خوشه های ستاره ای اطلاعاتی راجع به آغاز، حال حاضر و آینده ی جهان هستی بدست میدهند. خوشه های باز ستاره ای با داشتن ستاره های جوان، امکان مطالعه ی توزیع جرم ستاره ها در صفحه کهکشان راه شیری را فراهم می سازند. با ارائه ی توصیف کلی درباره ی خصوصیات ساختاری خوشه ی باز ستاره ای و سیر تحولی ستاره های عضو خوشه، اطلاعات لازم برای مطالعه ی منحنی های همسن خوشه بدست می آید. این حقیقت که منحنی های همسن محاسبه شده(مدل تئوری) دقیقاً شبیه نمودار h-r مشاهده شده ی خوشه(مدل تجربی) است، یکی از پیروزی های اخترفیزیک جدید است و ثابت می کند که اساس فیزیکی مدل ستاره ای استفاده شده صحیح می باشد. از این طریق و با استفاده از مدل جمعیت ستاره ای ساده (ssp)، منحنی های همسن محاسبه شده برای خوشه ی باز نمونه m11 با داده های تجربی این خوشه برازش شده است. سپس با استفاده از توابع توزیع جرم ستاره ای imf و توزیع فضایی king به روش مونت کارلو و به کمک مجموعه کد محاسباتی simclust به محاسبه ی پارامترهای جرم و موقعیت تک تک ستاره های عضو خوشه ی m11 پرداخته شده است. در نتیجه تصویر شبیه سازی شده ی خوشه ی m11 از طریق خروجیِ simclust و با کمک نرم افزار جانبی skymaker تولید شده است. مقایسه ی بین تصویر شبیه سازی شده با تصویر واقعی خوشه m11 بصورت کیفی صورت گرفت که حاکی از مطابقت مناسب نتیجه شبیه سازی شده بوده است. ضمناً خطای روش مونت کارلو در این شبیه سازی برابر با 1.05 درصد بدست آمده است.

در این پایان نامه ابتدا ضمن بیان تاریخچه ی مختصری از معادله ی شرودینگر، مروری بر ویژگیها و بستگی زمانی جواب های آن خواهیم داشت. سپس چند روش حل معادله ی شرودینگر نظیر سیستمهای وابسته به زمان را معرفی می کنیم. در ادامه با کاربرد دو روش، معادله ی شرودینگر را برای سیستمی با جرم و پتانسیل خطی وابسته به زمان حل کرده و جواب های حاصل را با هم مقایسه می کنیم. سپس با استفاده از روش تبدیل کانونیکی، ویژه توابع نوسانگری با جرم وابسته به زمان را به طور دقیق محاسبه کرده و نمودارهای عدم یقین و چگالی احتمال آن را بررسی می کنیم. در ادامه ی کار، نمودارهای عدم یقین و چگالی احتمال به دست آمده را با نمودارهای عدم یقین و چگالی احتمال یک نوسانگر هماهنگ ساده ی متناظر با جرم ثابت، مقایسه نموده و نتایج را تفسیر می کنیم. سرانجام در مورد حد کلاسیکی نوسانگرهای مورد مطالعه اشاراتی خواهیم داشت.

ابتدا به معرفی تابع توزیع ویگنر و ویژگی های آن می پردازیم. سپس تابع توزیع ویگنر را برای پتانسیل مورس، که تقریب نسبتاً خوبی برای پتانسیل مولکول های دو اتمی است، حالت خلأ فشرد? برانگیخته و حالت همدوس فشرده به دست می آوریم. در ادامه شیو? به دست آوردن تابع توزیع نیمه کلاسیکی از تابع ویگنر را بیان کرده و تابع توزیع نیمه کلاسیکی حالت زمینی چاه مربعی بی نهایت را محاسبه می کنیم. سپس تابع توزیع کلاسیکی چاه مربعی بی نهایت را در حد ??0 بررسی می کنیم. در پایان تابع توزیع ویگنر و تابع توزیع نیمه کلاسیکی و کلاسیکی نظیر آن را برای چاه مربعی بی نهایت دوگانه محاسبه و نتایج به دست آمده را در حالت حدی با چاه مربعی بی نهایت معمولی مقایسه می کنیم.

ابتدا پدیده ی درهم تنیدگی کوآنتومی و سنجشگر هایی که برای کمّی کردن آن لازم هستند، معرفی می شوند. سپس روش های تجربی تولید فوتون ها و الکترون های درهم تنیده و چند مورد از کاربرد های درهم تنیدگی مورد بررسی قرار می گیرند. در ادامه با استفاده از سنجشگر کانکرنس درهم تنیدگی گرمایی برای زنجیره های اسپینی کیوبیتی در مدل هایزنبرگ xx محاسبه می شود. در فصل سوم با استفاده از سنجشگر منفیت درهم تنیدگی گرمایی برای زنجیره های اسپینی کیوتریتی در مدل یاد شده بررسی خواهد شد. سرانجام پارامترهای موثر بر درهم تنیدگی گرمایی مطالعه و تحلیل می شوند. مشاهده می شود که با افزایش طول زنجیره و افزایش اسپین ذرات، درهم تنیدگی در مدل های مورد مطالعه ی ما کاهش می یابد.

ابتدا قضیه epr و پدیده درهم تنیدگی را معرفی می کنیم، سپس به بررسی همبستگی موجود میان ذرات در فواصل دور می پردازیم. در ادامه با استفاده از فرض های قضیه epr به معرفی چندین روش برای یافتن نامساوی های بل خواهیم پرداخت. سپس نشان می دهیم که برای چند مقدار اسپین که در حالت یکتائی قرار دارند، نامساوی بل نقض می شود و با پیشگویی های مکانیک کوآنتومی سازگار نیست. سرانجام، نامساوی بل را در مورد ترکیب های دیگری از اسپین های درست و غیر درست که در حالت یکتائی نیستند، بررسی نموده و مجدداً ناهماهنگی مکانیک کوآنتومی را با نامساوی های بل که از این حالت ها به دست می آیند، اثبات می-کنیم.

مشاهده می شود که حالت های همدوس اسپینی غیر خطی شده تحت این سه هامیلتونی و برهم نهی آن ها علاوه بر خاصیت فشردگی، می توانند همزمان از خاصیت درهم تنیدگی نیز برخوردار باشند. هم چنین تأثیر میدان مغناطیسی خارجی بر حالت های همدوس اسپینی غیرخطی، دور? تناوب نمودار پارامتر فشردگی برحسب زمان را کاهش می دهد. پارامتر تلاقی برهم نهی زوجی از حالت های همدوس اسپینی غیرخطی، مستقل از زمان است. دیده می شود که میدان مغناطیسی خارجی بر خاصیت درهم تنیدگی حالت های همدوس اسپینی غیرخطی شده تحت تأثیر مربع عملگر تعداد اسپینی و برهم نهی آن ها تأثیری ندارد. هم چنین عمق فشردگی برهم نهی زوجی از حالت های همدوس اسپینی غیرخطی شده تحت تأثیر مربع عمگرِ تعداد اسپینی و عملگر سینوسی، با افزایش پارامتر همدوسی بیشتر می شود. ملاحظه می گردد که برهم نهی زوجی از حالت های همدوس اسپینی غیرخطی شده تحت تأثیر هامیلتونی پیچش تک محوری همواره فشرده است. اضافه نمودن میدان مغناطیسی خارجی، باعث افزایش دوره تناوب نوسانات درهم تنیدگی در حالت های همدوس اسپینی غیرخطی و برهم نهاده، که تحت تأثیر هامیلتونی پیچش تک محوری تولید شده اند، می شود.

ابتدا با فرض این که خواننده هیچ آشنایی قبلی با مکانیک کوآنتومی ابرمتقارن ندارد، به معرفی مقدماتی آن می پردازیم. سپس یک خانواده از نوسانگرهای غیرخطی را، که همتاهای ابرتقارنی نوسانگر هماهنگ کوآنتومی اند، در نظر ‏می گیریم. با معرفی یک تبدیل یکانی نشان می دهیم که چگونه می توان برای این نوسانگرهای غیرخطی، عملگرهای نردبانی ‏خطی تعریف کرد. همچنین از طریق حل یک خانواده جدید از انتگرال ها که شامل حاصل ضرب دو تابع هرمیت در یک ‏تابع وزن و یک تابع کسری هستند، عناصر ماتریسی عملگر یکانی ذکر شده را به دست می آوریم. در این پژوهش، سرانجام ‏دو نوع عملگر نردبانی دیگر برای نوسانگرهای مورد نظرمان معرفی می کنیم: عملگرهای نردبانی ذاتی و طبیعی. نشان خواهیم داد که عملگرهای اخیر، عملگرهای نردبانی تغییر شکل یافته ‏f‏ با تابع تغییر شکل‏f_m (n)=‎‎?((n-m-1)(n-1) ‎، هستند.‏

حالت های همدوس، حالت های کوآنتومی هستند که رفتار سیستم های فیزیکی را در حد کلاسیکی توصیف می کنند. حالت های همدوس نوسانگر هماهنگ که به وسیله ی شرودینگر معرفی شدند، در طی چند دهه به طور گسترده ای مطالعه شده و کاربردهای فراوانی یافته اند. در سال های اخیر تعمیم های گوناگونی برای حالت های همدوس نوسانگر هماهنگ ارائه گردیده است؛ حالت های عددی جابه جا شده ی نوسانگر هماهنگ و حالت های همدوس دیگر هامیلتونی ها از آن جمله اند. علاوه بر این هامیلتونی های مربعی دسته ی مهمی از پدیده های فیزیکی را در برمی گیرند و اخیراً یک روش ماتریسی برای یافتن حالت های همدوس این هامیلتونی ها ارائه گردیده است. در این مطالعه ابتدا با استفاده از روش ذکر شده، حالت های همدوس نوسانگر ناهماهنگ دو بعدی ?xy و هم چنین حالت های همدوس تله ی پِنینگ در حضور اندرکنش ?xy را می یابیم. به این منظور عملگرهای نردبانی را پیدا کرده و با استفاده از آن ها عملگر جابه جایی را می سازیم. سپس با تأثیر عملگر جابه جایی بر حالت پایه، حالت های همدوس سیستم های مورد نظر را به دست می آوریم. در ادامه برخی ویژگی های حالت های همدوس به دست آمده را مورد مطالعه قرار می دهیم. در پایان، با تأثیر عملگر جابه جایی بر حالت های عددی نوسانگر هماهنگ یک بعدی، نوسانگر ناهماهنگ دو بعدی ?xy و تله ی پِنینگ، حالت های عددی جابه جا شده ی سیستم های یادشده را یافته و سپس مورد بررسی قرار می دهیم.

ابتدا پدیده ی درهم تنیدگی، معیارهایی برای تشخیص درهم تنیده بودن یک سیستم، سنجش گرهایی برای کمّی کردن درهم تنیدگی و انواع زنجیره های اسپینی معرفی می شود. سپس با استفاده از سنجش گر کانکرنس، اثر میدان مغناطیسی در وضعیت های مختلف و هم چنین اثر اندرکنش dm را بر درهم تنیدگی حالت های اولیّه ی دو، سه و چهار کیویتی، تحت هامیلتونی زنجیره های اسپینی xx، ising،xxz و xxx بررسی می گردد. نشان داده می شود که: تحول زمانی درهم تنیدگی به نوع زنجیره‎، حالت اولیه و هم چنین اندرکنش اعمال شده بر سیستم بستگی دارد. در زنجیره ی دو کیوبیتی، اعمال میدان بر کیوبیت اول و دوم، در زنجیره ی سه کیوبیتی اعمال میدان بر کیوبیت اول و سوم و در زنجیره ی چهار کیوبیتی، به طور مثال اعمال میدان بر کیوبیت اول و کیوبیت چهارم به نتایج یکسانی منجر می شود. هم چنین تحت شرایط بررسی شده، پدیده ی مرگ ناگهانی درهم تنیدگی در زنجیره های اسپینیِ با بیش از سه کیوبیت اتفاق می افتد. در زنجیره های چهار کیوبیتی، می توان در موارد خاص با اعمال یک میدان مغناطیسی بحرانی بر یک یا چند کیوبیت معین، پدیده ی درهم تنیدگی را کنترل و مرگ ناگهانی را بازسازی کرد.

در این پایان نامه ابتدا حالت های همدوس اسپینی، فشردگی اسپینی و بعضی از پارامتر های فشردگی معرفی می شوند. سپس از میان انواع مدل های زنجیره ی اسپینی، مدل های آیزینگ، xx، xxx و xxz را برای بررسی فشردگی انتخاب می کنیم. در ادامه با استفاده از مربع پارامتر فشردگی سورنسون، فشردگیِ حالت همدوس اسپینی و حالت در هم تنیده ی جزئی برای زنجیره-های اسپینی کیوبیتی در مدل های ذکر شده محاسبه می شود. همچنین به بررسی تأثیر برهمکنش dm و میدان مغناطیسی خارجی بر میزان فشردگی سیستم می پردازیم. مشاهده می شود که برای حالت همدوس اسپینی دو کیوبیتی، با اعمال میدان مغناطیسی در تمامی مدل ها فشردگی به وجود می آید. برای حالت همدوس اسپینی سه کیوبیتی در تمامی مدل ها و همچنین برای حالت همدوس اسپینی چهار کیوبیتی در مدل آیزینگ، بدون تأثیر برهمکنش dm و میدان مغناطیسی، فشردگی وجود دارد. برای حالت همدوس اسپینی چهار کیوبیتی در سه مدل xx، xxx و xxz با اعمال میدان مغناطیسی برسیستم، فشردگی به وجود می آید. برای حالت در هم تنیده ی جزئی دو، سه و چهار کیوبیتی در هر چهار مدل آیزینگ، xx، xxx و xxz بدون تأثیر برهمکنش dm و میدان مغناطیسی، فشردگی وجود دارد.

درهم تنیدگی نقشی اساسی در فرآیند های اطلاعات کوآنتومی‏ هم ‎چون کدگذاری چگال، فرابرد کوآنتومی‏ و ‏رمزنگاری کوآنتومی‏ ایفا می کند. به علاوه اکثر سیستم های فیزیکی دارای اندرکنش با محیط‎‎هستند. این پژوهش ‏به مطالعه ی دینامیک درهم تنیدگی در سیستم های کوآنتومی باز می پردازد. به این منظور از معادله ی لیندبلاد برای ‏مطالعه ی سیستم های‎‎‏ کوآنتومی باز استفاده کرده و دینامیک مارکووینی هم بستگی های کوآنتومی را برای ‏سیستمی متشکل از دو مُد بوزونی در یک محیط گرمایی مورد بررسی قرار دادیم. هم‎چنین تحول زمانی منفیت ‏لگاریتمی را برحسب عبارت هایی از ماتریس هموردار برای حالت های فشرده شده ی گرمایی متقارن و نامتقارن ‏توصیف کرده ایم. دینامیک درهم تنیدگی به تعداد متوسط فوتون های گرمایی، پارامتر فشردگی و فرکانس حالت ‏اولیه و پارامترهای مربوط به محیط، مانند ضریب اتلاف و دما وابسته است‎.‎‏ مشاهده گردید که در این سیستم ها، ‏مرگ ناگهانی درهم تنیدگی به ازای مقادیر خاصی از پارامترهاییاد شده رخ می دهد. به ویژه با افزایش ضریب ‏اتلاف محیط، مرگ ناگهانی درهم تنیدگی زودتر اتفاق می افتد. هم چنین بیش ترین تداوم درهم تنیدگی زمانی رخ ‏می دهد که فرکانس دو مد یکسان باشد.‏

چکیده: در این پایان نامه به موضوعات زیر پرداخته شده است: 1- در فصل اول مفاهیم درهم تنیدگی و چگونگی کمّی کردن آن، در حد نیاز این پایان نامه، به اختصار بیان گردیده است. 2- در فصل دوم دینامیک درهم تنیدگی سیستم دو کیوتریتی شبه بل، تحت سه هامیلتونی متفاوت در حضور اندرکنش dm و میدان مغناطیسی خارجی با استفاده از منفیت و تابع توافق تعمیم یافته مورد مطالعه قرار گرفته است. مشاهده می شود که دینامیک درهم تنیدگی در حالت یاد شده تحت مدل آیزینگ به مقدار j وابسته نیست، اما تحت مدل های xx و xy به مقدار j وابسته است. همچنین دینامیک درهم تنیدگی در این حالت تحت مدل های آیزینگ و xx به مقدار b وابسته نیست، اما تحت مدل xy تابعی نوسانی از b است و با افزایش آن عمق درهم تنیدگی افزایش می یابد. درهم تنیدگی در هر سه مدلِ آیزینگ، xx و xy به مقدار d وابسته است. 3- در فصل سوم دینامیک درهم تنیدگی سیستم سه کیوتریتی شبه ghz، تحت سه هامیلتونی متفاوت در حضور اندرکنش dm و میدان مغناطیسی خارجی مورد مطالعه قرار گرفته است. دیده می شود که دینامیک درهم تنیدگی حالت شبه ghz تحت مدل آیزینگ به مقدار j وابسته نیست، اما تحت مدل های xx و xxx به مقدار j وابسته است و افزایش j موجب بیشتر شدن بیشینه ها و کمتر شدن کمینه های درهم تنیدگی می شود. همچنین، دینامیک درهم تنیدگی حالت یاد شده تحت مدل های آیزینگ، xx و xxx، به مقدار d وابسته است و افزایش d موجب بیشتر شدن بیشینه ها و کمتر شدن کمینه های درهم تنیدگی می شود. دینامیک درهم تنیدگی این حالت تحت سه مدل یاد شده به مقدار b وابسته نیست. 4- در فصل چهارم و پنجم، دینامیک درهم تنیدگی برهم نهی حالت های هم دوس، تحت سه هامیلتونی متفاوت در حضور اندرکنش dm و میدان مغناطیسی خارجی مورد مطالعه قرار گرفته است. مشاهده می شود که دینامیک درهم تنیدگی حالت برهم نهاده هم دوس دو کیوتریتی تحت مدل های آیزینگ، xx و xy تابعی نوسانی از j است و افزایش j باعث کوتاه تر شدن دوره ی نوسان سنجش گرها می شود. همچنین دینامیک حالت یاد شده تحت مدل آیزینگ و مدل xx به مقدار b وابسته نیست، اما تحت مدل xy تابع نوسانی از b است و با افزایش b عمق درهم تنیدگی افزایش می یابد. دینامیک درهم تنیدگی حالت برهم نهاده هم دوس سه کیوتریتی تحت مدل های آیزینگ و xx تابعی نوسانی از j است و افزایش j باعث افزایش دوره ی نوسان سنجش گرها در زمان می شود، اما تحت مدل xxx به j وابسته نیست. همچنین دینامیک یاد شده تحت هر سه هامیلتونی به میدان مغناطیسی b وابسته نیست. علاوه براین درهم تنیدگی این حالت تحت مدل آیزینگ و مدل xxx به مقدار d وابسته است و با افزایش d عمق آن افزایش می یابد.

ابرتقارن روش سودمندی برای حل تحلیلی معادله ی شرودینگر است. این روش برای مطالعه ی پتانسیل های تک ذره ای گوناگون از جمله نوسانگر هماهنگ ساده، مورس، پاشل-تلر و اکارت به کار گرفته شده است. اخیراً نیز نوعی نوسانگر ناهماهنگ تک ذره ای و تعمیم دو ذره ای آن با استفاده از روش ابرتقارن مورد مطالعه قرار گرفته است. در این پژوهش ابتدا یک روش کلی برای مطالعه ی ابرتقارن در سیستم های دو ذره ای ارائه می کنیم. با استفاده از این روش نه تنها تابع موج و انرژی حالت پایه را می توان به دست آورد، بلکه با معرفی عملگر ابرتقارنی دو ذره ای حالت های برانگیخته نیز مورد مطالعه قرار می گیرند. سپس این روش را به سیستم های سه و در نهایت n ذره ای تعمیم می دهیم. عملگر ابرتقارنی سه ذره ای با استفاده از کواترنیون ها و عملگر ابرتقارنی n ذره ای با استفاده از مولفه های جبر کلیفورد معرفی می شوند. درنهایت با استفاده از این روش نوسانگرهای هماهنگ و دو نوع نوسانگر ناهماهنگ را برای سیستم های سه و n ذره ای مطالعه کرده و ترازهای انرژی و توابع موج را به دست می آوریم.

نوسانگرهای ناهماهنگ دارای حل دقیق نبوده و مطالعه ی آنها با استفاده از روش های تقریبی، از جمله نظریه ی اختلال رایلی-شرودینگر صورت می گیرد. در مطالعه ی دینامیک این سیستم ها، جملاتی در بسط های اختلالی ظاهر می شود که با گذشت زمان به شدت افزایش یافته و موجب واگرایی برخی کمیت های فیزیکی سیستم می گردد. از نظر فیزیکی این رفتار واگرا که در نتیجه ی عبارت های دیرپا بوجود آمده، غیرقابل قبول است.روش مقیاس چندگانه روش اختلالی نیرومندی برای گریز از این جملات دیرپا است. با استفاده از روش مقیاس چندگانه یک بسط اختلالی بر حسب پارامتر اختلال می نویسیم و با جای گذاری آن در معادله ی حرکت مختل شده، به معادله های دیفرانسیل جفت شده ای بر حسب زمان می رسیم. سپس با شرط واگرا نشدن جمله های وابسته به زمان، جواب های معادله های جفت شده را به-دست می آوریم. در این پژوهش، دینامیک دو و سه نوسانگر هماهنگ جفت شده را مورد مطالعه قرار می دهیم. در هر دو حالت کلاسیکی و کوآنتومی، جملات دیرپا در سری های اختلال ظاهر می گردند. در هر دو حالت با استفاده از روش مقیاس چندگانه، جملات به گونه ای بازترکیب می شوندکه از واگرایی رفتار سیستم با گذشت زمان جلوگیری شود.برای هر دو مدل کلاسیکی و کوآنتومی، دینامیک نوسانگرهای ذکر شده را با استفاده از دو و سه متغیر زمانی مورد مطالعه قرار داده و در هر مورد سازگاری نتایج را مشاهده می کنیم.

هدف این پایان نامه، آشنایی با پالایش درهم تنیدگی و ارائه ی روش های جدیدی برای انجام آن است. ابتدا مفاهیم بنیادی و ابزارهای لازم در فرآیند پالایش درهم تنیدگی معرفی شده است. پس از آن جزئیات برخی از روش های پالایش درهم تنیدگی برای حالت های دو و سه کیوبیتی مورد بررسی قرار گرفته است. سپس فرآیندهای پالایش زیر پیشنهاد شده است: 1- با معرفی درگاه cnotnot، فرآیند پالایش برای سه نسخه از حالت ورنر انجام شده است. وفاداری حالت های خروجیِ این فرآیند از وفاداری حالت های نظیر در پالایش دوکیوبیتی بنت و همکاران بیشتر است. 2- فرآیند پالایش برای دو نسخه از حالت تعمیم یافته ی ورنر انجام شده است. این فرآیند یک روش ساده، کارآمد و تکرارپذیر برای پالایش حالت های ورنر تعمیم یافته است. 3- دستورالعمل پالایش حالت های wوghz که دارای درهم تنیدگی جزئی هستند، با استفاده از درگاهcnot و به روشی جدید ارائه شده است. این روش در مقایسه با حالت های پیشین ساده تر به نظر می رسد. 4- پالایش حالت های چندکیوبیتی با استفاده از دو کاربر ارائه شده است، که موجب کاهش ارتباط های کلاسیکی می گردد..

ابتدا مفاهیم بنیادی مورد نیاز در پایان نامه را معرفی و سپس پدیده ی درهم تنیدگی و معیارهای تشخیص آن را بررسی می کنیم. در ادامه چند پروتکل ترابرد در دستگاه های تک کیوبیتی و دو کیوبیتی را مرورخواهیم کرد. سپس هفت پروتکل ترابرد برای دستگاه های دو کیوبیتی و سه کیوبیتی پیشنهاد می دهیم. این پروتکل ها شامل ترابرد حالت های دو کیوبیتی با کانال های مختلف با احتمال صد درصد، ترابرد احتمالی حالت های سه کیوبیتی از طریق کانال شش کیوبیتی چهار جمله ای، ترابرد حالت های سه کیوبیتی از طریق حالت های بل با احتمال صد درصد، ترابرد حالت های دو کیوبیتی دلخواه با احتمال صد درصد، ترابرد احتمالی حالت سه کیوبیتی دلخواه چهار جمله ای از طریق کانال شش کیوبیتی چهار جمله ای، ترابرد حالت سه کیوبیتی دلخواه چهار جمله ای با احتمال صد درصد و ترابرد حالت سه کیوبیتی دلخواه از طریق حالت های بل با احتمال صد درصد هستند.

ابتدا فرمول بندی مکانیک کوآنتومی اَبر متقارن را بر پای? مفاهیمی چون، پتانسیل های همزاد، اَبر پتانسیل، عملگر های اَبر تقارنی و اَبر بار معرفی می کنیم. سپس با بیان شرط ناوردایی شکل پتانسیل های همزاد، کاربرد این روش در به دست آوردن ویژه توابع و ویژه مقادیر پتانسیل مورس را بررسی می کنیم.

پتانسیل های وابسته به مکان در مکانیک کوآنتومی به دو دسته چند جمله ای و غیر چند جمله ای (یا کسری) تقسیم می شوند. پتانسیل های کسری نیز به دو دسته تکین و غیر تکین تقسیم می شوند. ازجمله پتانسیل های تکین می توان به پتانسیل های میله ای و هم توان اشاره کرد. هم چنین از جمله پتانسیل های غیر تکین، می توان پتانسیل های سی پی آر اس و کسری مرتبه دوم و چهارم را نام برد.

هدف ما در این پایان نامه، آشنایی با درگاه های کوآنتومی و چگونگی ترکیب آن ها برای تولید حالت های خاص و الگوریتم های کوآنتومی است.