در این پایان نامه قصد داریم تعمیم مختلطی اسپلاین های شونبرگ را ارایه دهیم . بدین منظور به کمک تعریف دامنه فوریه از بی اسپلاین ها و تعمیم آن به درجه مختلط مطالعلتمان را آغاز می کنیم . نشان داده می شود که بی اسپلاین های مختلط از توابع چند جمله ای تکه ای منتج شده اند و تعداد زیادی از خصوصیات نوع کلاسیک خود را مانند:همواری رابطه ی بازگشتی رابطه ی دو-مقیاسی مولد های پایه ریس و بسیاری از خواص دیگر را حفظ می کنند. همچنین نشان داده می شود که آنها برای تولید آنالیز نمایش چندگانه ازl2 و تولید پایه های موجک مناسب هستند. در پایان به کمکاین پایه ها و روش هم محلی به حل نوع خاصی از معادلات انتگرال با هسته ی منفرد ضعیف پرداخته می شود. اساس کار این پایان نامه مقاله ]24[ می باشد و بکارگیری این نوع توابع برای حل مسایل معکوس برای اولین با ورد استفاده قرار گرفته است.

روش های تکراری هنگامی که بعد ماتریس ضرایب بزرگ باشد و یا ماتریس ضرایب تنک باشد بر روش های مستقیم ارجحیت دارد. روش های تکراری به دو دسته روش های تکرای ایستا و روش های تکراری غیرایستا تقسیم بندی می شوند. در این پایان نامه ابتدا روش تکراری ایستای gaor را برای حل مسایل کمترین مربعات وزن دار معرفی میکنیم و در ادامه برای افزایش سرعت همگرایی این روش تکراری دو نوع ماتریس پیش شرط معرفی می کنیم. سپس با کارایی این روش های پیش شرط سازی شده را با استفاده از چند قضیه نشان دادهایم و در آخر به حل چند دستگاه خطی پر کاربرد و مهم با استفاده از این روش ها پرداخته ایم.

همواره در علوم مختلف با معادلاتی رو به رو هستیم که در بسیاری از موارد یافتن جواب تحلیلی برای آن ها مشکل و گاهی نیز مقدور نیست. لذا در این موارد سعی می شود که با استفاده از روش های عددی با کارایی مناسب، تقریب نزدیکی از جواب واقعی را به دست آوریم. در این میان روش های طیفی به طور قابل توجهی برای حل عددی معادلات دیفرانسیل و معادلات انتگرال مورد استفاده قرار می گیرند. این روش ها دارای کارایی و دقت کافی به همراه سرعت همگرایی بالا می باشند. یکی از روش های مهم طیفی که ما در این پایان نامه از آن برای به دست آوردن تقریب عددی بسیار نزدیک به جواب دقیق استفاده کرده ایم، روش شبه طیفی می باشد. در این پایان نامه ابتدا به معرفی یک پیش شرط و یک طرح تجزیه دامنه برای مشتق گیری به روش حاصل ضرب ماتریس مشتق در بردار مقادیر پرداخته و سپس این پیش شرط و طرح تجزیه دامنه را در حل معادلات دیفرانسیل با مشتقات معمولی و معاذلات با مشتقات جزیی با روش شبه طیفی به کار می بریم. واژه های کلیدی: روش شبه طیفی – ماتریس مشتق چبیشف- حاصل ضرب ماتریس مشتق در بردار مقادیر- پیش شرط – تجزیه دامنه – خطای گرد کردن – معادلات با مشتقات جزیی

در این پایان نامه حل دستگاه های تاپلیتز و تاپلیتز بلوکی هرمیتی و مثبت معین به وسیله ی روش گرادیان مزدوج پیش شرط شده مورد مطالعه قرار گرفته است. پیش شرط های معرفی شده برای دستگاههای تاپلیتز با تابع مولد مثبت و در کلاس وینر منجر به یک همگرایی فوق خطی از روش گرادیان مزدوج پیش شرط شده می شود. هم چنین پیش شرط های معرفی شده برای دستگاههای تاپلیتز و تاپلیتز بلوکی بدوضع با تابع مولد نا منفی منجر به بهبود عدد حالت دستگاه بد وضع اولیه می شود.در نهایت با توجه به اینکه حل دستگاههای تاپلیتز بلوکی با بلوک های 2*2 قابل کاهش به حل دستگاههای متمم شور تاپلیتز است، حل این دستگاه نیز توسط روش گرادیان مزدوج پیش شرط شده به طور مختصر مورد مطالعه قرار گرفته است.

در این پایان نامه از روش هموتپی تحلیلی ، برای پیدا کردن جواب ها ی سیستم معادله دیفرانسیل جزئی کسری و سیستم معادلات تلگراف کسری – زمانی و– مکانی استفاده می کنیم . این پایان نامه درستی و کارایی بالای روش هموتپی تحلیلی را برای حل سیستم معادلات دیفرانسیل جزئی کسری را نشان می دهد روش هموتپی تحلیلی در ابتدا توسط لیائو ارائه شد. این روش به گونه موفقیت آمیزی برای حل معادلات همگن و ناهمگن و سیستم های معادلات و مسائل علمی و مهندسی به کار برده شده است. روش هموتپی تحلیلی دارای یک پارامتر کمکی می باشد که شیوه مفید و ساده ای برای تنظیم و کنترل ناحیه همگرایی و سرعت همگرایی جواب سری را نشان می دهد . پس از طریق روش هموتپی تحلیلی جواب های تحلیلی مسائل غیر خطی نیز ممکن می شود . در دهه های اخیر حساب دیفرانسیل کسری کاربرد های متنوعی در زمینه های فن آوری و مهندسی مثل مهندسی حرارت، صورت، الکترومغناطیسی، کنترل، ربوتیک، آشفتگی، پردازش سیگنال و بسیاری از فرایند های فیزیکی پیدا نموده است. معادلات دیفرانسیل کسری در مدل سازی بسیاری از مسائل مهندسی فیزیکی بکار برده شده اند و این معادلات در دینامیک های غیر خطی نیز استفاده شده اند. پیدا کردن روش های موثر و دقیق برای حل ها محیط فعالی برای تحقیق می باشد. جواب دقیق اکثر ها به آسانی قابل دستیابی نیست، پس باید از روش های عددی و تحلیل استفاده شود. در این پایان نامه روش هموتپی تحلیل برای حل معادلات دیفرانسیل جزئی کسری و سیستم معادلات تلگراف کسری – زمانی و سیستم معادلات تلگراف کسری – مکانی استفاده شده است .

رشته ی ریاضی کاربردی و خصوصا گرایش عددی روش های تقریبی برای حل مسائل پپیچیده در علوم مختلف به خصوص علوم مهندسی ارئه می دهد. این مسایل غالبا به صورت معادلات دیفرانسیل خطی و غیرخطی ظاهر می شوند. بسسیاری از مسایل در مکانیک منجر به حل معادلات دیفرانسیل معمولی وجزئی می شود. بسیاری از این مسایل فاقد جواب تحلیلی می باشد. لذا روش های عددی برای حل آن کارساز می باشد. در این پایان نامه با به کار گیری توابع پایه ای شعاعی و استفاده از روش هم محلی به حل برخی از مسائل در اختر فیزیک و محیط متخلخل می پردازیم. جهت بهبود در تقریب تابع مجهول با استفاده از توابع پایه ای شعاعی ایده هایی به منظور برقراری شرایط مسایل و کاهش خطا بیان می شود.

چکیده همواره در علوم مختلف با معادلاتی روبرو هستیم که در بسیاری از موارد یافتن جواب تحلیلی برای آن ها پیچیده و گاهی حتی غیر ممکن است. لذا در این موارد سعی می شود که با استفاده از روش های عددی مناسب تقریب نزدیکی از جواب واقعی را به دست آورند. در این میان روش های گالرکین ناپیوسته برای حل معادلات دیفرانسیل مورد استفاده قرار می گیرند. این روش ها دارای کارایی و دقت کافی به همراه سرعت همگرایی بالا می باشند که برای حل معادلات دیفرانسیل با جواب ناپیوسته به کار می روند در این پایان نامه در ابتدا به معرفی معادله مااکسول و معادله موج می پردازیم و در ادامه جواب تقریبی این معادلات را با استفاده از روش های عناصر متناهی و گالرکین ناپوسته رانگ – کوتا به دست آورده و پایداری وخطای روش را بررسی می کنیم. واژهای کلیدی:روش گالرکین ناپیوسته رانگ کوتا- ماتریس مشتق لژاندر- تغییرات عددی – معادلات دیفرانسیل.

هدف ما در این پایان نامه طراحی و تحلیل روشی عناصر متناهی با عنوان گالرکین ناپیوسته جریمه درونی متقارن (sip-dg) برای مسائل مقدار مرزی شامل عملگر دوگانه همساز می باشد . این مسائل که با شرایط مرزی دیریکله و نیومن ارائه می شوند ، کاربردی گسترده در علوم مختلف به خصوص مکانیک ، عمران و الکترو مغناطیس دارند . روش sip-dg ارائه شده در این پایان نامه تعمیم روش معرفی شده برای مسائل بیضوی در[2] و [3]می -باشد .برای طراحی این روش از توابع مناسبی به عنوان تغییرات عددی استفاده می کنیم . برای اینکار روش گالرکین ناپیوسته جریمه درونی [55] را مورد استفاده قرار خواهیم داد . همچنین در این پایان نامه به تحلیل خطا های پیشین و پسین معادلات دو گانه همساز با استفاده از روش sip-dg پرداخته و مفاهیمی همچون سازگاری و همگرایی این روش را تشریح می کنیم و در انتها با ارائه مثالهای عددی ، دقت روش را مورد بررسی قرار می دهیم . واژه های کلیدی : روش عناصر متناهی - روش گالرکین ناپیوسته جریمه درونی متقارن – تغییرات عددی – معادلات دو گانه همساز - خطای پسین – خطای پیشین

بررسی وجود و چندگانگی جوابهای معادلات دیفرانسیل به ویژه با شرایط مرزی اغلب بسی دشوار بوده و همراه با گام های ملالت آور می باشد بطوریکه همواره نیاز به پیش شرط هایی می باشد که معادلات دیفرانسیل با شرایط مرزی مورد نظر باید داشته باشد. بنابراین اثبات آنالیزی وجود و چندگانگی جوابهای مسائل مقدار مرزی غیر خطی اغلب غیر ممکن می باشد. روشهای تقریبی- تحلیلی یا روشهای عددی صرفاً برای بدست آوردن جواب موجود مورد نظر بصورت تقریبی مورد استفاده قرار می گیرند و قادر به پیش بینی جوابهای چندگانه مسائل مقدار مرزی غیر خطی نمی باشند. بر این اساس ایدهء استفاده از روشهای عددی برای بررسی وجود و چندگانگی جوابهای مسائل مقدار مرزی در این رساله مطرح شده است. در این رساله ما روش آنالیز هموتوپی پیشگو (pham) را معرفی کرده ایم که بر اساس آن می توان پی به چندگانگی جوابهای مسائل مقدار مرزی غیر خطی از نوع معادلات دیفرانسیل معمولی برد. پایه اصلی این روش، روش آنالیز هموتوپی می باشد که در دهه اخیر برای بدست آوردن جواب تقریبی – تحلیلی به صورت سری برای معادلات دیفرانسیل مطرح شده است. در این روش با استفاده از پارامتری می توان همگرایی سری جواب را کنترل و سرعت بخشید، علاوه بر این می توان برای مسائلی که شامل قسمتهای غیر خطی قوی دارند بکار برد و جوابهای تقریبی مناسبی با دقت بالا بدست آورد. روش آنالیز هموتوپی پیشگو را می توان به آسانی روی معادلات دیفرانسیل معمولی غیر خطی با شرایط مرزی به کار برد. این روش علاوه بر پیش بینی چندگانگی مسائل مقدار مرزی قادر به محاسبه همزمان تقریبی- تحلیلی آنها نیز می باشد. بر این اساس برای استفاده های کاربردی در علوم و مهندسی این روش این امکان را می دهد که جوابهای ناشناخته ای از معادلات بدست آید که اساساً مورد علاقه می باشند. با توجه به وجود نرم افزار های قوی سیمبلیک امروزه، این روش ما را متقاعد می سازد که آن را روی معادلات غیر خطی بکار ببریم و مهمّتر اینکه خود را از گام های ملالت آور وجود و بررسی جواب مبرّا سازیم. در روش آنالیز هموتوپی پیشگو دو پارامتر وجود دارد که نقش مهمّی در بررسی چندگانگی جوابها دارد، یکی از آنها پارامتر کنترل کننده همگرایی و دیگری پارامتر تجویز شده به مسئله می باشد. این روش مزیّت دیگری نیز دارد که تنها با یک حدس آغازی و یک عملگر خطی و یک تابع کمکی همه شاخه های جوابهای مساله را بدست می دهد. ساختار این رساله به شرح زیر است. در فصل اول به بیان مقدمه ای بر روش آنالیز هموتوپی می پردازیم زیرا روشی که ارائه خواهد شده بر اساس این روش است. این فصل بر اساس مقالات زیر می باشد. [1] s. abbasbandy, m. pakdemirli, e. shivanian, optimum path of a flying object with exponentially decaying density medium, z. naturforsch. 2009; 64a: 431 – 438. [2] s. abbasbandy, e. shivanian, solution of singular linear vibrational bvps by the homotopy analysis method, journal of numerical mathematics and stochastics, 20009; 1 (1): 77-84. [3] s. abbasbandy, e. shivanian, a new analytical technique to solve fredholm’s integral equations, numer algor 2011; 56: 27–43. [4] h. vosughi, e. shivanian, s. abbasbandy, a new analytical technique to solve volterra’s integral equations, mathematical methods in the applied sciences, 2011; 10(34): 1243-1253. [5] s. abbasbandy, e. shivanian, series solution of the system of integro-differential equations, z. naturforsch, 2009; 64a: 811 – 818. در فصل دوم به معرفی روش و سپس بصورت کامل به آنالیز ریاضی آن پرداخته می شود و در فصل سوم چندین مدل کاربردی که اعتبار روش را تائید می کند، بررسی می شود. این دو فصل بر اساس مقالات زیر می باشد. [6] s. abbasbandy, e. magyari, e. shivanian, the homotopy analysis method for multiple solutions of nonlinear boundary value problems, commun nonlinear sci numer simulat 2009;14: 3530–3536. [7] s. abbasbandy, e. shivanian, prediction of multiplicity of solutions of nonlinear boundary value problems: novel application of homotopy analysis method, commun nonlinear sci numer simulat 2010; 15: 3830–3846. [8] s. abbasbandy, e. shivanian, exact analytical solution of a nonlinear equation arising in heat transfer, physics letters a, 2010; 374: 567–574. [9] s. abbasbandy, e. shivanian, k. vajravelu, mathematical properties of h-curve in the frame work of the homotopy analysis method commun nonlinear sci numer simulat 2011; 16: 4268–4275. [10] s. abbasbandy, e. shivanian, predictor homotopy analysis method and its application to some nonlinear problems, commun nonlinear sci numer simulat 2011; 16: 2456–2468. در فصل چهارم به مسائل مقدار مرزی غیر خطی که دارای شرط مرزی در بی نهایت می باشند، بصورت مختصر پرداخته می شود و روشی مبتنی بر شبه طیفی – هم محلی برای یک مساله مقدار مرزی غیر خطی ناشی از جریان تبادل حرارت مخلوط در ماده متخلخل که دارای شرایط مرزی در بی نهایت می باشد بکار گرفته می شود و جوابهای دوگانه آن بدست می آید که بر اساس مقاله زیر است. [11] s. abbasbandy, e. shivanian, multiple solutions of mixed convection in a porous medium on semi-infinite interval using pseudo-spectral collocation method, commun nonlinear sci numer simulat 2011; 16: 2745–2752.

در سالهای اخیر روشهای بدون شبکه برای حل عددی معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی محبوبیت زیادی پیدا کرده است. هدف این رساله ارائه روشهای عددی بدون شبکه بر اساس روش بدون شبکه محلی پتروف-گالرکین ‎(mlpg)‎ برای حل عددی معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی است. در فصل اول مقدمه ای مختصر بر روشهای بدون شبکه ارائه خواهیم داد و آنها را به سه دسته کلی دسته بندی می کنیم. از آنجا که روشهای ارائه شده در این رساله بر روش ‎mlpg‎ استوار است، در فصل دوم این روش به تفصیل بررسی خواهد شد. در فصل سوم، با توجه به اهمیت بسیار زیاد سیستم های معادلات دیفرانسل غیر خطی با مشتقات جزئی، یک روش بدون شبکه برای حل عددی آنها ارائه می شود و برای فائق آمدن بر مشکل غیر خطی بودن، یک روش پیشگو-اصلاحگر در هر گام زمانی پیشنهاد خواهد شد. در فصول چهارم و پنجم، جوابهای عددی معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی دو بعدی و سهموی با شرایط مرزی غیر کلاسیک بررسی خواهد شد. فصل ششم به حل عددی معادلات دیفرانسیل دوبعدی کسری-زمان مکش-پخش-عکس العمل اختصاص یافته است. در نهایت یک نتیجه گیری کلی ارائه و پیشنهاداتی برای خوانندگان علاقه مند جهت کارهای آتی بیان خواهد شد.

چکیده در این پایان نامه معادله ی انتگرال-دیفرانسیل از نوع ولترا (معادله ی تکاملی تدریجی) که در آن عملگر انتگرال از تلفیق یک تابع منفرد ضعیف و یک عملگر دیفرانسیل بیضوی بر حسب متغیر مکان است، در نظر می گیریم و به گسسته سازی زمانی آن با استفاده از تبدیل لاپلاس اصلاح شده می پردازیم. در این طرح گسسته سازی زمان جواب بر حسب یک انتگرال بر روی یک مسیر هموار در نیمه سمت چپ اعداد مختلط گسترش پیدا می کند بیان می شود و سپس برای محاسبه ی این انتگرال از دو قاعده ی عددی استفاده خواهد شد. با بکارگیری این قواعد انتگرال گیری یک مجموعه از معادلات دیفرانسیل بیضوی با ضرایب مختلط بر حسب متغیر مکان حاصل می گردد که می توان آن ها را به صورت موازی حل نمود، برای گسسته سازی این معادلات از روش عناصر متناهی استفاده می شود. در ادامه این مساله را با توجه به روش طیفی حل و سپس نتایج حاصل را با یکدیگر مقایسه می کنیم. به خاطر اهمیت این معادلات تعمیمی از آن به وجود آورده و با پیاده سازی دو روش عددی (عناصر متناهی و طیفی) نتایج حاصل را ارایه می دهیم. کلمات کلیدی: معادله ی تکاملی تدریجی، معادله ی انتگرال-دیفرانسیل، جمله ی حافظه، تبدیل لاپلاس، الگوریتم موازی، قواعد انتگرال گیری عددی، خطای قواعد انتگرال گیری، روش عناصر متناهی، روش شبه طیفی.

در این پایان نامه مسئله انتگرال گیری چندگانه با انتگرالده به فرم f(x) ?_s (x) را بررسی می کنیم، ?_s یک تابع چگالی احتمال است. چنین مسایلی بیشتر در آمار و ریاضیات مالی اتفاق می افتد. برای حل این انتگرال با استفاده از روش شبه مونت کارلو، نیاز است ابتدا درون مکعب ?["0" ,"1" ]?^s نگاشت شود. انتگرالده هایی که اغلب از این نگاشت حاصل می شوند نزدیک مرزهای مکعب بی کران می شوند. بنابراین بیشتر قضیه های روش های شبه مونت کارلو نمی توانند به کار گرفته شوند. راهکار این است که فرض کنیم تابع f متعلق به فضای وزن دار از حاصل ضرب تانسور فضاهای هیلبرت با هسته بازتولید h_s، از توابعی است که مشتق اول آن زمانی که در یک تابع وزن ? ??_sضرب می شود در نرم l_2 کراندار باشد. نشان می دهیم یک روش لتیس خوب با انتقال تصادفی با استفاده از ساختار مولفه به مولفه می توان ساخت که دارای بدترین حالت خطا از مرتبه o(n^(-1/2)) و مستقل از s است. یک مسئله قرارداد اختیار معامله آسیایی را در حالت های مختلفی از این فضا آزمایش می کنیم و نتایج عددی حاصل این سرعت همگرایی را نشان می دهد. کلمات کلیدی انتگرالده نامتناهی، روش لتیس با نگاشت تصادفی، بدترین حالت خطا.

در این اثر روش های طیفی را برای معادلات انتگرال دیفرانسیلی از نوع ولترا بررسی می کنیم. ابتدا معادله انتگرال دیفرانسیل از نوع ولترا را به صورت معادل با دو معادله انتگرال از نوع دوم نمایش می دهیم و سپس با استفاده از شرایط هم محلی هردو را حل می کنیم. اینجا تابع هسته وسایر توابع بکار رفته در معادله اصلی به قدری هموار هستند که امکان بکار بردن روش های عددی از مرتبه بالا را فراهم می کنند.یک تحلیل خطای دشوار برای روش گفته شده نیز ارائه می کنیم. به نظر می رسد نتایج این تحقیق اولین تقریب طیفی موفق با دلایل نظری است. به علاوه نتایج عددی به دست آمده نیز تحلیل ما را تائید می کند.

برای این گونه مسائل روش مونت کارلو روشی کارا و رایج بوده و اجرای آن اجرای مستقل از بعد انتگرال است . این روش شامل محاسبه ی تابع در برخی نقاط داخلی یا کرانه ای دامنه است که بصورت تصادفی انتخاب میشوند . روشی دیگر برای محاسبه ی این انتگرال ها روش شبه مونت کارلو است . پیاده سازی روش شبه مونت کارلو سنتی معمولاٌ مستقل از بعد انتگرال نیست و بنابرین برای انتگرال های با بعد بالا مناسب نیست . اما با این حال اخیراٌ با تکنیک های که برای تولید نقاط انتگرال گیری این روش اعمال شده است و توصیه های جدیدی مستقل از بعد انتگرال حاصل شده اند ، که می توان آن ها را برای دامنه با بعد دلخواه به کار گرفت . از مهمترین مجموعه ی نقاطی که به عنوان نقاط انتگرال گیری روش مونت کارلو مورد استفاده قرار می گیرند

از گروه های لی می توان در حل تقریبی و عددی معادلات دیفرانسیل اعم از معمولی و جزئی استفاده نمود. در این رساله با استفاده از تیراندازی گروه لی که اولین بار برای حل دستگاه های دینامیکی مورد استفاده قرار گرفت، معادله براتو مورد بررسی قرار گرفته است که جواب های به دست آمده در مقایسه با روش های به کار رفته برای این معادله بهتر بوده و جواب های قابل قبول تری به دست آورده شد. سپس معادله بدوضع لاپلاس با استفاده از ترکیب روش خطوط و طرح حافظ گروه حل کرده و پایداری روش به کار رفته مورد بررسی قرار گرفت. جواب های تحلیلی معادله کلی تعمیم یافته واخننکو را با استفاده از تقارنی های لی پیدا کرده و یک روش ترکیبی جدید به نام ‎lsgps ‎ برای مواقعی که تقارنی های لی در برخی زیرجبرها با شکست مواجه می شوند معرفی گردید. در نهایت با استفاده از معادلات وراثتی معرفی شده توسط نوچی، تقارنی های غیر کلاسیک دسته ای از معادلات واکنش-پخش را به دست آورده و جواب های تحلیلی این دسته از معادلات استخراج شد.

در این پایان نامه یک روش شبه طیفی برای معادله لین-امدن که بسیاری پدیده ها را در ریاضی فیزیک و اخترفیزیک مدلسازی می کند، ارایه می کنیم. برای حل معادله گاز ناپایدار که جریان ناپایدار یک گاز را مدلسازی می کند، استفاده می کنیم.

بسیاری از پدیده هادر جهان اطراف ما ذاتا غیرخطی بوده و قابل توصیف به وسیله معادلات غیرخطی می باشند.به دلیل ظهور کامپیوترهای پیشرفته،تولید وحل مسایل خطی آسان است.امادرحالت کلی جواب دقیق برای مسایل غیرخطی قدری مشکل خواهدبود.دراین پایان نامه ازروش هموتوپی طیفی،برای پیداکردن جواب های مساله مقدارمرزی غیرخطی مرتبه دوم استفاده می کنیم.

در این پایان نامه، بر اساس توابع پایه ای شعاعی و راه حل2های ترفتز روش جدید بدون شبکه برای حل عددی دستگاه های معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزیی معرفی می کنیم. در این روش توابع پایه ای شعاعی برای تخمین عبارت ناهمگن به کار برده می شوند. سپس راه حل همگن توسط ترکیب خطی مجموعه ای از راه حل های ترفتز به دست می آیند.

‏در این رساله‏، ‏ما به معرفی ماتریس های عملیاتی جدید برای مشتق مرتبه کسری کاپوتو و انتگرال مرتبه کسری ریمان لیوویل بر اساس پایه برنشتاین می پردازیم. سپس این ماتریس ها را برای حل مسائلی نظیر معادلات دیفرانسیل غیرخطی با مشتقات مرتبه کسری‏، سیستم معادلات دیفرانسیل غیرخطی با مشتقات مرتبه کسری‏، معادلات دیفرانسیل با مشتقات کسری چندمرتبه ای خطی و غیرخطی‏، مسائل کنترل بهینه با مشتق مرتبه کسری وابسته به تغییرات زمان‏، فرم چند بعدی مسائل کنترل بهینه با مشتق مرتبه کسری به همراه قیدهای مساوی و نامساوی و همچنین مسائل تغییراتی با مشتق و انتگرال مرتبه کسری بکار می بریم. نتایج عددی برای ‏مثال های مختلف از این مسائل در غالب ‏شکل ها‎ و جدول ها ارائه خواهد شد. در پایان نیز به بررسی تعمیمی از فرآیند زاد و ولد با مشتق کسری کاپوتو ‎‏ و نیز مشتق کسری ریمان لیوویل‎‏ می پردازیم. در هر دو حالت بصورت تحلیلی مسئله را حل می نمائیم و جواب های دقیق را با بیان چند لم و قضیه بدست می آوریم. همچنین نشان می دهیم که این مسئله در هر دو حالت یک فرآیند تصادفی می باشد.

در این پایان نامه روش گالرکین ناپیوسته بر روی معادلات دیفرانسیل تأخیری خطی مرتبه اول را بررسی می کنیم.که از چندجمله ای های رادو به عنوان پایه استفاده کرده ایم و با استفاده از آنالیز تعامد بر روی هر بازه نتایج فوق همگرایی این روش را در نقاط گره ای به دست می آوریم.

در این رساله از روش های بدون شبکه مبتنی بر توابع پایه ای شعاعی برای حل معادلات دیفرانسیل جزیی وابسته به زمان و بهبود آن ها استفاده شده است. ایده اصلی این روش ها تقریب تابع مجهول جواب به صورت یک ترکیب خطی از توابع پایه ای شعاعی می باشد. هر دو رده اصلی آزمودن جواب ها که مبتنی بر فرم قوی معادلات حاکم (روش های هم محلی) و فرم ضعیف معادلات حاکم (روش گالرکین) مورد بررسی قرار گرفته اند. برای حل معادلات وابسته به زمان از هر دو روش برای مواجهه با مشتق زمانی معادلات استفاده شده است. در رده اول از روش ها از تکنیک های استاندارد تفاضلات متناهی برای گسسته سازی مشتقات زمانی استفاده شده است و سپس معادلات گسسته سازی شده حاصل توسط روش های هم محلی یا گالرکین حل شده اند. در رده دوم به منظور حذف خطای ناشی از گسسته سازی مشتق زمانی، از متغییر زمان به عنوان بعد سوم در دامنه استفاده شده است. در ادامه با توجه به مشکلات ناشی از بد شرطی دستگاه معادلات خطی حاصل از این دسته از روش ها ی بدون شبک، برخی فرم های موضعی این روش ها معرفی و استفاده شده اند. همچنین برای کاهش اطلاعات مورد نیاز برای همواری فضاهای جواب از فرم های قوی و ضعیف روش های جواب ویژه تقریبی استفاده شده است.

دراین پایان نامه توابع اسپلاین پارامتریک مکعبی برای بدست آوردن روش عددی جواب تقریبی معادله بر گرکسری زمان را بررسی می کنیم. خطای برشی این روش را بطور تئوری تحلیل می نمائیم.وبا استفاده ازدو مثال عددی روش موجود توضیح داده می شود. ونتایج بدست امده نشان می دهد که تکنیک موجود موثر، مناسب ودقیق است.

در این پایان نامه یک روش عددی جدید بر پایه ی روش های طیفی برای حل معادلات دیفرانسیل تاخیری پانتوگراف ارائه می گردد.روش هم محلی لژاندر برای به دست آوردن تقریب های عددی بسیار نزدیک به جواب دقیق به کار می رود.همگرایی روش ارائه شده به صورت تئوری اثبات و به صورت عددی نشان داده می شود.

در این پایان نامه معادلات دیفرانسیل تصادفی و روش های مناسب برای حل عددی آن مورد بحث قرار می گیرند. اساس کار ما در این معادلات استفاده از فرمول ایتو است.

در این پایان نامه یک روش عددی جدیدی به نام روش کوادراتور دیفرانسیلی بی-اسپلاین مکعبی تصحیح شده پیشنهاد داده می شود تا جواب های تقریبی از معادله برگر را پیدا کنیم. توابع پایه ای بی- اسپلاین های تصحیح شده در کوادراتور دیفرانسیلی استفاده می شوند تا ضرایب وزنی را تعیین کنیم. این روش در شکل رانگ کوتا مرتبه سه و فاصله ی زمانی با پایداری بالا در چهار مرحله ی بهینه استفاده می شود تا دستگاه معادلات دیفرانسیل معمولی را حل کنیم. دقت و تاثیر این روش را برای چهار مثال از معادله برگر بررسی می کنیم و خطاها را به دست می آوریم و این روش جدید را با روش های قبلی مقایسه می کنیم و در می یابیم که این روش به جواب های دقیق نزدیک تر است و از دقت و کارایی بالاتری برخوردار است.

هدف ما بررسی برخی روش های عددی مبتنی بر هسته های بازتولیدی فضای هیلبرت برای حل معادلات دیفرانسیل است. در این زمینه آن دسته از روشهای عددی را مورد بررسی قرار می دهیم که در آنها خاصیت بازتولیدی هسته با توجه به فضای شامل آن نقش اصلی را بازی می کند. در این رساله به کاربرد های روش های مبتنی بر هسته های بازتولیدی فضای هیلبرت برا حل معادلات دیفرانسیل خطی، غیر خطی، منفرد و مسایلی با چند گانگی جواب و بررسی خطای به کار گیری این روش ها می پردازیم.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده نظریه معادلات انتگرال یکی از مهمترین شاخه های آنالیز ریاضی است .اصولا" اهمیت آن از لحاظ مسائل مقدار مرزی در تئوری معادلات با مشتقات جزئی است . معادلات انتگرال درخیلی از مسائل فیزیک و فنی ظاهر میشوند.در تحقیقات قرن اخی درنظریه کشانی این نوع معادلات نقش مهمی را بازی کرده اند،بخصوص آن دسته ای از آنها که به معادلات انتگرال منفرد شهرت دارند . معادلات انتگرال برای سالهای زیادی است که در ریاضی ظاهر شده اند.زیرا مبدا آن به تئوری انتگرال فوریه برمیگردد.)1811(لیکن در حقیقت توسعه نظریه معادلات انتگرال تنها در اواخر قرن 19 شروع شد.زیرا درحدود سالهای 1900-1903 بود که یک ریاضیدان ایتالیائی به نام وترا)vita vatterra(برروی آن کارکرد و همچنین یک ریاضیدان سوئدی به نام فردهلم)ivar fredholm(درهمان سالها کارهای مشهور و جالب خود را روی یک روش جدید جهت حل مسئله دیریکله)p.g.l. dirichlet(شر کرد.از آن زمان به بعد تا عصر حاضر معادلات انتگرال موضوع تحقیقات ریاضیدانان زیادی بوده است ،زیرا آنها بطور پیوسته با مسائل جدید و جالبی برخورد میکنند. معادلات انتگرال منفرد در اوائل دهه قرن جاری در ارتباط با دو مسئله کاملا" مختلف توسط دونفر معرفی شد.یکی ازآنها هیلبرت)d. hlbert(بود که ضمن کارروی بعضی مسائل مرزی نظریه توابع تحلیلی باآنها برخوردکرد.دیگری پوانکاره)h.poincare(بود که درتئوری عمومی جزر و مد باآنها مواجه شد.نظریه معادلات انتگرال منفرد در دهه سوم و چهارم جاری توسط یک ریاضیدان فرانسوی به نام ژیراد)g.giraud(و دوریاضیدان روس بنامهای وکوا)i.vekua(و موسخلیش ویلی)n.muskhelishvili(توسعه پیدا کرد . قضایای فردهلم از قضایای بنیادی معادلات انتگرال هستند.ازآنجا که این قضایا ابتدا توسط آقای فردهلم برای هسته های پیوسته ارائه شدند لیکن بعدا توسط افراد دیگری برای هسته های کلی تری تعمیم یافتند.لذا لازم است از اشخاصی نظیر آقای کلرلمان)f.carleman(هم که دراین راه نقش عمده ای داشته اند یادکرد. البته آقای ریس)f.riesz(با اصلاحات وسیعی از نظریه عملگرها راشت قضایای مذکور را بصورت وسیعتری تعمیم داد.زیرا او به یک معادله انتگرال بصورت یک عملگر نظر انداخته و قضایای فردهلم را برای یک عملگر فشرده تعمیم داد . یکی از مسائل خوش وضع،معادلات انتگرال نوع دوم میباشد که بصورت تحلیلی توسط فردهلم حل شده است و از نظر عددی توسط روشهای نیستروم،ال جندی،بسط،کمترین مربعات و گلرکین میتوان این رده از مسائل را حل کرد . معادلات نوع اول از مسائل بدوضع هستند و چون ماهیت کامپیوترهای رقمی خطاپذیر است ،براحتی نمیتوان این نوع معادلات را حل کرد،گاهی اوقات این نوع مسائل ممکن است جواب نداشته باشد و یااینکه جواب منحصر بفرد نباشد،این رده از مسا میتواند توسط یکی از روشهای بسط،هم محلی،تابع ویژه،منظم سازی،تکراری،افزوده گلرکین حل گردد.دراین رساله روش حل گلرکین برای معادلات انتگرال نوع اول و دوم،روش منظم سازی برای معادله انتگرال نوع اول بررسی خواهدشد . ضمنا" دررابطه با حل معادله انتگرال نوع اول به روشهای منظم سازی و افزوده گلرکین دو ایده جدید ارائه شده است .