فرض کنیمg یک گراف همبند نابدیهی باشد. برای رأسv از گراف g، مجموعه رأس های مجاور بهv را با n(v) نشان می دهیم. فرض کنید که c? v(g) ? nیک رنگ آمیزی رأسی ازg باشد که رأس های مجاور ممکن است، رنگ های یکسانی داشته باشند. ?(v)، مجموع رنگ های رئوسn(v) است. اگر برای هر دو رأس مجاورu وv داشته باشیم ?(u)??(v)، آن گاهc را یک رنگ آمیزی جمعی ازg می نامیم. مینیمم تعداد رنگ های مورد نیاز در یک رنگ آمیزی جمعی ازg را عدد رنگی جمعی نامیم و با?(g) نمایش می دهیم. عدد رنگی جمعی گراف g، هرگز از عدد رنگی?(g) تجاوز نمی کند و برای هر جفتa وb از اعداد صحیح مثبت که a?b، یک گراف همبند مانندg وجود دارد که?(g)=a و ?(g)=b. فرض کنیدk وn اعداد صحیح مثبتی باشد که k?n. یک گراف گراف همبندg از مرتبه یn وجود دارد که ?(g)=k، اگر و تنها اگر k?n-1. چندین نتیجه ی دیگر نیز راجع به عدد رنگی جمعی ارائه شده است. برای یک k-رنگ آمیزی جمعی c از گراف g، برد جمعی از g، کوچک ترین عدد صحیح مثبت k است، به طوری که یک k-رنگ آمیزی جمعی c از g با استفاده از رنگ های متعلق به مجموعه ی{1,2,…,k} وجود داشته باشد که آن را با?(g) نمایش می دهیم. ثابت می کنیم برای هر گراف مسطح g، ?(g)?468. این بهبود یافته ی کران قبلی ?(g)?5544 است که توسط نورین حاصل شد. در اثبات از قضیه ی صفرهای ترکیبیاتی و عدد رنگ آمیزی ابرگراف ها استفاده می کنیم. ما هم چنین ثابت می کنیم که برای گراف های مسطح 3-رنگ پذیر، ?(g)?36 و برای هر گراف مسطح با کمر حداقل 13، ?(g)?4. ما ثابت می کنیم که برای هر r?2، یک گراف g_r با عدد رنگی r، وجود دارد که هیچ رنگ آمیزی جمعی روی یک گروه آبلی متناهی از مرتبه ی r، ندارد.