در این پایان نامه ابتدا گروه های غیر پوچ توان با دو درجه ی سرشت را توصیف می کنیم. در ادامه کار گراف سرشت های تحویل ناپذیر گروه های متناهی را بررسی می کنیم. رأس های این گراف، که برای گروه g آن را با tg نشان می دهیم، مجموعه ی سرشت های تحویل ناپذیر و غیر خطی g یعنی (nl(g است و در دو رأس x و توسط بالی به هم وصل می شوند هر گاه . ثابت می کنیم که برای یک گروه حل پذیر مانند tg,g فاقد مثلث است اگر و تنها اگر .از این قضیه نتیجه می شود که برای هر گروه حل پذیر g، فاقد مثلث بودن (t(g یا فاقد دور بودن آن معادل است. بنابر این اگر g یک گروه حل پذیر باشد، (t(g فاقد مثلث است اگر و تنها اگر یک جنگل باشد.

گراف ?‎ را یک گراف دو-کیلی روی گروه ‎ gگوییم هرگاه زیرگروهی از ‎ aut(?)‎ یکریخت با ‎g‎ وجود داشته باشد که روی مجموعه ی رئوس ‎ ?به طور نیمه منظم عمل کند و دارای 2 مدار هم اندازه باشد. هر گراف دو-کیلی را می توان به صورت زیر نیز توصیف کرد: فرض کنید ‎$t$‎، ‎$s$‎، و ‎$r$‎ زیر مجموعه هایی از گروه ‎$ g $‎ باشند به طوری که ‎$ s^{-1}=s $‎ و ‎$ r^{-1}=r $‎ و ‎$ rcup s $‎ شامل عضو همانی ‎$ g $‎ نباشد، گراف ‎$ { m bicay} (g;r,s,t)$‎ به صورت زیر تعریف می شود. مجموعه رئوس آن ‎$ g imes {0,1} $‎ است و دو راس ‎$ (h,i) $‎ و ‎$(g,j),$‎ مجاورند اگر و تنها اگر یکی از سه حالت زیر رخ دهد ‎$ (1)$ $i=j=0$‎ ، ‎$gh^{-1}in r $‎ ‎$ (2)$ $ i=j=1$‎، ‎$gh^{-1}in s $‎ ‎$ (3)$ $ i=0,j=1 $‎، ‎$ gh^{-1}in t $‎. ‎‎ تعریف فوق بیان می کند هر گراف دو-کیلی ‎$ { m bicay} (g;r,s,t) $‎ شامل دو گراف کیلی ‎$ { m cay} (g,r) $‎ و ‎$ { m cay} (g,ُُُs) $‎ است به طوری که گراف های کیلی ‎$ { m cay} (g,r) $‎ و ‎$ { m cay} (g,s) $‎ بدون طوقه و غیرجهت دار هستند. برخی از محققین مجموعه های ‎$r$‎ و ‎$s$‎ را مجموعه های تهی درنظر می گیرند. این گراف را با ‎${ m bcay}(g,t)$‎ نشان می دهیم. از این رو ‎${ m bcay} (g,t)={ m bicay} (g;emptyset‎ ‎,emptyset,t)$.‎ بنابراین گراف دو-کیلی ‎${ m bcay}(g,t)$‎ از گروه ‎$g$‎ نسبت به مجموعه ی ‎$t$‎ یک گراف با مجموعه ی رئوس ‎$g imes{0‎, ‎1}$‎ و مجموعه یال های ‎$ lbrace {(x‎, ‎0),(tx‎, ‎1)} mid x in g‎, ‎ t in t brace$‎ است. این گراف یک گراف دوبخشی با دوبخشی سازی ‎$(g imes{0}‎, ‎g imes{1})$‎ است. گراف دو-کیلی ‎${ m‎ ‎bcay}(g,‎ ‎s)$‎ را یک گراف ‎${ m bci}$‎ یکریخت دو-کیلی، می نامیم، هرگاه به ازای هر گراف دو-کیلی ‎${ m bcay}(g‎, ‎t) $‎ که ‎$ { m‎ ‎bcay}(g,‎ ‎s) cong{ m‎ ‎bcay}(g,‎ ‎t) $‎ اعضای ‎$gin g$‎ و ‎$alphain { m aut} (g)$‎ وجود داشته باشند که ‎$t=gs^{alpha}$‎. فرض کنید ‎$m$‎ یک عدد صحیح مثبت باشد. گروه ‎$g$‎ را ‎$ { m bci}mbox{-}m$‎ گروه می نامیم، هرگاه همه ی گراف های دو-کیلی با ظرفیت حداکثر ‎$m$‎، یعنی ‎$vert s vertleq m$‎، گراف ‎${ m bci}$‎ باشند. %برای گروه متناهی ‎$g$‎ و زیر مجموعه ی ‎$s$‎ از ‎$g$‎ به طوری که ‎$ 1 otin s $‎ نباشد، %گراف کیلی جهت دار‎ $x=cay(g,s)$‎ ، ‎$g$‎ نسبت به ‎$s$‎ گرافی است با مجموعه رئوس ‎$g$‎ و مجموعه کمان های % ‎$$arc(x)=lbrace (x,sx)vert xin g vert‎ ,‎sin s brace$$‎ فرض کنید ‎n‎ یک عدد صحیح باشد. یک گراف ‎? که یک جورسازی کامل را داشته باشد را ‎n‎ توسعه پذیر می نامیم هرگاه دارای حداقل ?(2n+2) راس باشد، و هر جورسازی با اندازه ی ‎n‎ را بتوان به یک جورسازی کامل از ‎? ‎ گسترش داد. توسعه پذیری ‎ (?) ‎ برابر ماکسیمم عدد صحیح ‎n‎ است که ?‎، ‎ n‎توسعه پذیر باشد‎.‎ در این پایان نامه برخی خواص اساسی گراف ها ی دو-کیلی را بررسی می کنیم. گروه های ‎${ m bci}mbox{-}3$‎ را مطالعه می کنیم و هم چنین نشان می دهیم تنها گروه ناآبلی ساده و ‎$ mbox{-}{ m‎ ‎bci}mbox{-}3$‎ گروه ‎$a_5$‎ است. علاوه بر آن توسعه پذیری گراف ها ی دو-کیلی روی گروه آبلی متناهی را بررسی می کنیم، بویژه ‎$2$-‎توسعه پذیری و ‎$3$-‎توسعه پذیری گراف ها ی دو-کیلی از گروه های آبلی متناهی را توصیف می کنیم. مقاله های زیر منابع اصلی این پایان نامه هستند. کلمات کلیدی: عمل منظم و نیمه منظم، گراف کیلی، گراف دو-کیلی، جورسازی کامل، توسعه پذیری.

فرض کنید ‎g‎ یک گروه باشد. رابطه ~ ‎ را روی ‎‎‎‎g‎‎‏ به صورت زیر تعریف می‎کنیم‎ ? g ,h ?g g‎~h‎ ?‎‎ |‎g|=|h| ‎ ‏که در آن ‎ ‎‎‎|x‎|‎‏ مرتبه ی عضو ‎‎x‎‎‎‎‏ در گروه ‎‎‎‎g‎‏ است. به وضوح این رابطه‏، یک رابطه ی هم ارزی است.مجموعه‏ ی اندازه های رده های هم ارزی نسبت به این رابطه را نوع مرتبه ی یکسان ‎g‎ می نامیم.‎‎ برای مثال اگر ‎g?1‎ یک گروه تاب آزاد باشد نوع آن {? و ?}‎ است.گروه بدیهی و گروه z2 تنها گروه‏ های از نوع ‎{1} هستند. اگر {n1 , n2, … n3 } ‏، نوع مرتبه‏ ی یکسان گروه ‎g‎ باشد، آن گاه برای هر‎i? j، ‎ni? nj‎ ‎. مفهوم نوع را ایتو ‎(itô)‎ در سال 1953 درمورد رده های مزدوجی معرفی کرد. اگر ‎g‎ یک گروه متناهی باشدr } {n1 ,…,n‎ مجموعه ی اندازه های رده های مزدوجی اعضای g‎‎‏ باشد‏، به طوری که n1 =1 ‎ < n2‎ <... ‎< nr‎‎‎‏‏،‎‎ آن گاه گوییم ‎g‎‏ از نوع مزدوجی{n1,n,...,nr}‎‎‏ است. ‏می توان دید که اگر ‎ ‎g ‎‏یک‎ گروه د‏ل خواه با نوع مزدو‏جی r } {n1 ,…,n باشد‏، به طوری که ‎‎r‎ و ‎‎‎‎ni‎‏ها‎ متناهی باشند‏،‎آن گاه ‎g‎‎‏ ‎‎‏یک گروه متناهی است.‎ وا‏ضح است که فقط گروه آبلی از نوع ‎‎ {1} است. همچنین ایتو اثبات کرد ‏که گروه های متناهی از نوع مزدوجی ‎{1 , n }‎ و ‎{1 , n1 , n2}‎ به ترتیب پوچتوان و حل پذیر هستند. در این پایان نامه اندازه ی مجموعه ی اعضای از مرتبه ی یکسان را به جای اندازه ی رده های مزدوجی در قضایای ایتو قرار می دهیم و تعریف نوع مرتبه یکسان گروه را به دست می آوریم که مشابه همان تعریف ایتو است. در این تعریف جدید ممکن است گروه نامتناهی باشد. هم چنین گروه هایی را که از نوع مرتبه ی یکسان ‎{1, n}‎‎‏ یا ‎{1, m, n}‎‏ هستند‏، را بررسی می کنیم و ثابت خواهیم کرد که این گروه ها به ترتیب پوچ توان و حل پذیر هستند و ساختار آن ها را نیز مشخص خواهیم کرد. ‏‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎ مقاله های زیر منابع اصلی این پایان نامه هستند ‎ ‎(1) rulin ‎shen‎, ‎"‎on finite groups with ‎given ‎same-order types". 40 (2012) 2140-2150.‎ ‎(2) cheng, ‎k.‎, ‎deaconescu, ‎m., ‎mong, ‎l.l, ‎and ‎shi, ‎w., "‎corrigendum ‎and ‎addendum ‎to ‎classification ‎of ‎finite ‎groups ‎with ‎all ‎elements ‎of ‎prime ‎order". 117 (1993) 1205-1207.‎ ‎‎ رده بندی موضوع: ‎20e34 - 20d10 - 20d60 - 20d06 کلمات کلیدی: ‏گروه های پوچ توان‏، نوع مرتبه ی یکسان‏، گروه های حل پذیر

فرض کنید s یک زیرمجموعه از گروه آبلی و متناهی g باشد. گراف کیلی جمعی را که با نشان می دهیم عبارت است از گرافی با مجموعه رئوس g و یال هایی از مجموعه ی یعنی بین دو رأس و در گراف g یال وجود دارد اگر و تنها اگر در این پایان نامه هدف تعیین همبندی گراف های کیلی جمعی است. یادآوری می کنیم که کمترین تعداد رأسی که با حذف آن از گراف ، گراف ناهمبند می شود و یا تنها یک رأس از آن باقی می ماند را همبندی رأسی تعریف می کنیم و با نشان می دهیم. ابتدا ثابت می کنیم همبند است اگر و تنها اگر s مشمول در یک همدسته از زیرگروه اکید g نباشد، مگر اینکه مشمول در یک همدسته ی ناصفر از یک گروه از شاخص 2 باشد. سپس خانواده ای از زیرگروه های g را به صورت معرفی کرده و را به صورت ، تعریف می کنیم و نشان می دهیم بنابراین یک کران بالا برای است. حال و را در نظر می گیریم به طوری که در شرایط زیر صدق کند. 1) 2) و خانواده ای از زیر گروه های را به صورت زیر تعریف می کنیم. }شرایط 1 و 2 برقرار باشند و قرار می دهیم و نشان می دهیم و در نتیجه نیز یک کران بالا برای است و در آخر با اثبات و چند نتیجه ی مهم از آن، همبندی رأسی گراف را مشخص می کنیم.

فرض کنید ‎g‎ یک گروه متناهی و‎cs(g) ‎ مجموعه ی همه ی اندازه های رده های مزدوجی ‎g{1}‎ باشد. فرض کنید (g)? نشان دهنده گراف اول ساخته شده بر روی cs(g)‎ باشد، در این صورت رئوس (g)? ‎ اعداد اول شمارنده ها ی اعضای ‎cs(g) ‎ هستند و دو رأس متمایز ‎p‎ و ‎q‎ در (g)? ‎ مجاور هستند اگر و تنها اگر ‎pq‎ عضوی از ‎cs(g) ‎ را عاد کند. مجموعه ی رئوس و مجموعه ی یال های (g)? ‎را به ترتیب با‎v(g) ‎ و‎e(g) ‎ نشان می دهیم. راس‎p? v(g) ‎ را یک رأس کامل می نامیم، هرگاه به ازای هر ‎q? v(g) { p }‎ داشته باشیم{p,q} ? e(g) ‎. در این پایان نامه گروه های ‎g‎ را بررسی می کنیم که گراف اول آن ها روی ‎cs(g) ‎ دارای تعداد کمی راس کامل باشد. هم چنین گراف اول (g)? و خواص اساسی را بررسی می کنیم. یکی از اهداف این است که ساختار گروه های متناهی ‎g‎ را توصیف کنیم که گراف (g)? دارای تعداد زیادی یال نامجاور است. به طور دقیق تر نشان می دهیم: اگر ‎g‎ گروه متناهی باشد و (g)? ‎ حداکثر یک راس کامل داشته باشد، آن گاه ‎g‎ حل پذیر است و ارتفاع فیتینگ آن حداکثر ‎3‎ است. ‎ نتیجه ای از قضیه ی بالا به صورت زیر است: فرض کنید ‎g‎ یک گروه متناهی حل پذیر باشد به طوری که (g)? با ارتفاع فیتینگ کراندار برای اندازه های ‎‏‎رده های مزدوجی باشد. در این صورت ارتفاع فیتینگ ‎g‎ حداکثر ‎3‎ است. ‎‎ اگر مفروضات قضیه ی بالا را قدری قوی تر کنیم و فرض کنیم (g)? دارای راس کامل نباشد، آن گاه نتیجه بهتری می توانیم ثابت کنیم و نشان می دهیم که گروه g برابر حاصل ضرب نیم مستقیم دو گروه آبلی با مرتبه ها ی متباین و برخی شرایط اضافه ی دیگر می باشد. در نهایت گروه متناهی g‎ را زمانی که‎ (g)? یک گراف منظم ناکامل است، بررسی می کنیم.

فرض کنیم ‎$m$‎ یک عدد طبیعی، ‎$ mathbb{z}_{m} $‎ حلقه ی رده های مانده ای به پیمانه ی ‎$ m $‎ و ‎$ u(mathbb{z}_{m}) $‎ گروه اعضای وارون پذیر آن باشد. برای عدد صحیح مثبت ‎$ u$‎، ‎$mathbb{ z}_{m}^{(2 u)} $‎ را مجموعه ی همه ی ‎$ 2 u $-‎تایی های ‎$ (a_{1},ldots‎ ,‎a_{2 u} ) $‎ از اعضای ‎$mathbb{ z}_{m} $‎ درنظر می گیریم به طوری که ‎$a_{1}mathbb{z}_{m}+a_{2}mathbb{z}_{m}+cdots‎ ‎+a_{2 u}mathbb{z}_{m}=mathbb{z}_{m}$.‎ رابطه ی هم ارزی ‎$ sim $‎ روی ‎$ mathbb{z}_{m}^{(2 u)} $‎ را به صورت زیر تعریف می کنیم ‎[ (a_{1},ldots‎ ,‎a_{2 u} ) sim (b_{1}ldots‎ ,‎b_{2 u} ) longleftrightarrow exists lambdain u(mathbb{z}_{m})‎ , ‎ ‎ ‎(a_{1},ldots‎ ,‎a_{2 u} ) = lambda (b_{1},ldots‎ ,‎b_{2 u}‎ ) .‎]‎ رده ی هم ارزی شامل ‎$ (a_{1},ldots‎ ,‎a_{2 u}) $‎ را با ‎$ [a_{1},ldots‎ ,‎a_{2 u} ]$‎ و مجموعه همه ی رده های هم ارزی را با ‎$widetilde{mathbb{z}}_{m}^{(2 u)} $‎ نشان می دهیم. فرض کنیم ‎egin{equation*}‎ ‎mathbf{k^{(2 u)}} = left(‎ ‎egin{array}{cc}‎ ‎0 & i^{( u)} ‎ -‎i^{( u)} & 0‎ ‎end{array} ight)‎, ‎end{equation*}‎ که در آن ‎$i^{( u)}$‎ ماتریس همانی از مرتبه ی ‎$ u$‎ است. یادآوری می کنیم که گروه سیمپلکتیک ‎${ m sp}_{2 u}(m)$‎، پیمانه ی ‎$ m $‎ و از درجه ‎$2 u$‎ نسبت به ماتریس ‎$k^{(2 u)}$‎ مشتمل بر همه ی ماتریس های ‎$2 u imes 2 u$‎ مانند ‎$t$‎ روی ‎$mathbb{z}_m$‎ است به طوری که ‎$tk^{(2 u)}t^{t}=k^{(2 u)}$‎، که در آن ‎$t^t$‎ ترانهاده ی ماتریس ‎$t$‎ است. گراف سیمپلکتیک به پیمانه ی ‎$m$‎ که با ‎${ m sp}_{m}^{(2 u)}$‎ نشان می دهیم، گرافی است که رأس های آن مجموعه ی ‎$widetilde{mathbb{z}}_{m}^{(2 u)} $‎ است و دو رأس ‎$[a_{1},ldots‎ ,‎a_{2 u}]$‎ و ‎$[b_{1},ldots‎, ‎b_{2 u}]$‎ مجاورند اگر و تنها اگر ‎$[a_{1},ldots,a_{2 u}]k^{(2 u)}[b_{1},ldots,b_{2 u}]^{t}in u(mathbb{z}_{m})$‎. در این پایان نامه گراف سیمپلکتیک ‎${ m sp}_{m}^{(2 u)}$‎ به پیمانه ی ‎$m$‎ را در دو حالت ‎$m=pq$‎ و ‎$m=p^{n}$‎، که در آن ‎$p$‎ و ‎$q$‎ دو عدد اول متمایز و ‎$n$‎ عدد صحیح است، بررسی می کنیم. نشان می دهیم گراف سیمپلکتیک ‎${ m sp}_{m}^{(2 u)}$‎ ترایای کمانی است، به ویژه گروه سیمپلکتیک ‎${ m sp}_{2 u}(m)$‎ به صورت ترایا روی مجموعه ی رأس های گراف ‎${ m sp}_{m}^{(2 u)}$‎ با تعریف ‎egin{eqnarray*}‎ ‎&&{ m sp}^{(2 u )}_m imes { m sp}_{2 u} (m)longrightarrow { m sp}^{(2 u)}_m ‎ ‎&& ([x_1‎, ‎x_2‎, ‎ldots‎ , ‎x_{2 u} ]‎, ‎t) mapsto (x_1‎, ‎x_2,ldots‎ , ‎x_{2 u} )t‎ ‎end{eqnarray*}‎ عمل می کند. در ادامه به تعیین زیرمدارهای گروه سیمپلکتیک ‎${ m sp}_{2 u}(m)$‎ روی گراف ‎${ m sp}_{m}^{(2 u)}$‎ و تعداد رأس های ‎${ m sp}_{m}^{(2 u)}$‎ می پردازیم.

این پایان نامه درباره ی اندیس های توپولوژیک لوله های نانو و حاصل ضرب ریشه ای گراف ها می باشد که از پنج فصل تشکیل شده است. فصل اول مقدمه، فصل دوم و سوم درباره اندیس های توپولوژیک گراف، فصل چهارم درباره حاصل ضرب ریشه ای گراف ها و فصل پنجم درباره درخت های بت تعمیم یافته صحبت کرده است.

فرض کنید $g$ یک گروه متناهی غیریکریخت با یک $p$-گروه دوری ($p$ عدد اول) باشد. گراف الحاق زیرگروه های $g$ را با $delta(g)$ نشان می دهیم. مجموعه ی رئوس این گراف، متشکل از زیرگروه های سره ی $g$ است که در زیرگروه فراتینی قرار ندارند و دو رأس $h$ و $k$ با هم مجاور هستند هرگاه $g=langle h, k angle$. نشان می دهیم که این گراف همبند و قطر آن حداکثر ? است. عدد رنگی و عدد خوشه ای این گراف با هم برابر و برابر با تعداد زیرگروه های ماکسیمال گروه است. اگر عدد استقلال گراف حداکثر ? باشد، گروه مورد نظر حل پذیر است. هم چنین گروه های متناهی دارای گراف الحاق منظم و گراف های متناظر این گروه ها را رده بندی می کنیم. از لحاظ تاریخی، یکی از مسائل قابل توجه در مورد گراف هایی که روی مشبکه ی زیرگروه های یک گروه معرفی شده اند، مسطح بودن گراف است. مساله ی مسطح بودن $delta(g)$ را به طور مفصل مطالعه و گروه های متناهی دارای گراف الحاق مسطح زیرگروه ها را رده بندی می کنیم. نتیجه ی اصلی به دست آمده، نشان می دهد که تنها خانواده هایی از گروه های ابرحل پذیر دارای گراف الحاق مسطح هستند. فرض کنید $g$ یک گروه متناهی غیریکریخت با گروه دوری مرتبه اول باشد. گراف اشتراک زیرگروه های $g$ را با $gamma(g)$ نشان می دهیم. مجموعه ی رئوس $gamma(g)$ متشکل از همه ی زیرگروه های سره ی $g$ است و دو رأس $h$ و $k$ با هم مجاور هستند هرگاه اشتراک نابدیهی داشته باشند. این گراف را می توان دوگان گراف $delta(g)$ در نظر گرفت. در این تحقیق مساله ی رده بندی گروه های متناهی دارای گراف اشتراک مسطح را به طور کامل بررسی می کنیم. نتیجه ی به دست آمده نشان می دهد که تنها خانواده هایی از گروه های حل پذیر که تعداد شمارنده های اول مرتبه ی آن ها حداکثر ? تا و مجموع توان های این شمارنده های اول حداکثر ? است، دارای گراف اشتراک مسطح هستند که این گروه ها را با مولدها و روابطشان دقیقا مشخص می کنیم.

در این رساله طیف، یکریختی و گروه خودریختی گراف هایی که گروه خودریختی آن ها شامل یک زیرگروه نیمه-منظم است، مطالعه شده اند.

فرض کنید g یک گروه متناهی باشد. گراف مولد (gamma(g گرافی با مجموعه رئوس عناصر غیر همانی g است که در آن دو راس a,b مجاور هستند اگر و تنها اگر زیرگروه تولید شده توسط آنها برابر g باشد. در این سخنرانی گراف مولد یک گروه را بررسی می کنیم به ویژه گراف مولد حاصل ضرب پیچشی s توسط { c-{m را بررسی می کنیم که در آن s گروه ساده متناهی و {c-{m گروه دوری از مرتبه m است. عدد صحیح مثبت m را طوری تعیین می کنیم به طوری که (gamma(g شامل یک دور همیلتونی باشد