‏در این رساله‏، ‏ما به معرفی ماتریس های عملیاتی جدید برای مشتق مرتبه کسری کاپوتو و انتگرال مرتبه کسری ریمان لیوویل بر اساس پایه برنشتاین می پردازیم. سپس این ماتریس ها را برای حل مسائلی نظیر معادلات دیفرانسیل غیرخطی با مشتقات مرتبه کسری‏، سیستم معادلات دیفرانسیل غیرخطی با مشتقات مرتبه کسری‏، معادلات دیفرانسیل با مشتقات کسری چندمرتبه ای خطی و غیرخطی‏، مسائل کنترل بهینه با مشتق مرتبه کسری وابسته به تغییرات زمان‏، فرم چند بعدی مسائل کنترل بهینه با مشتق مرتبه کسری به همراه قیدهای مساوی و نامساوی و همچنین مسائل تغییراتی با مشتق و انتگرال مرتبه کسری بکار می بریم. نتایج عددی برای ‏مثال های مختلف از این مسائل در غالب ‏شکل ها‎ و جدول ها ارائه خواهد شد. در پایان نیز به بررسی تعمیمی از فرآیند زاد و ولد با مشتق کسری کاپوتو ‎‏ و نیز مشتق کسری ریمان لیوویل‎‏ می پردازیم. در هر دو حالت بصورت تحلیلی مسئله را حل می نمائیم و جواب های دقیق را با بیان چند لم و قضیه بدست می آوریم. همچنین نشان می دهیم که این مسئله در هر دو حالت یک فرآیند تصادفی می باشد.

چکیده ندارد.