در این رساله قضیه ی نقطه ثابت را برای نگاشت های انقباضی و به ویژه انقباض برودر در سال 1968 مورد بررسی قرار می دهیم. نشان می دهیم بسیاری از تعریف نگاشت های انقباضی که در مقالات بعد از 1968 آمده فرمول های معادل یا حتی حالات خاص از تعاریف برودر است. هم چنین به بررسی وجود نقاط ثابت تقریبی بر روی نگاشت های انقباضی پیوسته می پردازیم. در ابتدا انواع نقاط ثابت را تعریف کرده و رابطه ی بین این نقاط را نشان می دهیم. در فصل بعد نگاشت های انقباضی و رابطه ی بین آن ها را بررسی می کنیم. در فصل چهارم به بررسی انواع نقاط ثابت روی نگاشت های انقباضی تعریف شده پرداخته و در پایان این فصل نگاشت های انقباضی را معرفی می کنیم که هم afp و هم cfp دارند. در فصل پایانی هم به عنوان کاربردی از نقاط ثابت به تعریف e – نقاط ثابت و فضای b– متریک پرداخته و نتایج کمی و کیفی بعضی از نگاشت های انقباضی روی فضاهای متریک و b- متریک را بررسی می کنیم.