در این رساله ابتدا با توجه به اهمیت و کاربرد بسیاری از مفاهیم ریاضی، به بررسی اصول و مقدمات فضای هیلبرت می پردازیم. از آن جایی که فضای هیلبرت متناهی و نامتناهی در مکانیک کوانتومی دارای کاربرد گسترده ای می باشد، ورود ریاضیات در حوزه کوانتوم به طور کامل صورت نگرفته و دارای نواقص و اشکالاتی است. برای مثال در بررسی خودالحاقی بودن عملگرها در محدوده معین‏ مانند چاه پتانسیل نامتناهی شرط خودالحاقی بودن با تناقضاتی روبه رو می شود که ریشه در بررسی عمیق تر جنبه ریاضی موضوع‏‏، تعریف عملگرهای مورد نیاز و تعیین دامنه مشخص برای آن ها‎ دارد. از جمله عملگرهای کاربردی و مهم در مکانیک کوانتومی عملگر تکانه می باشد که به خاطر تعریفش به صورت یک عملگر دیفرانسیلی‏، عملگری بی کران است. به منظور رهایی از مشکل خودالحاقی بودن در محدوده معین، با توجه به مبحث اندیس های کمی وان نیومون‏، توسیع خودالحاقی برای عملگر تکانه درنظر می گیریم. در این راستا از مبحث حالت های همدوس استفاده می نماییم. چون حالت های همدوس بهترین حالت ها برای بیان مکانیک کوانتومی هستند‏، عملگرهای تعریف شده توسط این حالت ها در محدوده معینی مانند چاه پتانسیل نامتناهی واگرا نشده و خوش تعریفند. در نتیجه می توان از شگرد حالت های همدوس برای بررسی دقیق تر ذره در چاه پتانسیل استفاده کرد. با توجه به توصیف حرکت ذره در چاه پتانسیل به کمک حرکت ذره روی حلقه، ابتدا به مطالعه کوانتش حالت های همدوس ذره روی حلقه پرداخته و سپس ‎با‎ در نظر گرفتن فضای هیلبرت مناسب‏، حالت های همدوس ذره در چاه پتانسیل نامتناهی را معرفی می کنیم. این حالت ها باید دارای سه شرط شناخته شده نرمالیزه بودن‏، پیوسته بودن‏ و برقراری رابطه همانی باشند. سپس به کوانتش مشاهده پذیرهای پرکاربردی مانند موقعیت‏، تکانه و انرژی می پردازیم و این مشاهده پذیرها را در حالت حدی تعیین می کنیم. در نهایت در این پایان نامه اصل عدم قطعیت بررسی می شود.