در این پایان نامه، ابتدا مفهوم ایده آل شبه اولیه از یک حلقه را به عنوان ایده آلی که رادیکال آن اول است به زیرمدول ها تعمیم می دهیم و چند تجزیه شبه اولیه از زیرمدول ها و چند قضیه منحصر به فردی در خصوص این تجزیه ها ارائه می کنیم. بعد از آن مدول های صادق در شرط ضعیف ناکایاما را معرفی کرده و مطالعه می کنیم. پس از آن حلقه هایی که تمام ایده آل های سره آنها شبه اولیه هستند بررسی می گردد و ارتباط بین این دسته از حلقه ها و رده مدول های صادق در شرط ضعیف ناکایاما را بیان می کنیم. در پایان مفهوم مدول های با شبه اولیه که مشابه مدول های با اول تعریف می شود، را ارائه کرده و مطالعه می کنیم. ثابت می شود که رده مدول های با شبه اولیه به طور سره‏، شامل رده مدول های با تولید متناهی و به طور سره مشمول در رده مدول های با اول است و این سه رده یکی هستند وقتی که به عنوان زیر رده ای از رده مدول های ضربی در نظر گرفته می شوند. در پایان قضیه ای ارائه می گردد که مفاهیم این رساله را به هم مربوط می سازد.

در سرتاسر این پایان نامه r یک حلقه جابجایی و یکدار و m یک r-مدول یکانی است. ابتدا مفاهیم زیرمدول اول و زیرمدول به طور قوی اول را تعریف می کنیم. نشان می دهیم زیرمدول های به طور قوی اول، بسیاری از ویژگی های اساسی ایده ال های اول را به ارث می برند. چند تعمیم از قضیه ایده ال اصلی در حلقه ها به مدول ها را ارائه می کنیم. سپس g-زیرمدول ها را معرفی کرده و ثابت می کنیم که هر زیرمدول اول از یک r-مدول متناهی مولد اشتراکی از g-زیرمدول های آن است. در ادامه مفهوم مدول جیکوبسن را تعریف می کنیم و نشان می دهیم هر مدول متناهی روی یک حلقه جیکوبسن، مدولی جیکوبسن است. سرانجام یک رده از زیرمدول ها به نام زیرمدول های هم بحرانی نیشیتانی را مطالعه می کنیم که رفتاری مشابه زیرمدول های به طور قوی اول از یک مدول دارند.

فرض کنید r دامنه صحیح با میدان خارج قسمتی k باشد. در این پایان نامه ابتدا تعمیمی از حلقه های ارزیابی و حلقه های ارزیابی گسسته به مدولهای ارزیابی و مدول های ارزیابی گسسته بررسی می شود. r-مدول بدون تاب m را یک مدول ارزیابی(vm) می نامیم، هرگاه به ازای هر y?k ، ym? m یا y-1m?m ( یا به طور معادل به ازای هر y?k و x?m ، yx?m یا y-1m?m ). نشان خواهیم داد که اگر m یک مدول ارزیابی ضربی باشد، آن گاه با تولید متناهی است. هم چنین به بررسی و ارتباط بین حلقه های ارزیابی و مدول های ارزیابی خواهیم پرداخت. r-زیرمدول n از mt از را یک زیرمدول کسری از m می نامیم، هرگاه r?t=r-{0} وجود داشته باشد به طوری که rn? m. ثابت خواهیم کرد اگر m مدول ارزیابی ضربی باشد، مجموعه زیرمدول های کسری m، تحت شمول به طور خطی مرتب هستند. هم چنین در یک دامنه موضعی یک بعدی، هرگاه هر زیرمدول کسری ناصفر از مدول نوتری باوفای m ، وارون پذیر باشد، آن گاه m یک مدول ارزیابی گسسته است. هم چنین نشان خواهیم دا که با این شرایط، اگر m یک dvm باشد، آن گاه m مدول ددکیند است. هم چنین به ارتباط بین مدول های ارزیابی و مدول های ارزیابی گسسته خواهیم پرداخت.فرض کنید r دامنه صحیح با میدان خارج قسمتی k باشد. در این پایان نامه ابتدا تعمیمی از حلقه های ارزیابی و حلقه های ارزیابی گسسته به مدولهای ارزیابی و مدول های ارزیابی گسسته بررسی می شود. r-مدول بدون تاب m را یک مدول ارزیابی(vm) می نامیم، هرگاه به ازای هر y?k ، ym? m یا y-1m?m ( یا به طور معادل به ازای هر y?k و x?m ، yx?m یا y-1m?m ). نشان خواهیم داد که اگر m یک مدول ارزیابی ضربی باشد، آن گاه با تولید متناهی است. هم چنین به بررسی و ارتباط بین حلقه های ارزیابی و مدول های ارزیابی خواهیم پرداخت. r-زیرمدول n از mt از را یک زیرمدول کسری از m می نامیم، هرگاه r?t=r-{0} وجود داشته باشد به طوری که rn? m. ثابت خواهیم کرد اگر m مدول ارزیابی ضربی باشد، مجموعه زیرمدول های کسری m، تحت شمول به طور خطی مرتب هستند. هم چنین در یک دامنه موضعی یک بعدی، هرگاه هر زیرمدول کسری ناصفر از مدول نوتری باوفای m ، وارون پذیر باشد، آن گاه m یک مدول ارزیابی گسسته است. هم چنین نشان خواهیم دا که با این شرایط، اگر m یک dvm باشد، آن گاه m مدول ددکیند است. هم چنین به ارتباط بین مدول های ارزیابی و مدول های ارزیابی گسسته خواهیم پرداخت.

در‎‎‎‎ سرتاسر این ‏پایان نامه‏، تمام حلقه ها جابجایی و یکدار و تمام مدول ها یکانی اند. ما در این پایان نامه ویژگی های نگاشت هایی مشخص‏، به خصوص همریختی مشبکه ای‏، بین مشبکه ایده ال های حلقه جابجایی ‎r و مشبکه زیر مدول های ‎r- مدول m را بررسی می کنیم. نشان می دهیم‏ ‏که نگاشت ? ‎‎‏ از مشبکه‏ ایده ال های ‎r به مشبکه زیر مدول های ‎m ‏، تعریف شده به صورت ‎?(b)=bm ‏، یک یکریختی (مشبکه ای) است اگر و تنها اگر ‎m یک مدول ضربی باوفای با تولید متناهی باشد. به علاوه برای حلقه هایی مشخص و نه همه حلقه ها‏، یک یکریختی از مشبکه ایده ال های r ‎‎‏ به مشبکه زیر مدول های r‎‎‏- مدول m ‎‏ وجود دارد اگر و تنها اگر نگاشت ‎? یکریختی باشد.

نظریه ی ارزیابی به عنوان شاخه ای از جبرتوپولوژی درنظرگرفته می شود. مفاهیم ارزیابی ابتدا روی میدانها مطرح شد.سپس مانیس،مفاهیمی از ارزیابی درکاتگوری ازحلقه های جابجایی رابیان و مورد بررسی قرارداد. ارزیابی ماتریسی توسط کهن و مهدوی هزاوه ای وسپس تعمیمی از آن توسط حسینی مطرح وقضیه ی سختی هولدر برای آن اثبات گردید. مادراین پایان نامه ابتدا وجود ارزیابی روی حلقه ی نیم ساده را با استفاده از ارزیابی روی حلقه های تقسیم و قضیه ی ودربرن- آرتین مورد بررسی قرارمی دهیم. سپس ارزیابی وارزیابی هولدری یک حلقه ی غیر جابجایی رابه حلقه ی کسرهای آن توسیع می دهیم. در ادامه،ارزیابی رابه ارزیابی هولدری برای فضای برداری وگروه های آبلی تعمیم و قضیه ی سختی هولدر را برای آن ثابت می کنیم. در نهایت ارزیابی رابه ارزیابی هولدری روی چندجمله ایهای اریب تعمیم داده وو یژگیهای آن رامورد بررسی قرارمی دهیم.