فرض کنید ‎$ r $‎ حلقه ای جابه ‎جایی و یکدار و ‎$ z(r) $‎ مجموعه مقسوم علیه های صفر حلقه ‎$ r $‎ باشد. گراف جمعی حلقه ‎$ r $‎ گرافی است که رئوس آن عناصر حلقه می باشد و دو راس متمایز ‎$ x $‎ و ‎$ y $‎ مجاورند اگر و تنها اگر ‎$ x+y in z(r) $‎ . این گراف با نماد ‎$ t(gamma(r)) $‎ نمایش داده می شود. در این پایان نامه دو زیر گراف ‎$ t_0(gamma(r)) $‎ و ‎$ z_0(gamma(r)) $‎ که رئوس آن به ترتیب ‎$ r ^* $‎ و ‎$ z(r) ^* $‎ می باشند، مورد بررسی قرار می گیرد. در واقع تعیین می شود که ‎$ t_0(gamma(r)) $‎ و ‎$ z_0(gamma(r)) $‎ چه موقع همبند می باشند و سپس قطر و کمر این دو گراف محاسبه می شود. سپس با مقایسه ‎$ t(gamma(r)) $‎ و ‎$ t_0(gamma(r)) $‎ مشخص می شود که در حالتی که ‎$ |r| geq 4 $‎، قطر‎$ t(gamma(r)) $‎ با قطر ‎$ t_0(gamma(r)) $‎ برابر می باشد. ‎‎ همچنین مسیر مقسوم علیه صفرو مسیر منظم رابرای گراف ‎$ t_0(gamma (r)) $‎ تعریف کرده و بررسی می شود چه هنگام بین هر دو راس گراف ‎$ t_0(gamma(r)) $‎ مسیر مقسوم علیه صفر و یا مسیر منظم وجود دارد.