می دانیم اگر xوyدو عدد حقیقی باشند انگاه یک عدد طبیعی n با خاصیت nx>y وجود دارد،فضاهایی با خاصیت مذکور را فضاهای ارشمیدسی می نامند،اما فضاهایی نیز وجود دارند که این خاصیت برای آنها برقرار نمی باشد.در واقع تمام تواعد و اصول هندسه ارشمیدسی در مورد خطوط مستقیم،مثلث ها و اعداد در این فضاها متناقض می باشد،به آن ها فضاهای ناارشمیدسی می گوییم.ریاضی دان بسیاری به بررسی اصول وقضایایی که قبلا در فضای ارشمیدسی صدق می کرد در این فضای جدید پرداختند.از مهمترین این بررسی ها به قضیه نقطه ثابت در فضای ناارشمیدسی و یا پایداری توابع تک جمله ای می توان اشاره نمود.با توجه به اهمیت ویژه قضایای ناارشمیدسی در آنالیز تابعی،فیزیک مغناطیس و کوانتوم و مهندسی عمران،مطالعه این فضاها بسیار رو به پیشرفت و گسترش است و همچنین مسائل باز بسیاری در این فضاها در ریاضیات به وجود امده است.در فصل یک این پایان نامه به بررسی مفاهیم و تعارف مقدماتی درفضاهای ارشمیدسی و ناارشمیدسی و تفاوت انها می پردازیم. در فصل دوم قضیه نقطه ثابت را که قبلا در فضاهای ارشمیدسی به صورت های مختلف بررسی شده است،در فضاهای ناارشمیدسی ارائه می دهیم.در فصل سوم به معرفی معادله تابعی تک جمله ای و اثبات پایداری آن می پردازیم. سپس در فصل چهارم و پنجم فضاهای باناخ ناارشمیدسی و معرفی قضایای هان باناخ و اثبات صورت های مختلف آن را بررسی می کنیم. در فصا انتهایی به نمایش هندسی فضاهای فرامتریک و فضاهای pایی،و هم چنین نمایش مثلث در فضاهای ناارشمیدسی می پردازیم.