در فصل اول برخی تعاریف مورد نیاز را ارائه می دهیم. در فصل دوم نشان می دهیم اگر بردار ‎$x$‎ در ‎$x$‎ برای عملگر ‎$t$‎ در ‎$b(x)$‎ بردار ابردوری ‎(فرادوری)‎ باشد، آنگاه ‎$x$‎ برای ‎$t^n$‎ به ازای هر ‎$n> 1$‎ نیز بردار ابردوری ‎(فرادوری)‎ است. در فصل سوم با ارائه ی برخی تعاریف و قضایای مورد نیاز به مطالعه ی بزرگترین مجموعه ی تحلیلی برای عملگرهای دوری می پردازیم. جمع مستقیم دو عملگر ابردوری در حالت کلی یک عملگر ابردوری نیست. در فصل چهارم نشان می دهیم که ‎$t+ t$‎ ابردوری است اگر در محک ابردوری صدق کند.