توابع شرط تعلق هر کدام از توابع به هر یک از دسته ها مورد بررسی دقیق قرار می گیرد و سپس خواصی مانند خواص همسایگی ها وخواص شمول وتوابع تحلیلی محدب ورشد وتوسیع قضایا وضرب هادامارد وغیره مورد بررسی قرار میگیرد در کل مقاله توابع با سری تیلور خاص با ضرایب مثبت تعریف شده بر دیسک واحد می باشند در این بحث عملگر دیفرانسیلی جدیدی معرفی شده وبا استفاده از ان خواص مهمی برای توابع متعلق به هر کدام از دسته های فوق به اثباتمی رسد در این مقاه فرض بر ان است که توابع تحلیلی بر دیسک واحد با شرط بخصوصی نرمالیزه هستندوسپس با استفاده از عملگر مذکور نقاط نهایی وخواص همسایگی ها وغیره بررسی وسپس رشد وتوسیع می یابند