فرض کنیم ‎g‎ یک گروه باشد. گراف حلپذیر وابسته به گروه متناهی ‎g‎ را با نماد?_s (g) ‎ نشان می دهیم. در این گراف مجموعه رأس عبارت است از ?(g)‎‏، مجموعه مقسوم علیه های اول مرتبه ‎g‎ و دو رأس متمایز مانند ‎p‎ و ‎q‎ توسط یک یال بهم وصل می شوند چنانچه گروه ‎g‎ دارای یک زیرگروه حلپذیر مانند ‎h‎ باشد به طوری که ‎pq‎ مرتبه ‎h‎ را بشمارد. در این پایان نامه خواص معینی از گراف حلپذیر را مورد مطالعه قرار داده و نشان خواهیم داد بسیاری از گروهها توسط مرتبه و الگوی درج? گراف حلپذیر شان به طور یکتا مشخص می شوند.