در این پایان نامه از تجزیه مقدار تکین در پردازش تصویر استفاده می شود. دو روش مشهور یکی به نام فشرده سازی تصویر و دیگری الگوگذاری تصویر مورد بررسی قرار می گیرد. در روش تجزیه مقدار تکین ماتریس a به صورت usvt تجزیه می شود. استفاده از مقادیر تکین این امکان را به ما می دهد که تصویر را با یک مجموعه کوچکتر از مقادیر تکین نمایش دهیم به طوری که با تصویر اصلی تفاوت زیادی نداشته و فضای کمتری برای ذخیره سازی استفاده می شود. مثال هایی با مقادیر تکین متفاوت ارائه می شود و نتایج فشرده سازی با استفاده از نسبت فشرده سازی و نرخ سیگنال راسی به نویز ارزیابی می شود. الگوگذاری تصویر برای حل مسائل حفاظت از حق مالکیت تصویر به کار می رود. در این پایان نامه یک روش الگوگذاری جدید ارائه می شود و برتری این روش جدید بر سایر روش ها نشان داده می شود.

هدف از نگارش این پایان نامه، استفاده از نقاط کنترلی فرم بزیر-برنشتاین برای حل عددی معادلات دیفرانسیل معمولی با شرایط مرزی است. برای این منظور، دو نوع طرح کمترین توان های دوم مبتنی بر افزایش درجه و زیرتقسیم ارائه نموده و همگرایی این دو طرح را به مسائل مقدار مرزی تجزیه و تحلیل می کنیم.ابتدا پایه و چندجمله ای های برنشتاین را همراه با خواص آن ها بیان می کنیم. با توجه به سرعت کند همگرایی تقریبات برنشتاین در قضیه وایرشتراس، به معرفی منحنی های بزیر و ویژگی های آن ها می پردازیم.

در این پایان نامه معادلات دیفرانسیل کسری تاخیری خطی را در نظر گرفته ایم. برای حل این معادلات از روش های تحلیلی و عددی استفاده کرده ایم. پایداری جواب روی پارامترهای معادله دیفرانسیل و همچنین پایداری مجانبی مورد بررسی قرار گرفته است، به علاوه پایداری ورودی محدود خروجی محدود bibo‎ نیز بحث شده است. قابلیت اجرایی بودن روش تبدیل لاپلاس برای تحلیل پایداری به طور مشترک با معادله مشخصه متناظر آن که به طور گسترده در تحلیل پایداری bibo‎ مورد استفاده قرار می گیرد، مورد بررسی قرار گرفته شده است. همچنین نشان داده ایم که معادله مشخصه متفاوت شامل تابع میتاگ لفلر تک پارامتری که توسط روش معروف گام ها به دست می آید یک شرط لازم برای پایداری مجانبی را فراهم می کند.

در سالیان اخیر کار زیادی روی حل دستگاه های معادلات خطی بزرگ به فرم نقطه ی زینی انجام شده که علت این علاقه ,این واقعیت است که انواع گسترده ای از مسائل علوم کاربردی و مهندسی منجر به این نوع دستگاهها می شوند.به عنوان مثال روش عناصر متناهی برای حل معادلات ناویر استوکس , بهینه سازی مقید ,درونیابی داده های پراکنده و کمترین مربعا ت مقید شده از جمله ی این موارد هستند. روش های مستقیم برای مسائل با اندازه بزرگ کارایی خوبی ندارند هرچند نسبت به روش های زیر فضای کریلف حافظه ی کمتری را اشغال می کنند ولی کارایی روش های زیر فضای کریلف بیشتر است. متاسفانه روش های زیر فضای کریلف برای مسائل نقطه ی زینی کارایی کمی دارند و این سبب می شود با ارائه ی پیش شرط سازهای مناسب به افزایش سرعت همگرایی و درنتیجه کارایی روش کمک کنیم . در این پژوهش نخست به معرفی معادلات ناویر استوکس می پردازیم و آنگاه دستگاه ها ی حاصل از گسسته سازی این معادلات (مسائل نقطه ی زینی) بررسی می کنیم. سپس به معرفی روش های زیر فضای کریلف وپیش شرط سازی ان پرداخته و پیش شرط هایی که برای این نوع مسائل ارائه شده است مدنظر قرار می دهیم در انتها به مقایسه نتایج عددی روش های ارائه شده روی دستگاه حاصل از گسسته سازی معادلات ناویر استوکس خطی شده می پردازیم.