مسئله مرکب برای معادلات هذلولوی یک بعدی و دو بعدی (مختصات فضا) را با استفاده از روش مشخصه به مسئله کوشی تبدیل می کنیم و با استفاده از این روش مسئله معکوس استفان یک بعدی یک فازی را حل می کنیم که در آن یکی از مرزها نامعلوم است . در ادامه یک مسئله معکوس تیخونوف را برای معادلات هذلولوی سه بعدی در نظر می گیریم و آن را به یک معادله انتگرو - دیفرانسیل غیرخطی هذلولوی تبدیل می کنیم و با استفاده از اصل تیخونوف جواب آن را به دست می آوریم.

واضح است که در بررسی و حل مسائل مقدار اولیه - مرزی شامل معادلات دیفرانسیل پاره ای وابسته به زمان با گرفتن تبدیل لاپلاس از طرفین معادله [کورانت - هیلبرت ]، جدا کردن متغیرها (روش فوریه) [پتروسکی] و جایگذاری پارامتر به جای مشتقات نسبت به زمان به طور صوری (روش انتگرال کنتور) [رسول اف ] به یک مسئله کمکی (اسپکترال) می رسیم که به صورت یک مسئله مقدار مرزی (مستقل از زمان) وابسته به پارامتر می باشد. که به کمک حل مسئله اسپکترال، حل مسئله اصلی را (مسئله مرکب) به صورت انتگرال روی خط لاپلاس ، سری فوریه و انتگرال کنتور بدست می آوریم. بر این اساس هدف اصلی در این جا بررسی و حل مسئله مرکب می باشد که نخست به حل یک مسئله اسپکترال که شامل یک معادله دیفرانسیل معمولی که ضرایب آن وابسته به پارامتر بزرگ است می پردازیم. در ادامه، در حالت های مختلف بسط مجانبی جواب های مستقل خطی معادلهء همگن محاسبه می شود سپس بسط مجانبی جواب مسئله اسپکترال نوشته می شود. ریاضیدانانی چون بیرکهف ، تامارکین، تورژوتین، فشینکف ، شکیل نیکالنیکو، فدایوک ، علی اف و سایرین به بررسی این حالت ها برای معادلهء دیفرانسیل معمولی پرداخته اند. کاری که در این رساله صورت گرفته است از این جهت با کارهای قبلی انجام گرفته متفاوت است که در اینجا ریشه های معادله مشخصه به معنی بیرکهف در قسمتی از بازه مربوط به تغییرات متغیر مستقل متمایز و در قسمت دیگر بازه تغییرات متغییر مستقل ریشه های فوق تکراری هستند، در قسمت دوم پایان نامه به بررسی و حل مسئله اسپکترال، مسئله می پردازیم که شامل معادله دیفرانسیل مرتبهء دوم سه متغیره دو بعدی (یک متغیر زمان و دو متغیر فضا) همراه با شرایط مرزی غیرموضعی می باشد. ابتدا بسط مجانبی حل مسئله اسپکترال محاسبه می شودو سپس با اعمال عکس تبدیل لاپلاس جواب مسئله مرکب بدست می آید. در تمام این حالت ها ضرایب موجود در معادله دیفرانسیل وابسته به زمان نیستند.

در این تحقیق چند مسئله مقدار مرزی شامل معادله دیفرانسیل جزئی مرتبه دوم آمیخته با شرایط مرزی غیرموضعی و سراسری در ناحیه محدود و کراندار مورد بررسی قرار می گیرد. ابتدا به کمک حل اساسی معادله الحاقی شرایط ضروری بدست می آیند، سپس انتگرالهای غیرعادی به کمک شرایط مرزی مسئله منظم سازی می شوند. در نهایت شرایط کافی برای فردهلم (نوع دوم) بودن مسئله مقدار مرزی فوق ارائه می شود.

مسائل مقدار مرزی-اولیه که شامل معادلات دیفرانسیل سهموی و هذلولوی هستند بعد از بکاربردن روش جداسازی متغیرها یا روش لاپلاس و فوریه، به یک مسئله طیفی (اشتورم-لیوویل) تبدیل می شوند. اینگونه مسائل اغلب در مکانیک کوانتوم در تعیین سطوح انرژی ظاهر می شوند. در این پایان نامه چند مسئله اشتورم-لیوویل وابسته به دو پارامتر بررسی می شود. در حالت خطی، با اعمال شرایط مرزی خطی عمومی وابسته به دو پارامتر، به حل تحلیلی مسئله، تشکیل معادله الحاقی، محسبه جواب اساسی عملگر مربوط به مسئله و تعیین شرطهای ضروری روی مسئله با استفاده از جواب اساسی پرداخته می شود. در حالت غیرخطی نیز با استفاده از روش تغییراتی، فرمولهای مجانبی برای منحنی های ویژه یک مسئله با شرایط مرزی دیریکله، تعیین می شود.