در این پایان نامه، نشان می دهیم اگر ‎$x,y$‎ اعضای ‎$c^*$-‎مدول هیلبرت باشند، آنگاه نامساوی مثلثی ‎$|x+y|leq |x|+|y|$‎ لزوما برقرار نیست. ‎‎ ثابت می کنیم که برای هر دو عنصر ‎$x,y$‎ در ‎$c^*$-‎مدول هیلبرت ‎$v$‎ روی ‎$c^*$-‎جبر ‎$mathcal{a}$‎, تساوی مثلثی برقرار است اگر و تنها اگر ‎$langle x,y angle =|x|‎: ‎|y|$‎. ‎‎ به علاوه اگر ‎$mathcal{a}$‎ دارای عضو همانی ‎$e$‎ باشد، آنگاه برای هر ‎$x,yin v$‎ و هر ‎$epsilon > 0$‎, یکانی های ‎$u,vin mathcal{a}$‎ وجود دارند به طوری که ‎$|x+y|leq u|x|u^*‎ + ‎v|y|v^*‎ + ‎epsilon e$‎. ‎‎ آندو و هایاشی در سال ‎2007‎ ثابت کردند که برای هر دو عملگر خطی کراندار ‎$t_{1}$‎ و ‎$t_{2}$‎ روی فضای هیلبرت ‎$mathcal{h}$‎, اگر تساوی مثلثی ‎$|t_{1}+t_{2}|=|t_{1}|+|t_{2}|$‎ برقرار باشد، طولپای جزئی ‎$u$‎ روی ‎$mathcal{h}$‎ وجود دارد به طوری که ‎$t_{1}=u|t_{1}|$‎ و ‎$t_{2}=u|t_{2}|$‎. این یک نتیجه از قضیه تامسون است که درباره ماتریس ها اثبات شده است. ‎‎ با استفاده از جبر پیوندی و برد عددی، این هم ارزی را به ‎$c^*$-‎مدول های هیلبرت تعمیم می دهیم. در انتها، کاربردهایی از این تساوی را بیان می کنیم.