هدف این پایان نامه، طراحی و تحلیل روش های عددی است که حل مسئله کنترل پذیری تهی معادله حرارتی یک بعدی را میسر می سازد. در ابتدا بعضی از مسایل بهینه سازی مقید را که مربوط به مینیمم سازی تابعی که شامل انتگرال های وزنی حالت و کنترل هستند، را معرفی می کنیم و برای حل این مسئله مینیمم سازی از دو روش زیر استفاده می کنیم: روش های اولیه و روش دوگان. در مثال هایی که برای دو روش ذکر شده ارائه می دهیم، با مقایسه جداول و شکل ها و میزان همگرایی جواب ها، ملاحظه می کنیم که روش های دوگان بسیار کارآمدتر، ساده تر و مناسب تر از روش های اولیه هستند. استفاده از روش دوگان، تقریب سازی و بکار گیری الگوریتم گرادیان مزدوج مسیر اصلی پایان نامه است. با استفاده از الگوریتم گرادیان مزدوج پولاک-رییبری، جواب عددی مسئله دوگان مورد نظر را بدست می آوریم. سپس تاثیراتی را که توابع وزنی، اندازه تکیه گاه و مقادیر مختلف شرط توقف الگوریتم، بر همگرایی نرمهای کنترل، حالت و همچنین شرایط کنترلپذیری تهی می گذارند را تحلیل و بررسی می کنیم و در خاتمه با مقایسه جداول و جواب های بدست آمده، نتیجه گیری می کنیم، که بهترین حالت برای برقراری شرط کنترل پذیری تهی کدام است.