رفتار ویسکوپلاستیک، رفتار غالب اکثر فلزات و آلیاژهای نیمه جامد در دمای بالا، بسیاری از مواد پلیمری، کمپوزیت ها، بتون، قیر و بسیاری مواد دیگر در فرآیندهای شکل دهی است. در پژوهش حاضر، روشی اویلری برای شبیه سازی فرآیندهای شکل دهی همانند اکستروژن، کوبش، آهنگری و به طور کلی تغییر شکل مواد دارای رفتار ویسکوپلاستیک ارایه شده است. یکی از مزیت های برجسته روش ارایه شده، توانایی شبیه سازی تغییر شکل های بزرگ و حل فرآیند های گذرا با زمان حل طولانی است. به دلیل ثابت بودن شبکه و استفاده از روش تفاضل محدود، کیفیت شبکه همواره مناسب باقی مانده و شبکه حل، برخلاف روش های لاگرانژی، دارای تغییرشکل زیاد و اعوجاج نمی شود. از طرفی به علت استفاده از روش سطح مشترک تیز، علاوه بر عدم اضمحلال مرز جسم در طول زمان، روش حاضر قابلیت توسعه به حل هم زمان چند ماده مختلف را دارا می باشد. معادلات حاکم شامل معادلات بقای جرم، مومنتم و معادله ساختاری ماده ویسکوپلاستیک هستند که به شکل اویلری حل می شوند. جسم جامد ویسکوپلاستیک به صورت سیال ویسکوز تراکم ناپذیر غیر نیوتونی مدل سازی شده است. روش به کار رفته در پژوهش حاضر می تواند برای مدل های مختلف ویسکوپلاستیک مورد استفاده قرار بگیرد. در کار حاضر فقط مدل ویسکوپلاستیک پرزینا مورد بررسی قرار گرفته است. در الگوریتم عددی ارایه شده جابجایی مرزهای جسم جامد با استفاده از روش سطح مبنا تعیین شده و از روش ونو مرتبه پنج برای حل معادله همیلتون-ژاکوبی سطح مشترک استفاده شده است. در فرآیند حل معادلات حاکم، از روش گام جزئی استفاده شده و معادلات حاکم به بخش های مختلف تفکیک شده و حل شده اند. در شروع هر گام زمانی ابتدا معادلات مربوط به سطح مشترک حل شده و مرز جدید جسم مشخص می گردد. سپس قسمت های مختلف معادلات حاکم یعنی جملات جابجایی و دیورژانس تنش به ترتیب با استفاده از روش های ونو مرتبه پنج و روش ضمنی ساده حل می شوند. سپس با استفاده از روش تصویرسازی مقادیر گرادیان فشار برای دامنه حل عددی تعیین می شود. جملات زمانی نیز با استفاده از الگوریتم رانگ-کوتا tvd مرتبه سه گسسته سازی شده و برای اعمال شرایط مرزی از روش سیال مجازی استفاده شده است. در انتها نیز توانایی های روش پیشنهادی در مدل سازی عددی فرآیندهای اکستروژن، کوبش و چند مثال دیگر بررسی شده است.

طی فرمول بندی پدیده های فیزیکی، فرض قطعیت معمولاً مفروض است. در مهندسی مکانیک با کمک این ساده سازی معادلات دیفرانسیل پاره ای استخراج می شود که در بسیاری از موارد این معادلات به کمک روش های عددی حل می شوند. در سال های اخیر تلاش-های بسیاری برای در نظر گرفتن عدم قطعیت در پدیده های فیزیکی انجام گرفته است. این تلاش ها محدود به فرض عدم قطعیت در شرایط مرزی و برخی ضرایب ثابت معادلات دیفرانسیل پاره ای است. بنابراین معادلات و روند کلی حل مانند روند کلاسیک بوده و تنها با دادن ورودی های مختلف بر اساس نظریه های آمار و احتمال، به بررسی خروجی بدست آمده می پردازند. عدم قطعیت بدلیل استفاده از روش های عددی حل معادلات دیفرانسیل پاره ای، بخش دیگری از عدم قطعیت ها در تحلیل پدیده-های فیزیکی است. در روش های کلاسیک با این توجیه که یک معادله دیفرانسیل دارای یک جواب قطعی است، به عدم قطعیت در نتایج به عنوان خطا نگریسته شده است. در این روش ها بعد از حل عددی مسئله، با انجام برخی فرضیات به محاسبه کرانه های خطا پرداخته می شود و یا اینکه با مقایسه دو جواب از معادله، تابعی از خطا بدست می آورند. باید توجه داشت که علت استفاده از روش های عددی، عدم وجود حل دقیق است و لذا فرض وجود یک جواب دقیق اگر چه قابل قبول است، ولی باید این موضوع را نیز پذیرفت که این جواب موجود نیست. آنچه در روش های عددی مسلم است، عدم قطعیت در نتایج است و با توجه به اینکه میدان در روش های عددی بطور دقیق مشخص نیست، بنابراین بر اساس تفسیر مبتنی بر اصالت ذهن احتمال، می توان آن را یک میدان تصادفی در نظر گرفت و به این ترتیب وارد قلمرو نظریه احتمال شد. لازم به ذکر است که یکی از مهمترین ابزارهای بررسی عدم قطعیت در ریاضیات نظریه آمار و احتمال است. با این حال تاکنون هیچ تحقیقی از دیدگاه نظریه احتمال در زمینه عدم قطعیت در نتایج روش های عددی حل معادلات دیفرانسیل پاره ای انجام نگرفته است. در این رساله برای اولین بار به بررسی عدم قطعیت (و یا اصطلاحاً تخمین خطا) در روش های عددی از دیدگاه نظریه احتمال پرداخته خواهد شد. میان یابی، مشتق گیری و انتگرال گیری را می توان پایه های اصلی روش های عددی حل معادلات دیفرانسیل پاره ای دانست، بنابراین با بررسی دقیق این سه موضوع از دیدگاه نظریه احتمال، ساختار ریاضی مناسب برای بررسی روش های عددی از دیدگاه آمار و احتمال ایجاد خواهد شد. بطور خلاصه موارد زیر در این رساله مورد بررسی قرار خواهد گرفت: • در این رساله تفسیر مناسبی برای استفاده از نظریه احتمال در روش های عددی ارائه خواهد شد. برای این منظور از تفسیر مبتنی بر اصالت ذهن احتمال استفاده خواهد شد و میدان در حل معادلات دیفرانسیل پاره ای، یک میدان تصادفی در نظر گرفته خواهد شد. • ارزیابی اعتماد به میان یابی بر اساس روش کریگینگ مورد بررسی قرار خواهد گرفت و بر اساس آن یک روش جدید برای ارزیابی اعتماد به شبکه و سپس هموار کردن شبکه ارائه خواهد شد. روش ارائه شده تنها روشی است که می تواند تاثیرات تغییرات میدان، ابعاد شبکه و توابع شکل را بطور همزمان و مستقیم در هموار کردن شبکه در نظر بگیرد. • میزان اعتماد به میدان گرادیان مورد ارزیابی قرار خواهد گرفت و بر اساس آن نقاط فوق همگرا در انواع المان مورد بررسی قرار خواهد گرفت. علاوه بر آن در روش های بدون شبکه نقاط گرادیان بهینه معرفی خواهد شد. • میزان اعتماد به انتگرال گیری مورد ارزیابی قرار گرفته و با کمک آن نقاط انتگرال گیری و همچنین وزن های آن بطور بهینه محاسبه خواهد شد. بنابراین یک روش انتگرال گیری منحصر بفرد بر اساس کمینه کردن خطا ارائه خواهد شد که در آن تغییرات میدان نیز در نظر گرفته می شود.

در این پایان نامه، از روش شبیه سازی مونت کارلو و ترکیب آن با اجزای محدود برای آنالیز احتمال اندیشانه ارتعاشات آزاد و پایداری لوله های حامل سیال استفاده می شود. برای اندرکنش سیال-سازه، از مدل تیر اویلر-برنولی برای آنالیز سازه ی لوله استفاده می شود و برای درنظر گرفتن جریان سیال درونی از مدل جریان با پروفیل سرعت-ثابت استفاده شده است. با درنظر گرفتن پارامترهای سازه ای و سیال سیستم به عنوان میدان های تصادفی، معادله ی دیفرانسیل پاره ای متقن حاکم بر سیستم پیوسته، به یک معادله ی دیفرانسیل پاره ای و تصادفی تبدیل می شود. میدان های تصادفی پیوسته، توسط روش های گسسته سازی نقطه-وسط و میانگین موضعی، گسسته می شوند. سپس، با استفاده از شبیه سازی های مونت کارلو در هر حلقه تکرار، هر معادله پارامتر-پیوسته ولی با پارامترهای تصادفی-گسسته، به یک معادله ی دیفرانسیل پارامتر-پیوسته ی متقن تبدیل می شود. هر کدام از این معادلات، به کمک اجزای محدود، به یک دستگاه معادلات دیفرانسیل معمولی متقن تبدیل می شود. بنابراین، همه ی پارامترهای متقن و تصادفی سیستم گسسته سازی می شوند. برای آنالیز ارتعاشات آزاد، مساله ی مقدار ویژه برای به دست آوردن مقدارهای ویژه ی مختلط و فرکانس های بحرانی، حل می شود. در نتیجه، با داشتن فرکانس های مختلط و نقطه های دیورژانس، پاسخ های آماری مساله تصادفی، همانند مقدار میانگین، انحراف استانده، تابع چگالی احتمال، و احتمال رخداد برای ناپایداری دیورژانس به دست می آید.