در این پایان نامه ابتدا به بیان ابرگروه می پردازیم سپس تصویر گر کروی به نام پی را تعریف میکنیم که با کمک آن توابع پی شعاعی معرفی می شوند و چند ویژگی در مورد توابع پی شعاعی از جمله اینکه اگر تابعی پی شعاعی باشد وارون آن نیز پی شعاعی است و اینکه پیچش دوتابع پی شعاعی نیز تابعی پی شعاعی است و بیان مدار و اینکه تابعی پی شعاعی است اگر و تنها اگر روی هر مدار ثابت باشد و ... اثبات می شود و سپس ثابت می کنیم که مجموعه همه مدارهای یک گروه موضعاً فشرده مانند g با پیچش و بازگشت خاصی یک ابرگروه است که به این ابرگروه ابرگروه کروی می گوییم و پس از آن ابرگروه فراکروی که نوع خاصی از ابرگروه های کروی با این خاصیت که تابع مدولار گروه g پی شعاعی است تعریف می شود سپس با کمک جبر فون نویمن فضای فوریه ابرگروه کروی و با کمک آن فضای فوریه ابرگروه فراکروی بیان می شود.