در این پایان نامه همه حلقه ها جابجایی، یکدار و نوتری بوده و همه گرافها ساده می باشند، یعنی طوقه و یال دوگانه ندارند. ابتدا کلاس های هم ارزی از مقسوم علیه های صفر مشخص شده توسط ایده آل های پوچساز را معرفی می کنیم. سپس گراف کلاس های هم ارزی از مقسوم علیه های صفر از حلقه r، که از کلاس های مقسوم علیه های صفر بجای خود مقسوم علیه های صفر ساخته می شود را بررسی می کنیم. این گراف با e (r)? نشان داده می شود. این گراف مزایایی بر گراف مقسوم علیه های صفر(r)? دارد. ما ویژگی های گراف کلاس های هم ارزی از مقسوم علیه های صفر را مشخص کرده وآن را با گراف مقسوم علیه های صفر مقایسه می کنیم. همچنین رابطه بین اول های مربوطه از حلقه r و رأس های e (r)? را مشخص خواهیم کرد. به ویژه، قطر و محیط e (r)? و ویژگی هایی از رأس های برشی از e (r)? را بررسی می کنیم. سرانجام گراف مقسوم علیه صفر مختصر شده (گرافی که رئوس آن کلاس های هم ارزی از مقسوم علیه های صفر باشند) با دقیقاً پنج رأس را مطالعه می کنیم. بخصوص، گرافهای با دقیقاً پنج رأس را مشخص می کنیم که می توانند گراف مقسوم علیه صفر مختصر شده از یک حلقه باشند. حلقه هایی برای این گرافها تعیین کرده و نشان می دهیم بقیه گرافها نمی توانند گراف مقسوم علیه صفر مختصر شده از یک حلقه باشند.