود. روش تیخانوف برای ساختن این منظم سازها بیان می شود. مسایل سهموی معکوس از جمله، مسایل معکوس گرما و مسأله ی تعیین قیمت را به عنوان دسته-ی مهمی از این مسایل مورد بررسی قرار می دهیم و برخی روش های عددی پایدار و موثر در حل این مسایل را بیان می-کنیم. یک مسأله ی سهموی غیرخطی را که دارای کاربردهای فراوان در سیستم های فیزیکی است را مطرح کرده و برای حل این مسأله از یک روش بازگشتی کمک می گیریم. در نهایت پایداری و همگرایی این مسأله را بررسی کرده و از گسسته سازی و روش تفاضلات متناهی برای تقریب جواب های آن استفاده می کنیم.

معادلات انتگرال مرتبه ی دوم، در حالت خاص، شمار زیادی از معادلات انتگرال را شامل می شوند که در نظریه ی انتقال تابش، نظریه ی جنبشی گازها و نظریه ی انتقال نوترون به کار می رود. ‏ این پایان نامه شامل بررسی وجود جواب های پیوسته ی مثبت معادلات انتگرال مرتبه ی دوم با تحمیل شرایط کافی بر آن، اثبات وجود جواب های ماکزیمال و مینیمال، یافتن جواب های تحلیلی وتقریبی برای کلاس هایی از این معادلات انتگرال و مقایسه نتایج آن می باشد. روشی که برای بررسی وجود جواب استفاده خواهیم کرد وابسته به دو قضیه ی نقطه ثابت شاودر و قضیه ی نقطه ثابت شاودر - تیخانوف می باشد.

در این رساله به بررسی نظری و عددی دستگاه های مرکب از معادلات انتگرال ولترای نوع اول و دوم ، موسوم به معادلات جبری انتگرال (iaes) می پردازیم. انواع مختلف اندیس که به عنوان یک مفهوم کلیدی در حل پذیری و تحلیل پایداری این نوع معادلات مطرح است را معرفی و نشان می دهیم که افزایش اندیس موجب افزایش پیچیدگی محاسباتی این دسته از معادلات می شود. همچنین با استفاده از این مفهوم، قضایای وجود و یکتایی مربوط به شکلهای مختلف این نوع دستگا ه ها را بیان و روش های عددی مختلفی را بر اساس چند جمله ای های متعامد و تکه ای برای حل عددی معادلات نیمه صریح اندیس یک و دو با هسته های هموار و منفرد ضعیف ارائه می دهیم. به علاوه تحلیل همگرایی هر روش را به طور مجزا بررسی و تخمین های خطا را بر اساس ثابت های لبگ برای چند جمله ای های درونیاب لاگرانژ و خواص چند جمله ای های متعامد و برخی نا مساوی های معروف بدست می آوریم. به دلیل بدوضعی معادلات جبری انتگرالی، بررسی همگرایی روشهای عددی برای این دسته از معادلات از مباحث تحقیقاتی جدید بوده و نتایج همگرایی بدست آمده برای آنها کاملا" با نتایج کلاسیک مربوط به دستگاه های معمولی معادلات انتگرال ولترا مغایر می باشد. نهایتا" روش های عددی پیشنهادی را با مثال های عددی متنوعی برای تایید تخمین های خطای حاصله مورد بررسی قرارداده و در پایان به تحلیل عددی یک مساله کاربردی از دستگاه های iaes با استفاده از روش هم محلی بر اساس چند جمله ای های تکه ای می پردازیم.

در این پایان نامه? ابتدا به تعریف رابطه تعامد بین چند جمله ای ها و معرفی چندجمله ای های متعامد کلاسیک پرداخته ایم. سپس توابع فوق هندسی و $q$ - فوق هندسی را معرفی نموده و روابط تعامد? روابط بازگشتی? معادلات دیفرانسیل مرتبط با این توابع و نمایش فوق هندسی و $q$ - فوق هندسی برخی توابع خاص از جمله توابع کلاس هان و $q$- هان را مورد مطالعه قرار داده ایم. در انتها گذر مختصری بر مسائل خطی سازی و مسائل اتصال بین چندجمله ای ها و ضرایب آنها در این کلاس از توابع داشته ایم.

در این رساله هدف اصلی بدست آوردن جواب معادلات انتگرال غیر خطی hammerstein مرکب و همچنین معادلات انتگرال غیر خطی volterra-hammerstein مرکب با استفاده از تعمیم روش مبتنی بر بسط تیلور که در سال 2002 توسط (5),yalcinbas، برای معادلات انتگرو-دیفرانسیل غیر خطی با فرم غیر خطی جبری بکار رفته شده است، می باشد. معادلات مورد بحث عبارتند از: در این رساله ضمن بررسی سیر تاریخی روش از سال 1989 لغایت 2002 میلادی به ارایه روش جدیدی مبتنی بر بسط تیلور برای حل این دو دسته از معادلات انتگرال غیر خطی می پردازیم و نهایتاً با ارایه چند مثال با فرم های غیر خطی مختلف، صحت نتایج تیوری را کنترل می کنیم. معادلات انتگرال مورد اشاره در حل مسایل کنترل، مسایل مهندسی شیمی و مدل سازی دینامیکی راکتورهای شیمیایی حایز اهمیت می باشند.

در این پایان نامه به بررسی روش های هم محلی چندگامی برای معادلات انتگرالی ولترا با هدف افزایش مرتبه همگرایی روش هم محلی بدون افزایش هزینه محاسباتی خواهیم پرداخت. روش ارائه شده ضمن استفاده از مقادیر تابع در ‎r‎ گام قبلی با اعمال شرایط درونیابی در این نقاط تقریب پیوسته ای برای تابع مجهول ارائه می دهد. نشان می دهیم روش های هم محلی ‎r‎ گامی با ‎m‎ پارامتر از مرتبه همگرایی یکنواخت ‎ m+r ‎‎‏و 2m+r-1‎ در حالت فوق همگرایی هستند. در ادامه به معرفی روش دو گامی هم محلی می پردازیم که با متعادل کردن شرایط هم محلی، مرتبه همگرایی روش هم محلی را افزایش می دهد و بدلیل داشتن پارامترهای آزاد‏، ‎a‎-پایدار‏ی را برای روش بدست می دهد.‎ همچنین به بررسی روش هم محلی چندگامی برای معادلات انتگرال دو بعدی ولترا می پردازیم. در انتها با ارائه مثال های عددی متنوعی برتری روش های مذکور را نسبت به روش هم محلی نشان می دهیم.

در این پایان نامه ابتدا توابع اسپلاین و ‎ -‎b ‎اسپلاین در فضای چند بعدی معرفی و برخی خواص آن ها بیان می شود. سپس به کمک فضاهای اسپلاین و فوق اسپلاین کاربرد ‎‎ -‎b‎اسپلاین ها در حل معادلات دیفرانسیل جزیی از نوع بیضوی بررسی می شود. همچنین، پایداری ‎‎ -‎b‎اسپلاین ها را مورد مطالعه قرار داده و با استفاده نرم افزار ‎mathematica‎ نتایجی عددی برای پایداری و خطای تقریب ‎-‎b ‎اسپلاین ها به دست می آوریم.

در این پایان نامه به معرفی یک روش عددی سریع برای ‏حل معادلات انتگرال فردهولم دو بعدی نوع دوم می پردازیم که افزایش سرعت همگرا‏یی و کاهش پیچیدگی محاسباتی جواب مسئله را به دنبال دارد. برای این منظور با استفاده از مفهوم درونیابی و چندجمله ایها‏ی چبیشف، ابتدا تقریبی از ماتریس ضرایب دستگاه حاصل از گسسته سازی مسئله را بدست می آوریم.‏ سپس با استفاده از بردار باقیمانده و پیش شرط سازها روش مورد نظر را بررسی کرده و با بیان مثال های متنوع و کاربردی صحت نتایج نظری را کنترل می کنیم. در انتها روش ذکر شده را برای معادلات انتگرال ولترای دو بعدی نوع دوم پیاده سازی کرده و برخی نتایج عددی را ارائه می دهیم.

در این پایان نامه روش تفاضلات متناهی شبکه متحرک برای حل معادلات انتگرال دیفرانسیل جزئی مورد بررسی و تحلیل قرار می گیرد. ابتدا یک نگاشت وابسته به زمان جهت تبدیل مختصات توسط یک چندجمله ای تکه ای درجه دوم در مکان و یک تابع تکه ای خطی در زمان تخمین زده می شود. سپس با استفاده از تقریب شبکه متحرک برای گسسته سازی عبارت حافظه در معادله یک روش مناسب طراحی شده است. در هر گام زمانی یک تقریب تکه ای ثابت ساده از عبارت زیر علامت انتگرال به کار برده می شود و سپس یک قاعده انتگرالی برای عبارت حافظه ساخته می شود. برای مکان فرمول تفاضلات متناهی مرکزی و برای زمان فرمول اویلر پسرو به کار برده می شود. برای تایید پیشگویی های نظری تست عددی نیز انجام شده است.

این پایان نامه مبتنی بر حل عددی معادلات انتگرال ولترای نوع دوم منفرد ضعیف با هسته های لگاریتمی با استفاده از چندجمله های متعامد می باشد. هدف ما از انجام این رساله، بررسی حل عددی این نوع معادلات، با استفاده از روش بسط متناهی چندجمله های چبیشف و لژاندر [ 8 ،7 ]، و نیز تحلیل خطا و همگرایی آنها می باشد. در نهایت نتایج عددی و همگرایی این دو روش با برخی روش های عددی از جمله روش هم محلی با چندجمله ای های قطعه ای پیوسته برانر [ 13 ]، برای این نوع معادلات مورد بررسی و مقایسه قرار می گیرد. مبنای کار این رساله مبتنی بر مراجع [ 8 ،7 ] می باشد.

در این پایان نامه ساختار روش عناصر طیفی برای معادله انتشار موج در فضای یک و دو بعدی با دامنه مربعی و شرایط کرانه ای همگن بیان می شود سپس فرم ضعیف معادله بر هر یک از عناصر مربعی، با به کار بستن ضرب دکارتی چندجمله ای های لاگرانژ در نقاط هم محلی گاوس-لوباتو-لژاندر به دست می آید. در ادامه دستگاه حاصل از بر هم نهی عناصر را اسمبل نموده و در نهایت یک دستگاه معادلات دیفرانسیل مرتبه اول بر حسب متغیر زمان به دست می آید که با روش تفاضل متناهی جواب تقزیبی محاسبه می گردد. سر انجام برای حل معادلات دیفرانسل سهموی، از چندجمله ای های b-اسپلاین به جای چندجمله ای های متعامد لاگراژ و از انتگرال ها به جای کوادراتورهای گاوس-لوباتو-لژاندر استفاده می کنیم و در نهایت جواب های به دست آمده را دز این حالت و حالت قبل که استفاده از چندجمله ای های لاگرانژ بود، با هم ارائه خواهیم داد.

‏در این ‏پایان نامه یک الگوریتم عددی مبتنی بر روش هسته دوبارتولید شده(بازتولید) برای حل برخی معادلات با مشتقات جزئی‏، مانند مسأله برگرز با ضرایب متغیر‏، مسأله انتشار کسری معکوس‏ و مسأله انتشار کسری غیر خطی بررسی می شود. جواب تحلیلی با استفاده از خواص فضای هسته بازتولید به صورت یک سری نامتناهی به دست می آید و یک مجموع متناهی از آن سری را به عنوان جواب تقریبی در نظر می گیریم. در پایان آنالیز همگرایی مطالعه شده و نتایج عددی به دست آمده ارائه می گردند.

مسائل دیفرانسیلی از نوع کسری موضوع به روزی است که مطالعه آن و روش های عددی کارا برای حل آنها رواج فراوانی یافته است. از جمله روش هایی که برای حل چنین مسائلی به کار گرفته می شود روش های تفاضلات متناهی، کالوکیشن، adiو نظایر آن می باشد. در این پایان نامه هدف بر این است که علاوه بر مطالعه کاربردی چنین معادلاتی به حل مسائل مربوطه در فضای دو بعدی بپردازیم. در این راستا با استفاده از روش عناصر محدود با پایه های b-اسپلاین جواب های مسأله را بهبود خواهیم بخشید و آن را برای حل مسائلی که دامنه هندسی مشخصی نمی باشند تعمیم خواهیم داد.

رشد اقتصادی به عنوان یکی از اصلی ترین اهداف تصمیم گیران ارشد هر کشور‏، تاثیر زیادی بر سطح رفاه مردم خواهد داشت. بر اساس مطالعات صورت گرفته در ادبیات ‎‏علوم اقتصادی، رشد اقتصادی یا همان تولید ناخالص داخلی از ترکیب سه مولفه اصلی سرمایه، نیروی کار و تکنولوژی یا همان بهره وری تشکیل شده است ‎cite{macro}‎. تحقیقات انجام شده در خصوص اهمیت هر یک از این عوامل گویای این مطلب است که رشد تکنولوژی بیشترین تاثیر مثبت را در افزایش تولید ناخالص داخلی دارد و بنابراین توجه به آن مهم و کلیدی می با‎‏شد ‎‎cite{macro}‎. اولین مدل مرتبط با مدل رشد تجهیزات سرمایه ای ‎ltrfootnote{vintage capital}‎ در سال ‎1962‎ میلادی توسط سولو ‎ltrfootnote{solow} cite{solow-1}‎ و جانسن‎ltrfootnote{johnesen} cite{joh}‎ ارائه شد‎. سولو ‎cite{solow-2}‎ در مدلی که در سال ‎1966‎ در سطح اقتصاد کلان ارائه کرد، نشان داد که تصمیم گیری در خصوص تعویض تجهیزات سرمایه ای در مدل های رشد قابل چشم پوشی بوده و به همین دلیل مطالعه در حوزه تعویض بهینه تجهیزات سرمایه ای در دهه های ‎70‎ و ‎80‎ میلادی متوقف شد که این موضوع در مقالات دیگری مانند مقاله ششینسکی‎ltrfootnote{sheshneski} cite{shesh}‎ در سال ‎1967‎ نیز اشاره شده است. در سال ‎1975‎ مالکومسون ‎cite{malcom} ltrfootnote{malcomson}‎ اولین مقاله در رابطه با تعویض ماشین آلات به عنوان یک نمونه از تجهیزات سرمایه ای در یک واحد صنعتی را ارائه و مطرح نمود که مدل را می توان به فرم یک معادله انتگرال غیر خطی که تابع مجهول آن در کران بالای انتگرال باشد، نشان داد. تحلیل مدل رشد تجهیزات سرمایه ای مجدداً با توجه به اهمیت یافتن بحث تعویض تجهیزات سرمایه ای و نوسانات ارزش سرمایه در دهه ‎90‎ میلادی تبدیل به یک حوزه فعال مطالعاتی شد. بن حبیب ‎ltrfootnote{benhabib}‎ و روست چینی ‎ltrfootnote{rustchini}‎ در سال ‎1991‎ ثابت کردند که تعویض دوره ای تجهیزات سرمایه ای اثر مثبتی در بهینه نمودن رشد اقتصادی دارد ‎cite{benhabib-1}‎. بوسکین ‎ltrfootnote{boucekkine}‎ و همکارانش در سال ‎1997‎ نشان دادند که نتایج سولو در سال ‎1966 ‎با‎ فرض ثابت بودن نرخ تعادل سرمایه مدل سازی شده است‎cite{bouck-1}.‎ آنها با توسعه مدل سولو نشان دادند در صورتیکه نرخ تعویض تجهیزات سرمایه ای ثابت فرض نشود، آنگاه تجهیزات سرمایه ای از مدل رشد حذف نمی گردد. در ادامه مطالعات زیادی در خصوص مدل های رشد تجهیزات سرمایه ای با نگاه تکنولوژی محور‏، توسط بن حبیب و روست چینی ‎cite{benhabib-2}‎ در سال ‎1993‎، بوسکین و همکاران ‎cite{bouck-2,bouck-3}‎ در سالهای ‎1998‎ و ‎1999‎، گرین وود ‎ ltrfootnote{greenwood}‎ و همکاران cite{green} در سال ‎1997‎ و بوسکین و همکاران ‎cite{bouck-4}‎ در سال ‎2001‎ صورت پذیرفت. هریتوننکو‎ltrfootnote{hritonenko}‎ و یاتسنکو‎ltrfootnote{yatsenko}‎ در سال ‎2008‎ نشان دادند که حل معادله تعویض بهینه تجهیزات سرمایه ای در سطح ملی و یا بنگاههای اقتصادی، به حل یک معادله انتگرال ولترای غیر خطی که تابع مجهول آن هم در کران بالای انتگرال و هم در زیر علامت انتگرال وجود دارد تبدیل می شود ‎cite{dynamic}‎. آنها همچنین در رابطه با وجود و یکتایی جواب مدل ارائه شده خود بحث نمودند ‎‎cite{model}‎‎‏‎. از سوی دیگر، محققین در تمامی مدل های تعویض بهینه تجهیزات سرمایه ای تا این سالها‏، این حقیقت که تجهیزات برای ادامه فعالیت خود نیازمند به هزینه های تعمیرات و نگهداری می باشند را صرفنظر نموده بودند و در تمامی این مقالات، این هزینه ها را ناچیز شمرده و لذا از بیان آن در مدل ها خوداری می نمودند. این روند ادامه داشت تا اینکه نتایج یک تحقیق در سال ‎1999‎ توسط مک گراتن ‎ltrfootnote{mcgratten}‎ و اشمیتز ‎ltrfootnote{schmitz}‎ در کانادا نشان داد که طی سال های ‎1961-93‎، هزینه های تعمیرات و نگهداری به طور متوسط در حد‎‎‎ود 6‎‎$ \% $‎‎‎ درصد تولید ناخالص داخلی کانادا در هر سال را به خود اختصاص داده است ‎cite{mc}‎. نتایج این تحقیقات باعث شد که ‎‏نوع نگاه به هزینه تعمیر و نگهداری تغییر یابد و نشان داده شد که نمی توان از این هزینه ها صرف نظر نمود. در ادامه مطالعات دیگری توسط ساگلام ‎ltrfootnote{saglam}‎ و ولیوف ‎ltrfootnote{veliov} cite{saglam}‎ در سال ‎2008‎، گوتز ‎ltrfootnote{goetz}cite{goetz}‎ و همکاران در سال ‎2008‎، بوسکین و همکاران ‎cite{bouck-5}‎ در سال ‎2009‎ در رابطه با میزان هزینه های تعمیرات و نگهداری صورت پذیرفت که همگی موید و تایید کننده نتایج مک گراتن و اشمیتز بودند. لذا در این رساله هزینه های تعمیرات و نگهداری در بحث تعویض بهینه تجهیزات سرمایه ای از دو دیدگاه آنالیز عددی و بهینه سازی عددی مورد تحقیق قرار می گیرد. هدف اصلی این رساله را می توان به دو بخش اساسی تقسیم نمود: در بخش اول تلاش نموده ایم مدل های موجود در خصوص تعویض بهینه ماشین آلات در کارخانه ها را با در نظر گرفتن رشد تکنولوژی ارتقاء دهیم. در همین راستا با توجه به توضیحات ذکر شده در رابطه با میزان بالای هزینه های تعمیرات ماشین ها در کارخانه ها، لزوم ارائه مدلی که در آن مدیران‏، امکان آنرا داشته باشند که در زمان های تعیین شده بتوانند نسبت به تعمیر و یا تعویض ماشین آلات خود تصمیم گیری نمایند، نیاز می شد که به نظر می رسد مدل توسعه داده شده در این رساله می تواند تا حدی این نیاز را پاسخ داده باشد. در بخش دوم نیز سعی کرده ایم تا رویکرد عددی برای حل مدل بهینه سازی تعویض ماشین آلات با توجه به رشد تکنولوژی ارائه نماییم. به همین منظور با بهره گیری از روش تجزیه ادومیان و با استفاده از تغییر متغیر های مناسب، توانسته ایم روش نوینی برای حل عددی این دسته از معادلات انتگرال ارائه نماییم که روش مناسبی بوده و از کارایی لازم برخوردار می باشد. این رساله در قالب ‎5‎ فصل تنظیم شده است‎:‎ در فصل اول به پیشینه اقتصادی مورد نظر در بحث تعویض(تعمیر) بهینه تجهیزات سرمایه ای از جمله تولید ناخالص داخلی، تجهیزات سرمایه ای، رشد تکنولوژی و هزینه های تعمیرات و نگهداری اشاره می شود تا درک بهتری نسبت به مدل های ارائه شده در فصول آتی فراهم شود. در فصل دوم به برخی از مفاهیم اولیه ریاضی در ارتباط با مفاهیم بهینه سازی نامقید، شرایط لازم بهینگی مرتبه اول، برنامه ریزی اعداد صحیح آمیخته و همچنین گزیده ای از مسائل مرتبط با معادلات انتگرال ولترا و معادلات انتگرال تاخیری پرداخته شده است که در سایر فصل های رساله نیز مورد استفاده قرار می گیرند. فصل سوم مروری بر مدل های مطرح شده در سطح کلان اقتصادی تجهیزات سرمایه ای و سطح خرد اقتصادی که شامل تعیین سیاست های تعویض بهینه ماشین آلات در کارخانه ها می باشد پرداخته ایم. شرایط لازم مرتبه اول بهینگی و حل پذیری مدل های مطرح شده را نیز مورد بررسی قرار داده ایم. در فصل چهارم با مشخص نمودن جایگاه هزینه های تعمیرات و نگهداری در سیاست های تعویض بهینه تجهیزات، مدل برنامه ریزی اعداد صحیح آمیخته غیر خطی را ارائه نمودیم که این مدل‏، به مدیران کارخانه ها اجازه می دهد تا در زمان های تعیین شده نسبت به تعویض و یا تعمیر ماشین موجود در کارخانه خود با توجه به هزینه های هر یک از موارد یاد شده و همچنین روند رشد تکنولوژی تصمیم مقتضی را به عمل آورند. در فصل پنجم به عنوان فصل پایانی، به معرفی رویکرد جدید عددی برای حل مساله تعویض بهینه ماشین آلات کارخانه ها با در نظر گرفتن روند رشد تکنولوژی پرداخته ایم. این رویکرد بر مبنای استفاده از روش تجزیه ادومیان بوده و از مزیت های آن برخوردار می باشد. همچنین بمنظور بررسی صحت جواب های حاصل شده در رویکرد جدید، نتایج عددی را با نتایج مثال های حل شده در مقالات ارائه شده مطابقت داده و نتایج حاصله مورد بحث و بررسی قرار گرفته اند.

در این پایان نامه به بررسی مسائل معکوس و بدوضع می پردازیم. تاکید این پایان نامه بر روش های عددی حل معادله ولترای نوع اول بدوضع با حفظ فرم اصلی معادله می باشد. از جمله این روش ها می توان به روند های تکراری مانند روش تکراری ریچاردسون و روش تکراری لاورنتیو اشاره نمود که با ارائه نمونه های عددی به بررسی آنها خواهیم پرداخت. در نهایت به بررسی دستگاه معادلات جبری-انتگرال (iaes) پرداخته و برای یافتن جواب تقریبی معادلات جبری-انتگرال اندیس یک از روش تکراری لاورنتیو کمک می گیریم.

هدف ما در این‏ پایان نامه بررسی روش کوادراتور انتگرال با انتخاب تصادفی گره ها تحت عنوان روش کوادراتور انتگرال‏ تصادفی (riq) برای حل معادلات انتگرال از نوع ولترا می باشد. این روش برای غلبه بر محدودیت های روش کوادراتور انتگرال عمومی (giq) که در آن باید گره ها‎ در امتداد یک خط راست باشند‏، توسعه داده شده است.

در این پایان نامه فرم جبری غیرخطی معادلات آبل ناهمگن را در نظر گرفته و با در نظر گرفتن جواب معادله به صورت یک سری توانی بااستفاده از روش تقریب تکراری پیکارد، جواب نیمه تحلیلی از معادله را بدست می آوریم. با توجه به غیرخطی بودن معادله، جواب روی یک زیر بازه به اندازه کافی کوچک همگرا بوده که با استفاده از تبدیلات دنباله ای غیرخطی لوین و سی دی می توان جواب های بهبود یافته ای در بازه های بزرگ تر بدست آورد.

در این پایان نامه به بررسی بهبود روش تکراری تقریبات متوالی برای حل کلاسی از معادلات انتگرال-دیفرانسیل ولترا با استفاده ازروش کوادراتور دیفرانسیل موسوم به ‎‎dq می پردازیم. روش ‎‎dq‎ یک روش گسسته سازی عددی برای حل معادلات انتگرال و دیفرانسیل است که مزیت اصلی آن حصول یک تقریب عددی با دقت بالا با استفاده از تعداد کم و متناهی نقاط گره ای است. در این پایان نامه با معرفی یک روش ترکیبی از دو روش تقریبات متوالی و ‎dq، ضمن پیاده سازی روش به بررسی شرایط همگرایی پرداخته و برخی نتایج عددی را نیز ارائه می کنیم. در هر حالت جواب های عددی حاصله را با نتایج عددی حاصل از برخی روش های تقریبی مقایسه خواهیم کرد. مبنای اصلی کار این پایان نامه براساس مراجع‎{1}‎ و ‎{21}‎ می باشد.

در این رساله، روش تجزیه adomian برای پاره ای از معادلات انتگرال غیرخطی توسعه داده شده است . خاصیت عملی روش تجزیه ای adomian عبارتست از ارائه دادن جواب های واقعی و مناسب از دستگاههای مختلط غیرخطی فیزیکی، بدون در نظر گرفتن شرایط اضافی و معمول در مساله اولیه. آنچه در این روند تحقیقات مورد نظر است بترتیب عبارتست از: - ارائه و پیاده سازی روش تجزیه ای adomian روی معادلات انتگرال و انتگرو دیفرانسیل غیرخطی از نوع والترا در این قسمت چگونگی تبدیل معادله انتگرال دیفرانسیل غیرخطی به فرم کانونی adomian توضیح داده می شود. چند جمله ایهای adomian برای این دسته خاص از معادلات معین می گردد. الگوریتم روش تجزیه ای پیاده سازی می شود و نهایتا نتایج عددی حاصله، صحت نتایج تحلیلی را نشان می دهد. - تعمیم ایده های نظریه تجزیه ای روی فضاهای دو یا چند بعدی و به خصوص معادلات انتگرال غیرخطی ولترا-فردهولم مرکب ، فرم کانونی adomian و چند جمله ایهای متناظر با آن محاسبه می گردد و نهایتا الگوریتم طراحی شده روی این دسته از معادلات پیاده سازی می شود. در این فصل نیز نتایج عددی حاصله، حاکی از دقت ، سرعت و ارزان بودن محاسباتی در قیاس با سایر روش های عددی موجود است . - ارائه یک کران برای سری adomian. در تمامی دو مورد قبل و موارد مشابه، با توجه به ساختار معادله تابعی غیرخطی اولیه، نشان می دهیم که محاسبه جواب در الگوریتم های ارائه شده به تعیین سری adomian وابسته است و با توجه به مشکلات محاسباتی و حجم زیاد محاسبات و هم چنین جهت جلوگیری از کاهش دقت جواب های محاسبه شده، یک کران مناسب با استفاده از لم gronwall-bellman-ried برای سری مذکور بدست می آوریم. تست های عددی انجام شده، صحت نتایج تحلیلی را بر خواهد داشت . - تحلیل خطای روش تجزیه ای. در این فصل تخمین خطا برای الگوریتم های ارائه شده در فصل های پیشین ارائه شده در فصل های پیشین ارائه می شود و بعلاوه سرعت و مرتبه همگرایی روش برای معادلات انتگرال غیرخطی مورد بحث قرار می گیرد. - کاربردهای عملی روش . طراحی و پیاده سازی روش روی مسائل کاربردی در نظریه غشاء سلولی، مسائل نفوذ متلاطم (آشوب زده)، مدل ریاضی یک حس گر زیستی، ساختار ریاضی گونه توزیع نوترون در یک راکتور هسته ای و بررسی رفتار مجانبی جواب برخی از مسائل غیرخطی دراین قسمت مورد بررسی قرار می گیرد.