در این پایان نامه یک ساختار از دو خانواده ی غیرکلاسیک از چندجمله ای های متعامد ارائه شده است. این چندجمله ای ها را در اصطلاح چندجمله ای های چبیشف نیم دامنه نوع اول و دوم می نامند؛ که اولین بار توسط هویبرخس در سال 2010 معرفی شدند. چندجمله ای های کلاسیک چبیشف روی بازه ی $ [-1,1] $ تعریف شده اند, چندجمله ای های چبیشف نیم دامنه روی بازه ی کوچکتری تعریف می شوند, به کمک الگوریتم چبیشف این چندجمله ای ها را روی نیمی از دامنه ی $ [-1,1] $، یعنی بازه ی $ [0,1] $ می سازیم و برخی از خواص آن ها را نشان می دهیم. چندجمله ای های چبیشف نیم دامنه نیز مانند چندجمله ای های متعامد کلاسیک می توانند برای تقریب توابع مورد استفاده قرار گیرند. بدین ترتیب که هر تابع انتگرال پذیر را می توان به صورت یک سری نامتناهی از این چندجمله ای ها نمایش داد؛ که این سری را, سری چبیشف نیم دامنه فوریه می نامند و به صورت اختصاری $ hcf $ نشان می دهند. در اینجا به محاسبه مشتق و ضرب سری های قطع شده ی $ hcf $ می پردازیم. هدف اصلی، استفاده از این سری ها جهت حل عددی معادلات دیفرانسیل به یک روش طیفی و یا شبه طیفی است. از این رو ماتریس های عملگری ضرب و مشتق را نیز به دست می آوریم. vspace*{0.7cm} oindent extbf{large{واژه های کلیدی:}} چندجمله ای های چبیشف نیم دامنه، چندجمله ای های متعامد، رابطه بازگشتی سه جمله ای، ماتریس مشتق، ماتریس ضرب. extbf{large{رده بندی موضوعی ریاضی lr2010: }}08lr{c}11, 99lr{c}11, 45lr{c}33.