در فصل اول به معرفی مفاهیمی از نظریه حلقه هاو نظریه مدول ها که در این پایان نامه استفاده می شوند پرداخته ایم. قضایای پرکاربرد در این پایان نامه در این فصل با ذکر منابع آن ها آورده شده اند. بیشتر این مفاهیم و قضایا از مراجع] 2[ و ] 9[ می باشند. در فصل دوم به معرفی حلقه های نرمال ضعیف پرداخته و ارتباط آن ها را با دسته مهمی ازحلقه ها از جمله حلقه های پاک و حلقه های تبادلی بررسی کرده ایم. در فصل سوم به کاربرد این حلقه ها پرداخته شده است. درواقع به کمک مفهوم حلقه های نرمال ضعیف ارتباط بین دسته های دیگر حلقه ها را بررسی کرده ایم. به ویژه نشان داده ایم که در حلقه های نرمال ضعیف دو شرط پاک بودن و تبادلی بودن معادل هستند. خواص حلقه های پاک، حلقه های منظم، حلقه های تبادلی و ارتباط آن ها با یکدیگر در مقالات بسیاری بیان شده است (مراجع] 3[و] 4[و] 5[و] 6[و] 18[ را ببینید). بنابراین این حلقه ها اهمیت ویژه ای دارند که به کمک آن ها بررسی حلقه های پاک، تبادلی و منظم، ساده تر می شود. بررسی حلقه های نرمال ضعیف می تواند در بررسی حلقه های ذکر شده کمک شایانی کند که در این پایان نامه به بررسی این خواص و ارتباطات خواهیم پرداخت. در سال ????"کوهن" ] 6[،مفهوم حلقه برگشت پذیر را بدین صورت مطرح کرد که اگربرای عناصر a,b درحلقه ی r، ab=0 باشدآنگاه بتوان نتیجه گرفت ba=0 است. در همان سال اندرسون ] 1[، نام حلقه های zc_2 رابجای حلقه های برگشت پذیربا تعریف یکسان کوهن در نظر گرفت. ازسال???? "کرمپا" و همکارانش] 10[، به این حلقه هانام c_o را داده بودند.در سال 2007"ژائو" ] 20[، مفهوم برگشت پذیرضعیف را معرفی کرد. بدین صورت که برای هر r?r، ab=0 نتیجه دهد ایده آل rbra یک ایده آل پوچ ازr باشد. تعاریف مشابهی درمراجع ] 15[ و] 16[ با در نظر گرفتن عناصرخودتوان حلقه یr بیان و بررسی شده اند .به عنوان مثال"وی" و "لی" ] 16[، مفهوم حلقه ی شبه نرمال را بدین صورت معرفی کردند که برای هر عنصر پوچتوان a در حلقه یr و هر عنصر خودتوان مانند e در این حلقه، از ae=0 بتوان نتیجه گرفت که ear=0. در این پایان نامه به عنوان حالتی خاص از حلقه های برگشت پذیر ضعیف حلقه های نرمال ضعیف معرفی و بررسی می شوند. تعریف این حلقه ها مشابه حلقه های برگشت پذیر ضعیف است اما به جای عناصر دلخواه، خودتوان ها رادر نظر می گیریم. در واقع حلقه یr را نرمال ضعیف می نامیم هرگاه برای هر a,r?r و عنصر خودتوان e?r ، ازae=0 بتوان نتیجه گرفت که rera یک ایده آل چپ پوچ از r است. بررسی رده های بزرگ تراز این حلقه ها یعنی حلقه های برگشت پذیر و برگشت پذیرضعیف در مقالات متعدد نشان دهنده ی اهمیت آن هاست. همچنین با توجه به ظاهرشدن خودتوان ها در دسته های مهمی از حلقه ها مانند حلقه های تبادلی و حلقه های پاک، می توان ارتباط مهمی بین این دسته از حلقه ها بدست آورد که در این پایان نامه به بررسی آنها می پردازیم. در سال ???? نیکلسون دسته های مهمی از حلقه ها یعنی حلقه های تبادلی و پاک را معرفی کرد (مرجع] 11[ را ببینید). کارهای زیادی تا کنون روی این حلقه ها انجام شده است. به عنوان مثال می توان به مراجع]4[،]6[،]8[،]11[،]12[،]16[ مراجعه کرد. در این پایان نامه به عنوان کاربردی از حلقه های نرمال ضعیف نشان داده شده است که با فرض نرمال ضعیف بودن حلقه ی r ، تبادلی بودن r و پاک بودن آن با هم معادل هستند. همچنین تعمیم ها و دسته های بزرگتری از حلقه ها را به کمک این حلقه های نرمال ضعیف می توان مشخص سازی کرد. ضمن این که مشخص سازی هایی برای خود این حلقه ها هم آورده شده است.