در تعیین عدد تعیین کننده در رنگ آمیزی رأسی یک گراف، هدف یافتن کمترین تعداد رأس است، طوریکه رأس های باقیمانده با ترتیبی خاص به اجبار رنگ بگیرند. با توجه به گسترده و متنوع بودن انواع گراف ها در این پایان نامه عدد تعیین کننده را در برخی از گراف های خاص مانند: گراف های هرری، حاصلضرب، منتظم، میشل اسکی، چرخشی و تقسیم بررسی می کنیم. در پایان، رنگ آمیزی جدید به نام رنگ آمیزی ستاره ای ارائه و عدد رنگی و تعیین کننده را در رنگ آمیزی ستاره ای تعدادی گراف های خاص مطالعه می کنیم. کلمات کلیدی: رنگ آمیزی،مجموعه تعیین کننده، عدد تعیین کننده، رنگ آمیزی ستاره ای، عدد رنگی ستاره ای، مجموعه تعیین کننده ستاره ای، عدد تعیین کننده ستاره ای.

ستارگان دوتایی، آن دسته از سیستمهای فیزیکی هستند که دو ستاره آن بهم نزدیک بوده و حول یک مرکز مشترک بنام مرکز ثقل می گردند. تاریخ تکاملی هر دو مولفه در چند مرحله با کوچ محسوسی از تکامل تدریجی ستارگان منفرد شروع می شود. در حال حاضر، دوتایی ها تنها منبع دانش ما از پارامترهای فیزیکی ستارگان می باشند. دوتاییهای نزدیک و دقیقتر دوتایی های گرفتی - دوتایی هایی هستند که قادرند اطلاعات مستقیم در مورد جرم و شعاع ستارگان فراهم کنند. در چند مورد، آنها اطلاعاتی درباره میزان تراکم مرکزی و بنابراین ساختار داخلی ستارگان در اختیار ما قرار می دهند. جنبه های پژوهشی دوتایی در زمانهای گوناگون متفاوت بوده است . بین سالهای 1783 تا 1911 میلادی، مطالعه ستارگان دوتایی مرئی یکی از میدانهای اصلی پژوهش نجومی به حساب می آمد. در این دوره، مشاهده و نظریه تواما ملاحظه می شد. از جمله موفقیتهای کسب شده در این دوره، کشف تغییرات درخشندگی ستاره دوتایی راس الغول توسط جان گودریک (1783) و به دنبال آن تعیین دوره تناوب برای این دسته ستارگان می باشد. از زمان گودریک تا قرن حاضر، مشاهدات دوتایی های گرفتی، الگو برای سایر ستارگان متغیر شمرده شدند. روشهایی از جمله عکسبرداری، طیف سنجی و با آغاز سال 1910 میلادی، کاربرد اولیه آثار فتوالکتریک را می توان گامی در پیشرفت علم نجوم برای تعیین عناصر گرفتی و مداری ستارگان دوتایی نام برد. در تاریخ، سال 1966 میلادی به عنوان آغاز دوره مدرن نامیده می شود. دوره همراه با سه پیامد مهم بود: 1) کاربرد روشهای کامپیوتری برای حل منحنی های نوری. 2) کاربرد عقاید جدید در رابطه با ساختار ستاره ای و تکامل سیستمهای دوتایی نزدیک . 3) استفاده از تلسکوپهای ماهواره ای برای مشاهدات مجاز در نواحی اشعه ایکس و ماوراءبنفش طیف . در کشور ایران با ایجاد رصدخانه ابوریحان بیرونی در شیراز فعالیت روی رصد ستارگان دوتایی آغاز شد و سیستمهای مختلفی مورد مشاهده و آنالیز قرار گرفت . سیستم er vul یکی از دوتایی های گرفتی است که توسط اینجانب در رصد ابوریحان بیرونی شیراز از تاریخ 7 مرداد ماه سال 1373 به مدت 4 شب رصد شد و با بدست آوردن شدت و فاز در زمانهای مختلف و با استفاده از روش تصحیحات جزئی مورد تجزیه و تحلیل قرار گرفت و منجر به تدوین نوشته حاضر شد. این تز شامل 5 فصل است که در فصل اول، آشنایی با ستارگان دوتایی - در فصل دوم، گروههای rs cvn در دوتایی های نزدیک - در فصل سوم، ابزار رصد و معرفی سیستمهای نورسنجی استاندارد - در فصل چهارم، مشاهده سیستم دوتایی er vul، نحوه تعدیل داده های رصدی و رسم منحنی نوری آن - و بالاخره در فصل پنجم، به حل نورسنجی سیستم دوتایی er vul پرداخته و در نهایت نتایج حاصل از کار رصد و آنالیز بر روی این سیستم آمده است . در ضمائم، نتیجه حاصل از کاهش اطلاعات و کاربرد برنامه های کامپیوتری در حل و آنالیز منحنی های نوری سیستم مربوطه آورده شده است .