اولین بار ریاضیدانی به نام کمپیستی مفهوم شبه پیوستگی را به کار برد. او با به کار گیری این مفهوم توانست نتایج هان و بئر را که در مورد نقاط پیوستگی توأم توابع به طور مجزا پیوسته ی حقیقی مقدار بودند، تعمیم بخشد. بعدها این مفهوم جایگاه مهمی در یافتن نقاط پیوستگی توأم و شبه پیوستگی توابع دو متغیره پیدا کرد. همچنین مسلیوچنکو و نیسترنکو با استفاده از ایده ی بوگل مفهوم شبه پیوستگی را معرفی و تعمیمی از قضیه ی مارتین که بررسی شبه پیوستگی توابعِ به طور مجزا شبه پیوسته به توی فضاهایی که مترپذیر نیستند را ارائه دادند. در این پایان نامه که مشتمل بر چهار فصل است، خلاصه ای از پیشرفت هایی که تاکنون در مطالعه توابع شبه پیوسته و کاربردهای آن در آنالیز صورت گرفته است، به شرح زیر بیان می گردد: در فصل اول پیش نیازهایی ذکر می شود که مقدمه مباحث اصلی است. در ابتدا چندین اصل از اصول توپولوژی را خواهیم گفت و مفاهیمی چون مجموعه های هیچ جا چگال، انواع رسته، فضای بئر، فضای آلفا-‎مطلوب و کاربردهایی از آنها را بیان می کنیم. اولین بار در سال ‎1935‎ مازور مساله ای در مورد بازی وابسته به قضیه رسته ی بئر مطرح کرد که در همان سال توسط باناخ پاسخ داده شد، این بازی هم اکنون به بازی باناخ-مازور مشهور است که اولین بازی توپولوژیکی نامتناهی است. بازی باناخ-مازور به عنوان اولین بازی توپولوژیکی نامتناهی است که در این فصل نیز به معرفی آن خواهیم پرداخت. در فصل دوم شبه پیوستگی را معرفی و شرایطی ارائه می شود که تحت آن ها هر نگاشت شبه پیوسته روی نقاط یک مجموعه ی چگال از دامنه پیوسته خواهد بود. همچنین کاربردهای این نوع توابع را در نیم گروه های توپولوژیک بررسی خواهیم کرد. در فصل سوم با مفهوم شبه پیوستگی افقی آشنا می شویم و ارتباط آن را با شبه پیوستگی و پیوستگی بررسی می کنیم همچنین با استفاده از دو بازی توپولوژیکی رابطه ی میان این نوع توابع بیان می شود. در فصل چهارم توابعی را مطالعه می کنیم که مقادیرشان در یک فضای مور قرار دارند، سپس با استفاده از مفاهیمی مانند نوسان و خصوصیت نگاشت خوشه ای رسته ای، توابع شبه پیوسته ی افقی و پیوستگی این توابع را در این فضا مطالعه می کنیم.