یکی از کاربردهای نظریه گراف در علم شیمی، بررسی انرژی گراف های مولکولی می باشد. محققین ریاضی- شیمی انرژی گراف را هم ارز انرژی - الکترون کلی ساختارهای بنزنی تعریف نموده اند. در این پایان نامه این موضوع مورد بررسی و تحقیق قرار گرفته است و نتایج جدیدترین تحقیقات انجام شده در زمینه انرژی سیستم های بنزنی را از دیدگاه نظریه گراف گرد آوری نموده ایم. بدین منظور در ابتدا انرژی گراف را بررسی و در قسمت های بعدی ساختارهای بنزنی و خواص توپولوژیکی آنها را معرفی می نماییم. از آنجا که تنوع این سیستم ها زیاد است لذا بررسی انواع آنها کار پیچیده ای می باشد، اما در این کار سعی شده حتی الامکان از هر دسته یک نمونه بررسی شود. این ساختارها به دو دسته کاتاکاندنس و پری کاندنس تقسیم می شوند. که در این مجموعه از دسته اول دو نوع شاخه دار و بدون شاخه را بررسی کرده و برای هر نوع یک رابطه ترتیبی ارائه می شود، و از دسته دوم تنها زنجیرهای شش ضلعی دوگانه را معرفی کرده و رابطه ای ترتیبی برای آنها ارائه می گردد. اما از آنجا که برای محاسبه انرژی گراف، نیاز به محاسبه مقادیر ویژه داریم و این محاسبات برای گراف های بزرگ کاری سخت و پیچیده است؛ در این مجموعه سعی شده است که روشی ارائه گردد تا با استفاده از آن حجم محاسبات تا حد امکان کاهش یابد، بدین منظور بر نامه ای برای محاسبه انرژی سیستم های شش ضلعی عنکبوتی طراحی و یک روش بهینه برای محاسبه انرژی سیستم های متقارن ارائه گردیده است.

امروزه قراردادها متداول ترین ابزارهای مالی هستند. به همین دلیل با افزایش تقاضا برای این ابزار مالی، مساله ی قیمت گذاری قراردادها یکی از مهم ترین مسائل اقتصادی است. با گسترش مدل های تصادفی، نیاز به روش های محاسباتی تصادفی باعث ایجاد رشته ای جدید به نام مهندسی مالی شد. ارائه ی مدل بلک-شولز در سال 1973، معادلات دیفرانسیل جزئی را بیش از پیش مورد توجه افراد در زمینه ی اقتصاد قرار داد. بنابراین برای تعیین قیمت قراردادهای اختیار نیاز به راه حلی ساده ودقیق برای این معادلات دیفرانسیل جزئی است. روش آنالیز هوموتوپی یک روش تحلیلی برای حل معادله های خطی و غیرخطی در اقتصاد و علوم مهندسی است. این روش با تبدیل مسائل پیچیده از معادلات دیفرانسیل جزئی غیرخطی به تعداد نامتناهی معادلات دیفرانسیل جزئی خطی حل آن ها را ساده تر می کند و جواب را به صورت سری نامتناهی برحسب یک پارامتر فرضی بیان می کند. این روش، روشی کارا برای حل مسائل با شرایط مرزی است که در اقتصاد برای قیمت گذاری استفاده می شود. هدف از این پایان نامه، استفاده از این روش برای قیمت گذاری مشتقات مالی تحت مدل بلک-شولز است. با استفاده از روش آنالیز هوموتوپی و الگوریتم های مربوط به آن قیمت گذاری اختیار معامله با بررسی مدل بلک-شولز انجام می شود. مقایسه ی روش آنالیز هوموتوپی با روش های عددی دیگر دقت و همگرایی سری جواب بدست آمده از این روش را نشان می دهد.

یکی از مهم ترین و کاربردی ترین جنبه های آنالیز عددی حل معادلات تابعی است. روش آشفتگی هوموتوپی توسط بسیاری از ریاضیدانان و مهندسین برای حل معادلات تابعی مختلف به کاربرده شده است. این روش در سال 1999 توسط خی معرفی و بهبود یافته و برای معادلات غیرخطی موج، مسائل مقدار مرزی، معادلات انتگرال و بسیاری موارد دیگر به کار رفته است. در این پایان نامه، الگوریتم های جدید بر اساس روش اختلال هوموتوپی برای حل معادلات تابعی به ویژه معادلات دیفرانسیل جزئی ارائه می شوند. برخی مثال ها برای نشان دادن کارآیی و سادگی الگوریتم های جدید بیان می شوند.