محسن کیخائی رضا رضائیان فراشاهی
تجزیه اعداد، یکی از بیشترین مسائل مورد مطالعه در نظریه الگوریتمی اعداد و رمزنگاری می باشد. روش تجزیه اعداد با استفاده از خم های بیضوی (ecm)، که به روش لنسترا معروف است، در حال حاضر، یکی از بهترین روش ها برای تجزی? اعداد است. شکل های مختلفی از خم های بیضوی مورد مطالعه و بررسی قرار گرفته اند، که می توان به خم های سویاما، خم های مونت گومری، خم های ادواردز و خانواده های توسیع یافت? خم های ادواردز اشاره کرد، که مورد اخیر از جدید ترین و بهترین نوع خم های بیضوی می باشند. روش ecm ، نقش مهمی را برای تجزیه اعداد تصادفی ایفا می کند که مورد علاقه دانشمندان نظریه اعداد است. همچنین این روش کاربرد زیادی برای تجزیه اعداد از اندازه متوسط و بزرگ دارد و از این لحاظ مورد علاقه دانشمندان رمزنگاری است. بهترین رکورد ثبت شده روش ecm ، کشف عامل 274 بیتی از عدد 947 بیتی 7^337+1 است که در سال 2013 به دست آمده است. اطلاعات بیشتر درباره تمام رکوردهای ثبت شده روش تجزیه ecm در سایت http://www.loria.fr/~zimmerma/records/ecmnet.html قراردارد. بسیاری از تحلیل ها و بررسی های صورت گرفته برای پیشرفت روشecm ، استفاده از نقاط و گروه های q-تاب دار خم های بیضوی می باشد که در این روش مورد استفاده قرار می گیرند. در فصل پایانی این کار، به بررسی کامل روش ecm دو مرحله ای پرداخته شده است. همچنین پارامتری سازی هایی که توسط مونت گومری و اتکین و موراین برای خم های ادواردز برای بررسی گروه های q -تاب دار یک ریخت با z_12 و z_2 × z_8 معرفی شده اند، بیان شده است. پیاده سازی هایی برای روش ecm انجام گرفته است، که می توان به نرم افزار gmp-ecm اشاره کرد. در این پایان نامه، پیاده سازی ecm ، با استفاده از کتابخانه محاسباتی mpf_q (mpfq) و با استفاده از خم های ادواردز، تحت عنوان نرم افزار eecm-mpfq بیان شده است. با استفاده از پارامتری سازی های گفته شده، درصد موفقیت پیاده سازی روش ecm با استفاده از نرم افزار eecm-mpfq مورد بررسی قرار گرفته است. البته لنسترا در مقاله خود دلایل و احتمالات موفقیت روش جدید خود را بیان و اثبات نموده است و بررسی هایی که پس از لنسترا توسط سایرین انجام گرفته است، برای بهبود روش ecm ، افزایش کارایی، پیداکردن بهترین پارامترها و خم ها برای این روش می باشد.
