در فصل اول تعاریف، مفاهیم و قضایای مقدماتی را که برای این پایان نامه نیاز داریم بیان می کنیم.در فصل دوم که به بررسی جواب های چندگانه برای دستگاهی شامل عملگر p-لاپلاسین با غیر خطی های همگن بحرانی است، میپردازیم ابتدا مقدمات و نتایج اصلی آن را در دو قضیه بیان می کنیم سپس وجود حداقل یک جواب که با استفاده از قضیه مسیر های کوهی، قضیه همگرایی لبگ، قضیه ضریب تغییرات لاگرانژو لم برزیس-لیب بررسی می کنیم، و چندگانگی جواب ها را با استفاده از نظریه رسته ها بررسی می کنیم. در فصل سوم که به بررسی جواب های مثبت چندگانه برای دستگاهی با غیر خطی های همگن بحرانی می پردازیم، ابتدا مقدمات و نتایج اصلی آن را در دو قضیه بیان می کنیم سپس بررسی وجود حداقل یک جواب و چندگانگی جواب های را بررسی می کنیم . در فصل آخر که به بررسی جواب های مثبت چندگانه برای مسئله بیضوی مرتبه دوم کیرشهف است ابتدا مقدمات و نتایج اصلی که در دو قضیه بیان می شود سپس لم های مقدماتی و در بخش اخر نتایج را با استفاده از لم های گفته شده اثبات می کنیم.