هدف ما در این پایان نامه بررسی حل پذیری معادله عملگری c = b ax است. برای این منظور لازم است ابتدا با معکوس داخلی یک عملگر آشنا شویم. در ادامه خواهیم گفت که عملگر a یک معکوس داخلی کران دار دارد اگر و تنها اگر ( a) r بسته باشد. هم چنین شرط لازم و کافی برای این که معادله c = b? cb? aa برای هر معکوس داخلی ? a از a و ? b از b برقرار باشد، حل پذیری معادله c = axb می باشد. خواهیم دید که بسته بودن برد عملگرهای a، b یا c یکی از شرایط حل پذیری معادله c = axb است. نشان می دهیم که یکی از شرایط وجود جواب های مثبت معادله c = axb، عبارت است از ( ? a) r ? ( b) r، که در قضیه (? . 1 .?) و نتیجه (1? . 1 .?) توضیح داده شده است. در این پایان نامه به قضایای مهمی از قبیل قضیه داگلاس و قضیه سباستین و نتایجی از آن ها اشاره خواهیم کرد. هم چنین در انتهای این پایان نامه حالت خاص معادله عملگری c = axb که به صورت ?// ( a ) r q = axb می باشد، را مورد بررسی قرار خواهیم داد. واژه های کلیدی: معادلات عملگری، جواب های مثبت، معکوس تعمیم یافته، معکوس مور-پنروز