فرض کنید c^1[0,1]‎ جبر توابع مشتق پذیر پیوسته از فاصله واحد ‎[0,1] ‎ به توی ‎ c‎ باشد. هدف اصلی این پایان نامه مشخصه سازی نگاشت های دو خطی پیوسته از c^1[0,1]× c^1[0,1]‎ به توی فضای باناخ x ‎ مانند ? است مشروط به این که اگر ‎ f,g?c^1[0,1] ‎ که ‎ fg=0 ‎ آنگاه ? (f,g)=0‎. عملگر خطی ‎ tاز جبر باناخ a ‎ به توی جبر باناخ b‎ را حافظ ضرب صفر گوییم در صورتی که اگر ‎ a,b? a ‎ و ‎ ab=0 ‎ آنگاه ‎ta.tb=0. برای رسیدن به این هدف عملگرهای حافظ ضرب صفر را روی c^1[0,1] ‎ و عملگرهای روی ‎ c^1[0,1] ‎ که به طور موضعی این خاصیت را دارند مورد مطالعه قرار می دهیم . در پایان اثبات می کنیم که اگر l^? (s) ‎ مجموعه تمام توابع مختلط کراندار روی مجموعه ناتهی ‎s‎ باشد هر عملگر خطی حافظ ضرب صفر مانند t‎:c^1 [0,1]? l^? (s) ‎ را می توان به صورت‎ (tf)(t)=g(t)f(?(t))+h(t) f^ (?(t)) (f?c^1 [0,1]‎,‎t?s) نوشت که در آن مانند (f,g?l^? (s و یک تابع [?‎?s? [0,1 توابع مفروضی هستند .