در این پایان نامه با استفاده از تکنیک های جبری و همچنین کاربردهای جبر خطی و نظریه ماتریس، به مطالعه گرافها می پردازیم. هدف ما انتقال خواص گرافی به خواص جبری است و سپس از نتایج و روش های جبری برای بدست آوردن قضایا در مورد گرافها استفاده می کنیم. این پایان نامه به چهار فصل تقسیم شده: فصل اول با مقدمات نظریه جبری گراف شروع می شود و سپس انواع خاصی از گرافها و خواص طیفی آنها را مطرح می کنیم. در فصل دوم با ماتریس وقوع و ماتریس لاپلاسی که نقش مهمی را در این پایان نامه بازی می کنند، آشنا می شویم و بعضی از ویژگی های آنها را بررسی می کنیم. فصل سوم در مورد خواص طیفی ماتریس لاپلاسی است. در نهایت ، در فصل چهارم در مورد مقدار ویژه مشخصی از ماتریس لاپلاسی، تحت عنوان همبندی جبری گراف، بحث می کنیم.

دراین پایان نامه ابتدا نتایج ثابت شده در زمینه فرم ماتریسی نامساوی میانگین حسابی- هندسی و نامساوی یانگ را مورد بررسی قرار می دهیم. اگر 0? ? ?1 ‚ نامساوی یانگ برای دو عدد حقیقی نامنفی a,b ‚ نامساوی میانگین حسابی- هندسی با وزن ? می باشد که . a^( ?) b^(1-?) ? ?a+(1- ?)b همچنین میانگین هاینز برای دو عدد حقیقی نامنفی a,b به این صورت تعریف می شود: h_? (a,b)=(a^( ?) b^(1-?)+a^( 1-?) b^? )/2. در ادامه ما حالت تعمیم یافته ای برای نامساوی عددی یانگ خواهیم آورد و با استفاده از این مطلب نامساوی های یانگ وهاینز را بهبود می بخشیم.

چکیده اعداد صحیح b و d داده شده اند به طوری که |b|>1 و d > 1 . هدف ما ساختن توابع تظریف پذیر هموار و تفکیک ناپذیر با محمل فشرده و ضریب اتساع b است که یک آنالیز چندریزه ساز روی) (r^d l^2 تولید می کند. این توابع تظریف پذیر، تفکیک ناپذیرند. به عبارت دیگر نمی توان آنها را به صورت حاصلضرب دو تابع از بعدهای پایین تر بیان کرد. با استفاده از این توابع مقیاس و یک تعمیم از قضیه ای از لای و استوکلر، قابک های چسبان هموار با محمل فشرده را برای سیستم هایی با ضریب اتساع ?bi?_(d×d) می سازیم. هر دوی توابع تظریف پذیر و قابک هایی که آنها تولید می کنند، می توانند به همان همواری که مد نظر ماست ساخته شوند. تقریب هایی برای این توابع تظریف پذیر و قابک ها ارائه شده است. کلمات کلیدی: تابع تظریف پذیر، تابع تفکیک ناپذیر، آنالیز چندریزه ساز، فاکتور اتساع، قابک چسبان، محمل فشرده.

معادلات دیفرانسیل و معادلات انتگرال به دلیل ظاهر شدن در علوم مختلف حجم وسیعی از مطالعات و تحقیقات را به خود اختصاص داده است. در این پایان نامه ابتدا روش تجزیه آدومیان مطرح شده سپس یک روش تبدیلی جدید برای حل معادلات دیفرانسیل معمولی و حل معادلات دیفرانسیل جزئی معرفی شده است. است. قضیه هایی از این روش به همراه اثباتشان بیان شده است‏، و مثال هایی عددی مانند dtm نام این تبدیل جدید بگلی ـ تورویک، ریکارتی، و ... و مثالی کاربردی از این روش بنام معادله نوسانگر کسری ارائه شده است. در پایان الگوریتمی برای حل نوسانگرهای کسری با استفاده از روش تبدیل دیفرانسیل ارائه شده است، و مثال هایی عددی برای نشان دادن درستی و تاثیر روش پیشنهادی بیان شده است.

نامساوی ها یکی از مهمترین حوزه های پژوهشی آنالیز ماتریسی هستند که از ابتدا مورد علاقه بسیاری از ریاضی دانان بوده و کاربردهایی در علوم مختلف از جمله محاسبات علمی، نظریه سیستم و کنترل، تحقیق در عملیات، فیزیک ریاضی، استاتیک، اقتصاد و مهندسی دارد. نخستین بار در سال $1934$ کتاب تقریبا جامعی با نام "نامساوی ها" cite{h} توسط هاردی، ltrfootnote{g. h. hardy} لیتل وود ltrfootnote{e. littlewood} و پولیا ltrfootnote{ polya} نگاشته شد. از آن پس ، تلاش های زیادی برای چاپ و نشر کتاب، رساله و مقاله در حوزه نامساوی های ریاضی صورت گرفت. یکی از زمینه های اساسی تحقیق و پژوهش در نظریه عملگرها و آنالیز ماتریسی، نامساوی های عملگری و ماتریسی است. در واقع می توان گفت نامساوی های ماتریسی منعکس کننده آنالیز ماتریسی از دیدگاه کمی می باشند. نامساوی های ماتریسی، موضوعات مختلفی مانند نرم ماتریسی، میانگین های ماتریسی، توابع محدب، توابع معین مثبت، مقادیر ویژه و مقادیر منفرد ماتریس ها را در بر می گیرد. افراد زیادی سعی کرده اند روابط و نامساوی های اعداد را برای ماتریس ها به کار گیرند، اما آنچه که به نظر می رسد این است که در به کارگیری بعضی از نامساوی ها برای ماتریس ها باید نهایت دقت را به کار گرفت زیرا نسخه های جالبی از نامساوی های اعداد برای ماتریس ها وجود دارد، اما تنها برخی از آن ها به نتایج مطلوبی می رسند. برای مثال extit{نامساوی مثلث } برای دو ماتریس $ a$ و $ b$ به شکل $ mid a+b mid leq mid a mid+mid b mid $ همه جا درست نیست cite{r11}. به عنوان مثالی دیگر، اگر $a$ و $b$ دو عدد مثبت باشند نامساوی زیر را همواره برای اعداد داریم : $$ mid a - b mid leq a +b $$ ظاهرا انتظار داریم نسخه ی ماتریسی این نامساوی برای دو ماتریس مثبت $a$ و $ b$ به صورت زیر باشد: $$ mid a-b mid leq a+b$$ ولی این نامساوی همیشه درست نیست cite{r11}. شاید اگر از نسخه ی مقادیر تکین (به جای خود ماتریس) استفاده کنیم موفق تر باشیم. یعنی این که egin{equation}label{se} s_{j} (a-b) leq s_{j} (a+b), qquad qquad 1 leq j leq n end{equation} باز هم می توان مثالی آورد که درستی نامساوی فوق را نقض می کند cite{r11}. ، اما اگر ادعای ضعیف تری را برای نرم های یکانی پایا به کار گیریم. یعنی این که: egin{equation}label{z} ormu{ a-b} leqslant ormu{a+b}, end{equation} آن گاه نامساوی ( ef{z}) همواره درست است. یک اثبات از این نامساوی در cite{r11} آورده شده است.در سال $1990$ برای اولین بار باهاتیا ltrfootnote{bhatia} و کیتانه ltrfootnote{kittaneh} نسخه ای ماتریسی از میانگین هندسی - حسابی را به شکل زیر صورت بندی و اثبات نمودند: $$2s_{j}(a^{ast}b) leq s_{j} (aa^{ast} + bb^{ast}), qquad qquad 1 leq j leq n.$$ واضح است که اگر دو ماتریس $a$ و $b$ مثبت باشند، آن گاه نامساوی فوق به شکل زیر خواهد بود: $$2 s_{j}(ab) leq s_{j}(a^{2} + b^{2}), qquad qquad 1 leq j leq n.$$ پس به عنوان یک نتیجه از نامساوی فوق، اگر $ a, b in mathbb{m}_{n}$ که در آن $ mathbb{m}_{n} $ جبر همه ماتریس های مختلط $ n imes n $ می باشد، آن گاه بنا به قضیه تسلطی فن ltrfootnote{fan dominance theorem} برای هر نرم تحت یکانی پایا داریم: egin{equation}label{e19} ormu{a^{*}b} leq frac{1}{2} ormu{a^{*}a+b^{*}b}. end{equation} پس نسخه ی نرم یکانی پایا نامساوی میانگین حسابی ـ هندسی نیز برقرار است. آن ها همچنین یک تعمیم از نامساوی ( ef{e19}) به صورت زیر ثابت کردند: $$ ormu{a^{*}xb} leq frac{1}{2} ormu{aa^{*}x+xbb^{*}} qquad (a, b, x in mathbb{m}_{n}).$$ در سال $1995$ آندو ltrfootnote{ando} نسخه ماتریسی نامساوی "یانگ" را به صورت زیر ارائه کرد. برای هر جفت از ماتریس های $a,b in mathbb{m}_{n} $ ، یک ماتریس یکانی $ u in mathbb{m}_{n}$ وابسته به $ a$ و $b $ وجود دارد به طوری که $$u^{*} vert ab^{*} vert u leq dfrac{vert a vert}{p}^{p} + dfrac{vert b vert}{q}^{q}.$$ در نتیجه $$ s_{j}(ab) leq s_{j}(dfrac{a^{p}}{p}+dfrac{b^{q}}{q}).$$ به نظر می رسد این موضوع بسیاری از نویسند گان را تحریک کرده است که اثبات های گوناگون، گزاره های معادل، توسیع ها و تعمیم هایی در جهات مختلف بیابند. در رساله حاضر برخی از این توسیع ها را بررسی می کنیم و بر روی دیگر موضوعات مربوطه بحث می نمائیم. برای این منظور مطالب در چهار فصل تنظیم شده اند. در فصل اول پیشنیاز های مورد نیاز جهت فهم مفاهیم فصل های بعد آورده شده است. در فصل دوم نسخه ماتریسی نامساوی حسابی -هندسی را با نرم تحت یکانی پایا از نظر می گذرانیم و سپس نسخه ماتریسی نامساوی را با نرم شعاع عددی بررسی می کنیم.در فصل سوم ابتدا نسخه ماتریسی نامساوی یانگ را با نرم شعاع عددی و نرم عملگری بررسی می کنیم و با استفاده از آن یک اثبات جدید برای رد یک نسخه ماتریسی از نامساوی یانگ با نرم های یکانی پایا به دست می آوریم.در فصل چهارم ابتدا با استفاده از نامساوی یانگ به جای نامساوی هندسی - حسابی تعدادی نامساوی عملگری مهم را تعمیم داده و سپس با استفاده از یک شکل بهبود یافته از نامساوی یانگ این نامساوی ها را بهبود می دهیم.

ماتریس های کاملاً نامنفی و کاملاً مثبت برخلاف تعریف محدود کننده شان‏، در اکثر زمینه های ریاضیات محض و کاربردی حضور دارند. در این رساله علاوه بر ویژگی های کلی، به بررسی دو مبحث اساسی از این ماتریس ها، حاصل ضرب و توان های هادامارد و مساله کامل سازی پرداخته شده است.

در این پایان نامه میانگین های ماتریسی را مورد توجه قرار می دهیم. همچنین به مطالعه نگاشت های مثبت و نگاشت های کاملا مثبت می پردازیم. ارتباط بین نگاشت های کاملا مثبت و میانگین های ماتریسی را بررسی می کنیم که این موضوع کاربردهای فراوانی در اطلاعات کوانتومی دارد

برد عددی رتبه بالای نامعین، تعمیمی از برد عددی ماتریس ها است. در این پایان نامه برد عددی رتبه بالای نامعین را مورد بررسی قرار می دهیم و آن را برای رده ای از ماتریس های j- هرمیتی به دست می آوریم.

برای یک ماتریس n- مربعی مختلط مانند a = (a_ij)، فرض کنید w(a)، برد عددی a بوده و g_w(a) : = conv (?_(i=1)^n??{z ? c ??|z- a_ii ?|? (?_(i?j )??(|a_ij |+|a_ji |)?)/? }) و g^ (a) = ?_(u ?u_n)??g_w (u^* au?), که در آن ،u_n گروه همه ماتریس های یکانی n×n می باشد. مجموعه g^ (a) ناحیه گرشگورین به طور یکانی تقلیل یافته ی a نامیده می شود. در این پایان نامه، برخی از خواص جبری و هندسی g_w(a) و g^ (a) مورد مطالعه و بررسی قرار گرفته است. تآکید روی ماتریس هایی مانند a است که برای آنها، w(a) با g_w(a) یا g^ (a) برابر می باشد.

در این رساله به مطالعه ارتباط بین همگرایی روشهای تکراری جهت حل دستگاههای خطی و غلافهای عددی چندجملهای وار ماتریسها میپردازیم. در ابتدا با ارائه الگوریتم کمترین بردار باقیمانده تعمیم یافته کرانهایی برای نرم بردار باقیمانده الگوریتم ارائه میشود. سپس به ارتباط بین این کرانها با غلافهای عددی چندجملهای وار میپردازیم و به اهمیت مطالعه و مشخصه سازی غلافهای عددی چندجملهای وار اشاره میکنیم. فرض کنیدa یک ماتریس جمع مستقیم بلوک ژوردن و یک ماتریس نرمال باشد. در این صورت غلاف های عددی چندجملهای وار از مرتبه دو و مرتبه n-1 ماتریسهایی که بطور یکانی مشابه این ماتریسها هستند بررسی می شوند. یک شرط لازم و کافی برای اینکه این مجموعه ها نقطه درونی داشته باشند بدست می آوریم. همچنین غلاف عددی مرتبه را براساس ماتریسهای خاص بصورت تحلیلی بیان می کنیم. در ادامه مجموعه غلاف عددی مرتبه n-1 بررسی می شود و نشان داده می شود اگر مقادیر ویژه نه هم خط باشند و نه هم خط آنگاه این مجموعه ها حداکثر یک نقطه بیشتر از طیف دارند. در ادامه نشان می دهیم اگرچه غلاف محدب برد عددی توأم توانهای یک ماتریس نسبت به متر هاسدورف پیوسته میباشند ولیکن غلافهای عددی چندجملهای وار ماتریسها نسبت به متر هاسدورف پیوسته نمیباشند. در انتها برنامهای در نرم افزار متلب برای رسم غلاف های عددی چندجمله ای وار ارائه میشود.

در این پایان نامه تعدادی نامساوی ماتریسی بدست آمده است و سپس نتایجی درباره مهادینگی بردار مقادیر وِیژه ماتریس های نیمه معین مثبت بلوکی ارائه شده است.

در این پایان نامه به معرفی مفهوم تعامد بردارها و ماتریس ها در فضاهای نرمدار می پردازد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

در این رساله پیش نیازهای لازم در ارتباط با عملگرهای الحاقی بسته و بسته شدنی را بیان می کنیم و سپس به مطالعه مولفه های طیفی عملگر خودالحاق ماتریسی که توسط عملگر متقارن ماتریسی به شکل l [ab b*c] روی فضای هلیبرت h2×h1 می باشد، می پردازیم. درایه های a و b و c الزاما عملگرهای کراندار روی فضاهای h1 و h2 یا بین آنها نیستند. تحت فرضیات مناسب بست عملگر (l)l0 را مورد مطالعه قرار می دهیم. در پایان حلالهای فشرده و توابع طیفی فشرده شده l را بیان می کنیم.

در این رساله خواص طیفی ماتریس عملگر بلوکی a روی فضای هیلبرت h h×h که در آن -d و a عملگرهایی -m قطاعی و d و b عملگرهای کراندار می باشند را مورد مطالعه قرار می دهیم. تحت یک فرض اضافی طیف a شامل یک قسمت در نیم صفحه راست و یک قسمت در نیم صفحه چپ می باشد و زیرفضاهای طیف متناظر قابل نمایش توسط عملگرهای زاویه ای می باشند. اگر قسمتی از طیف a در نیم صفحه راست گسسته باشد، آنگاه می توانیم یک قضیه در مورد تامیت نیم برد را بیان کنیم. همچنین برد عددی درجه دوم یک ماتریس عملگر بلوکی را بعنوان یک ابزار اساسی معرفی می نمائیم.

در این رساله ، ابتدا پیش نیازهای لازم برای فرم ژوردن یک ماتریس از جمله بردارهای ویژه تعمیم یافته، زیرفضاهای ویژه تعمیم یافته، زنجیرهای ژوردن و سرانجام بلوک و ماتریس ژوردن را معرفی می کنیم و قضایای مهم تجزیه فضاهای برداری مختلط را بیان می کنیم . در فصل دیگر تعاریف مربوط به برد عددی را بیان کرده و ثابت می کنیم که ماتریس n × n مختلط t ، هم ارز یکانی، بلوک ژوردن است اگر و فقط اگر برد عددی آن معادل دیسک دایره ای مربوطه باشد.

در این رساله عملگرهای ماتریس بلوکی را که درایه های آن عملگرهای بی کران می باشند بررسی می کنیم، و شرایطی را مشخص می کنیم که این عملگر بسته یا بسته شدنی باشد. البته قابل ذکر است که اگر همه درایه هایش بسته یا بسته شدنی باشند نمی توان نتیجه گرفت که عملگر ماتریس بلوکی بسته یا بسته شدنی است ، همچنین بستار این عملگر ماتریس بلوکی را بررسی می کنیم. در ادامه اصول اکستریمال را برای مقادیر ویژه یک دسته عملگر بررسی می نماییم.

دراین پایان نامه یک مفهوم جدید برای ماتریسهای بلوکی 2ضربدر 2 جهت مطالعه برد عددی درجه دوم آنها ارائه می شود. نتایج اصلی این پایان نامه ، یک قضیه شمول طیفی ، یک برآورد حلال برای اعضای برد عددی درجه دوم ، قضیه تجزیه (به عاملها ) برای متممهای شاور و یک قضیه در باره زیر فضاهای پایای طیفی شامل مقادیر ویژه می باشند . همچنین وجود جوابهای متناظر با معادلات ریکاتی و یک عملگر قطری شونده ، همه نتایجی جدید در مورد این ماتریسها می باشند.