هر زیر گروه گسسته از ایزومتری های جهت نگه دار نیم فضای بالا (یا مدل گوی واحد) را یک گروه کلاینی می نامند. در این پایان نامه قصد داریم ضمن پرداختن به جنبه های مختلف گروه های کلاینی، مجموعه حدی و بعد هاوسدورف این گروه ها را به طور دقیق تر بررسی گنیم.