‏زیر مجموعه‎‎s‎$‎ از مجموعه رئوس گراف‎$g$‎ ‏، یک مجموعه ی غالب است‏، هر گاه هر رأس‎$v$‎ در ‎‎$v‎setminus s ‎‎$ با حداقل یک رأس از ‎$s$‎ مجاور باشد. عدد غالب‎‎gamma ‎(g)‎$‎ از گراف‎g$‎ ‏، اندازه ی کوچکترین مجموعه ی غالب از گراف است.‎‏فرض کنید‎$‎r‎$‎ یک حلقه ی ناجابجایی باشد. گراف جابجایی روی‎$r$‎ که با نماد‎$‎gamma(r)‎$‎ نشان داده می شود‏، یک گراف با مجموعه ی رئوس‎$r‎setminus z(r)‎‎$‎ است و ‏دو رأس متمایز‎a$‎ و‎$b$‎ در آن با هم مجاورند‏، ‏اگر و تنها اگر‎$ab=ba$‎ .‎ ‎فرض کنید ‎$g=(v , e)$‎ یک گراف ساده باشد. تابع‎$f: v‎longrightarrow ‎lbrace ‎-1,1‎ brace‎$‎ را تابع غالب علامت دار نامیم هر گاه به ازای‎ هر عضو‎$v$‎ ‏از ‎$v(g)$‎ داشته باشیم،$sigma ‎_{u‎in n‎[v]} f(u) ‎geq1‎‎$‎ ‎عدد غالب علامت دار گراف‎$g$‎ ‏،‎$‎gamma‎_s(g)$‎ را برابر مینیمم مقدار تابع غالب علامت دار روی گراف‎$g$‎ تعریف می کنیم. ‎‎ ‎‏فرض کنید‎$‎g‎$‎ یک گروه موضعا دوری نباشد. گراف غیر دوری‎$g$‎ که با نماد‎$‎gamma‎_g$‎ نشان داده می شود گرافی است با مجموعه ی رئوس‎$v(‎gamma_g)=g‎setminus ‎cyc(g)‎$‎ جایی که دو رأس ‎$x,y‎in v(‎gamma‎_g)‎$‎‎‎ مجاورند اگر و تنها اگر‎$‎langle ‎x,y ‎ angle‎‎$‎‎ دوری نباشد.‎‏در این پایان نامه عدد غالب گراف جابجایی حلقه های ناجابجایی از مرتبه ‎‎p‎^{4}‎‎$‎ را محاسبه می کنیم‏، همچنین تمام گروه هایی را که ‎$‎gamma(‎gamma_g‎)+‎gamma(overline‎gamma_g‎)‎in ‎lbrace n,n-1,n-2,n-3 ‎ brace‎‎‎‎‎‎‎$ ‎‎ ‎ تعیین می کنیم. ‎‏به علاوه نشان می دهیم که‎$‎gamma(overline‎gamma_g‎)=frac {n-1}{2}‎$‎‎ ‏اگر وتنها اگر‎$‎overline ‎gamma_g‎‎$‎ اجتماعی از ‎$frac{n-1}{2}$‎ یال باشد . در پایان ثابت می کنیم که اگر‎$‎vert ‎cyc(g) ‎vert =t‎‎$‎ ‏، آنگاه‎$‎gamma‎_s(‎gamma_g‎)‎<n-t‎$‎