فرض کنید ? یک گراف بامجموعه رئوس v(?)= {v1 , …vn} و مجموعه یال ها ی e(?) = {e1 , …,en} باشد. ماتریس مجاورت گراف? که با a= [aij] نمایش داده می شود،ماتریس n×n است که در آن aij = 1 اگر vi به vj مجاور باشد درغیراین صورت aij=0 . چندجمله ای det(??-a)= (?)? راچندجمله ای مشخصه گراف ? می نامیم. ریشه های (?)? به همراه تکرر طیف ? نامیده می شوند. بوضوح چون ضرایب چندجمله ای مشخصه اعدادی صحیح هستندنتیجه می شودمقادیرویژه هرگراف اعدادصحیح جبری هستندومی دانیم هرعددصحیح جبری گویاعددی صحیح است.گرافهایی که مقادیر ویژه آنهااعدادی صحیح هستندحائزاهمیت است چنین گرافهایی راصحیح می نامند. همچنین اگرg یک گروه باشد و s زیرمجموعه ای ازg باشد که 1- شامل عضوهمانی نیست 2- اگر a ? s آنگاهa-1? s آنگاه گراف cay(g,s) گرافی است که مجموعه رئوس آن عناصرgهستند. {{a,bیک یال آن است هرگاه s?ab -1 دراین پایان نامه به مطالعه گروههایی خواهیم پرداخت که گراف کیلی متناظرآن که دارای ماتریس مجاورت بامقادیرویژه صحیح باشد. برای نخستین بارهری واس چونک درسال 1974 مفهوم گرافهای صحیح رامطرح کردند.سودرسال 2006ثابت کردکه هرگراف کیلی یک گروه دوری ،دوری است وهمچنین دراین مقاله گرافهای دوری صحیح شناسایی شدند. علاوه ثابت شده است گرافهای کیلی روی zn گرافهای دوری صحیح هستند. همچنینklotcو sanderنشان داده اند اگر sمتعلق به جبربولی تولیدشده توسط زیرگروهای گروهی آبلی باشد cay(g,s{e}) گرافی صحیح است. بررسی ومطالعه گرافهای کیلی صحیح روی گروههایی متناهی آبلی به پایان رسیده است امادرموردگروههای ناآبلی نتیجه آنچنانی حاصل نشده است. gگروه متناهی غیربدیهی است وsزیرگروه gو همچنین s=s-1 وeعنصرهمانی گروه g. کیلی گراف cay(g,s) هست گرافی که مجموعه رئوس آن ازgاست ودورأس aوbمجاورهستند هرگاه ab-1? s 1-نشان می دهیم که اگر gغیرساده متناهی باشد .دراین صورت gیک گروه ساده صحیح کیلی است اگروتنهااگر g? z p2 یا g? z2×z2 (pعددی اول است) 2-نشان می دهیم وجوددارد گروههای متناهی ناآبلی ساده که کیلی صحیح ساده نیستند

در این پایان نامه ابتدا گروه های غیر پوچ توان با دو درجه ی سرشت را توصیف می کنیم. در ادامه کار گراف سرشت های تحویل ناپذیر گروه های متناهی را بررسی می کنیم. رأس های این گراف، که برای گروه g آن را با tg نشان می دهیم، مجموعه ی سرشت های تحویل ناپذیر و غیر خطی g یعنی (nl(g است و در دو رأس x و توسط بالی به هم وصل می شوند هر گاه . ثابت می کنیم که برای یک گروه حل پذیر مانند tg,g فاقد مثلث است اگر و تنها اگر .از این قضیه نتیجه می شود که برای هر گروه حل پذیر g، فاقد مثلث بودن (t(g یا فاقد دور بودن آن معادل است. بنابر این اگر g یک گروه حل پذیر باشد، (t(g فاقد مثلث است اگر و تنها اگر یک جنگل باشد.

فرض کنید r یک حلقه جابجایی باشد . مجموعه مقسوم علیه صفر به جز صفر حلقه r را به عنوان رئوس گراف مقسوم علیه صفر روی حلقه r در نظر بگیرید. دو راس متمایز a و b با هم مجاورند اگر و تنها اگر ab=0. در این پایان نامه قطر گراف مقسوم علیه صفر حاصل ضرب متناهی از حلقه ها را محاسبه میکنیم. همچنین به بررسی گراف مقسوم علیه صفر روی برخی حلقه های خاص می پردازیم و قطر، کمر، ععد خوشه ای و عدد استقلال این گراف ها را محاسبه می کنیم.

در این پژوهش تابع غالب رومی علامت دار را روی برخی گراف ها مطالعه می کنیم. تابع f:v(g)?{-1 ,1 ,2} را غالب رومی علامت دار (srdf) می نامیم هرگاه برای هر رأس v با شرط f(v)= -1 ، حداقل یک رأس مجاور با v مانند u موجود باشد که f(u)=2 و هم چنین برای هر x?v(g) داشته باشیم: f[x]=?_(y?n[x])??f(y)?1? وزن هر srdf مانند f به صورت (f)=?_(v?v)f(v)? است. عدد غالب رومی علامت دار گراف g برابر srdf های روی گراف g است و آن را با نماد ?_(sr ) (g)نمایش می دهیم. در این پایان نامه کران های پایین و بالا برای عدد غالب رومی علامت دار گراف g تعیین می کنیم. هم چنین عدد غالب رومی علامت دار گراف های پترسن، بادبزن، چرخ، دوستی و چند بخشی کامل را برای اولین بار بررسی و مشخص می نماییم.