معادلات دیفرانسیل با مشتقات نسبی تصادفی به دلیل اعمال تاثیرات تصادفی در شبیه سازی پدیده های طبیعی مدلهای ریاضی دقیق تر و غنی تری در مقایسه با نوع قطعی خود ارائه می نمایند. با پیشرفت روز افزون علوم مدرن و مهندسی نوین و نقش بسیار مهمی که این معادلات در توصیف سیستمهای پویای مربوط به این علوم ایفا می کنند، تشریح و مدلسازی معادلات دیفرانسیل با مشتقات نسبی تصادفی از اهمیت بیشتری برخوردار شد. از اینرو حل این معادلات در عرصه ریاضیات از جمله موضوعات مهم و جدید محسوب می شود که در عین حال با پیچیدگیهایی نیز همراه است. با پیشرفت سریع رایانه های پر سرعت در سالهای اخیر و ضرورت استفاده از مدلهای ریاضیاتی بر روی سیستم های محاسباتی، ارائه روشهای عددی کارا در این حوزه بسیار ناثیر گذار می باشد. در این پایان نامه تقریب جواب معادلات دیفرانسیل با مشتقات نسبی تصادفی و بطور خاص حل عددی معادلات سهموی تصادفی با اغتشاش ضربی با استفاده از دو روش تفاضل متناهی تصادفی سیولو و لیو مورد مطالعه قرار گرفته است. همچنین روش خطوط برای مسائل با مقدار مرزی تصادفی با اغتشاش جمعی معرفی شده و عملکرد روشهای مطرح شده از لحاظ عددی با ارائه مثالهایی مورد تحلیل و بررسی قرار گرفته است.

در این پایان نامه به مرور برخی روشهای بدون شبکه برای حل معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزیی می پردازیم. توابع پایه ای شعاعی را به عنوان یک روش بدون شبکه برای حل معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزیی را به طور کامل معرفی می کنیم. برای درونیابی و حل معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزیی از توابع پایه ای شعاعی پارامتری استفاده می کنیم. توابع پایه ای شعاعی را به پارامتر بهین مجهز می کنیم. این ویژگی باعث می شود که توابع پایه ای شعاعی به رده توابع هموار متعلق شوند. در پایان نیز با مثالهای عددی متنوع به جوانب کار خود می پردازیم.

در این پایان نامه مفهوم جدیدی از غالب هم توزیعی که جهت تحلیل حرکت شبکه معادلات دیفرانسیل جزئی برای شبیه سازی عددی معادلات واکنش انتشار انفجاری مورد استفاده قرار می گیردمعرفی می گردد. تئوری و نتایج عددی نشان می دهد زمانی روش حرک شبکه می تواند دارای عملکرد مثبت باشد که معادلات حرکت شبکه بکار برده شده غالب هم توزیعی باشد و غالب هم توزیع بودن را با استفاده از تحلیل ابعاد می توان مورد بررسی قرار داد همچنین τ نقش کلیدی را در غالب هم توزیع بودن معادله حرکت شبکه ایفا می کند. لازم به ذکر است که از τ ثابت و متغیر برای غالب هم توزیع بوذن استفاده خواهیم کرد. روشی که برای حل معادله فیزیکی در نظر گرفتیم روش حرکت محلی می باشد. در این روش از سلول میانگین مکعبی هرمیتی محلی برای گسسته سازی معادله فیزیکی و از تفاضل متناهی برای گسسته سازی معادله حرکت شبکه استفاده خواهیم کرد.

در این پایان نامه یک رده جدید از روشهای رانگ - کوتای تصادفی برای تقریب ضعیف جواب دستگاههای معادلات دیفرانسیل ایتو با یک فرآیند وینر چند بعدی معرفی می شود. تعداد مراحل روشها به بعد فرآیند وینر وابسته نیست و تعداد متغیرهای تصادفی که باید شبیه سازی شوند بطور قابل ملاحظه ای کاهش می یابند.با کاربرد نظریه درختان ریشه دار رنگی شرایط مرتبه برای روشهای رانگ - کوتای تصادفی با همگرایی ضعیف مرتبه دوم محاسبه می شود.بعلاوه ضرایب برای روشهای رانگ - کوتای مرتبه دوم صریح ارائه شده است.

بسیاری از پدیده های طبیعی را می توان بوسیله مدلهایی که منجر به معادلات دیفرانسیل می شوند مدلسازی نمود. در بسیاری از مواقع چون بعضی از پارامترها و داده های اولیه مسئله بدلیل نداشتن اطلاعات کافی از مکانیزم سیستم بطور دقیق مشخص نیستند، رفتار سیستم در بعضی از شرایط نمایش قطعی ایده آلی را در بر نخواهد داشت. از اینرو بمنظور جبران کمبود اطالاعات سیستم و همچنین داشتن توصیف حقیقی تری از رفتار سیستم، اغتشتاش تصادفی در معادله اعمال می شود که این در حقیقت منجر به معادلات دیفرانسیل تصادفی خواهد شد. در عمل معادلات دیفرانسیل تصادفی با مشتقات نسبی نسبت به معادلات دیفرانسیل تصادفی معمولی دقیق تر و کامل تر می باشند که در این پایان نامه معادلات دیفرانسیل تصادفی با مشتقات نسبی بحث شده اند. جوابهای عددی معادلات دیفرانسیل تصادفی با مشتقات نسبی تقریباً شبیه به معادلات دیفرانسیل معمولی می باشد که روشهای تیلور تصادفی مبنی بر کاربرد تکراری فرمول ایتو تولید شده و برای به دست آوردن روشهای عددی مرتبه بالاتر مورد استفاده قرار گرفته اند. در حالت کلی یک فرمول ایتو برای معادلات دیفرانسیل تصادفی با مشتقات نسبی در دسترس نمی باشد با وجود این بسطهای تیلور تصادفی برای این معادلات از شکل نمایشی میلد بدست می آید که از نیاز به فرمول ایتو اجتناب می کند. در اینجا بسطهای تیلور تصادفی جدید و روشهای عددی مبنی بر آنها بحث خواهد شد

در این پایان نامه روش های رانگ-کوتای افراز شده برای حل معادلات دیفرانسیل تصادفی مرتبه دوم معرفی میگردد اما چون دقت این روش ها پایین بود در ادامه روش های رانگ-کوتای افراز شده مرتبه بالاتر ارائه گردید.در انتها تابع چگالی ایستا برای معادلات دیفرانسیل تصادفی غیر خطی مرتبه دوم ارائه شد.

در این پایان نامه به بررسی روش های عددی برای حل معادلات ریکاتی جبری بزرگ در حالت پیوسته – زمانی و گسسته – زمانی می پردازیم. روش های ارائه شده روش های تصویری به روی زیر فضاهای کریلف هستند. از فرآیندهای آرنولدی جامع، آرنولدی بلوکی و آرنولدی بلوکی توسعه یافته برای ساختن یک پایه یکا متعامد متناظر با زیرفضای کریلف استفاده می کنیم و سپس جواب های تقریبی با بعد پایین را از زیر فضای کریلف استخراج می کنیم. برای هر روش نتایج نظری مانند کران بالا برای نرم مانده به دست آمده اند. چند مثال عددی برای مسائل بزرگ و تنک ارائه شده اند. آزمون های عددی کارایی روش آرنولدی بلوکی توسعه یافته را نسبت به دیگر روش ها نشان می دهند.

هدف اول در این پایان نامه این است که خواننده های مختلفی از جمله ریاضیدانان،فیزیکدانان، مهندسان و... را با ویژگی های جواب معادلات دیفرانسیل تاخیری و روش‎های عددی برای حل این نوع از معادلات آشنا سازد. هدف دوم در این پایان نامه این است که بین روش های گسسته و پیوسته برای حل معادلات دیفرانسیل تاخیری ارتباط برقرار سازد و بوسیله الگوریتم ها و فنون توسعه یافته روش هایی را برای حل این نوع از معادلات ایجاد کرده و همگرایی آن ها مورد بررسی قرار می گیرد.

معادلات دیفرانسیل جابه جایی-پخش آشفته تکین خطی تعمیم داده ایم و ثابت کردهایم روش دقت مرتبه یک دارد و نسبت به پارانتر اغتشاش یکنواخت است همچنین یک روش گسسته سازی جدید با استفاده از روش تفاضلات متناهی غیر استاندارد برای حل دستگاه دستگا معادلات جابه جایی-پخش آشفته تکین شبه خطی ارایه شده است روش ارایه شده به طور یکنواخت همگرا است و همگرایی از مرتبه یک دارد در پایان روش تکراری یکنوا برای حل طرح تفاضلی ارایه شده بررسی شده است.

روش های مختلفی برای حل دستگاه خطی ax=b ارائه می شوند، که در آن a یک ماتریس معلوم، b معلوم و x مجهول می باشد. یک دسته از این روش ها، روش های تکراری می باشند و یکی از روش های تکراری، روش تکراری sor است، اغلب برای سرعت بخشیدن به همگرایی روش های تکراری برای حل دستگاه خطی ax=b از روش های پیش شرط سازی استفاده می شود. برای این منظور پیش شرط های مختلفی ارائه شده اند و برای حل دستگاه خطی ax=b تحت فرض هایی بر روی a مورد استفاده قرار گرفته اند. در این پایان نامه به بررسی روش sor پیش شرط شده با پیش شرط های مختلف می پردازیم و نتیجه می گیریم این پیش شرط ها موجب تسریع در همگرایی روش تکراری sor می شوند. در این پایان نامه یک روش پیش شرط سازی جدید برای حل دستگاه خطی l- ماتریس ها پیشنهاد می کنیم و همگرایی آن را مورد بررسی قرار می دهیم. از قضیه های مقایسه ای نتیجه می شود روش پیش شرط سازی جدید موجب تسریع در همگرایی روش تکراری sor تحت فرض هایی بر روی a می شود. مثال های عددی برای تأیید نتایج تئوری ارائه شده اند.

از جمله روش های متداول برای حل عددی معادلات دیفرانسیل معمولی‏، روشهای رانگ-کوتا و چندگامی خطی است. روش های خطی عمومی بعنوان تعمیمی از این دو روش برای بدست آوردن روابط مشترک بین این روش ها می‏ باشند. برای بدست آوردن روش های خطی عمومی که بیشتر در مسائل خاص کاربرد دارند‏، نیاز است تا محدودیت هایی روی این روش ها اعمال شود. روش های انتگرال گیری چندمرحله ای ضمنی قطری‎‎‏ بعنوان رده ای از ‏روش های خطی عمومی معرفی می شوند. گرچه این رده از روش ها ممکن است بسیار محدود باشد‏، اما منجر به روش های خطی عمومی با خاصیت پایداری رانگ-کوتای ذاتی می شود که عملکرد قابل توجهی دارند. در حقیقت این روش ها از مرتبه مرحله بالاتری هستند و همچنین ساختار ضمنی قطری آنها باعث مزیت این روش ها نسبت به روش های قدیمی است. یکی از راه های ساخت روش هایی از مراتب بالاتر و با ناحیه پایداری بزرگتر‏، استفاده از مشتقات مراتب بالاتر در محاسبه جواب تقریبی با یک روش است. بدین منظور روش های خطی عمومی با مشتق دوم ‏ با اضافه کردن مشتق دوم به روش خطی عمومی بدست می آید. هدف اصلی این پایان نامه بررسی خواص اساسی روش های خطی عمومی و روش خطی عمومی با مشتق دوم‏، از جمله مرتبه‏، همگرایی و شرایط پایداری این روش ها برای حل معادلات دیفرانسیل معمولی و همچنین ساخت روش هایی مناسب برای حل مسائل خاص است.

روش های بدون شبکه یکی از انواع روش های عددی می باشد که در حل معادلات با مشتقات جزئی مورد استفاده قرار می گیرند. این روش ها برای تقریب یا درون یابی نیازمند شبکه بندی دامنه نیستند و از گره های پراکنده در دامنه استفاده می کنند. بنابراین مستقل از شکل هندسی دامنه می باشند. روش کمترین مربعات متحرک یکی از انواع این روش ها می باشد. در این پایان نامه پس از معرفی روش های بدون شبکه و تشریح ویژگی ها و طبقه بندی انواع آن با استفاده از روش بدون شبکه کمترین مربعات متحرک به حل عددی معادلات انتگرالی فردهولم و ولترای خطی در حالت یک بعدی و دو بعدی پرداخته و با ارائه مثال ها و حل آن با روش مذکور به بررسی نتایج عددی حاصل می پردازیم. علاوه بر آن خطای روش کمترین مربعات متحرک برای حل معادلات انتگرالی فردهولم یک بعدی و دو بعدی مورد بررسی قرار می گیرد. ویژگی روش به کار رفته که آن را از دیگر روش ها متمایز می سازد مستقل بودن آن از شکل هندسی دامنه و کارا بودن برای هر پراکندگی دلخواه از نقاط گره ای در دامنه می باشد. این در حالی است که روش های موجود در حل معادلات انتگرالی چندمتغیره بر روی یک ناحیه غیر مستطیلی نظیر هم محلی یا گالرکین نیازمند گسسته سازی دامنه بوده و انجام محاسبات بر روی زیردامنه ها صورت می گیرد. گسسته سازی و ایجاد شبکه مشکل اصلی در این روش ها می باشد که با جایگزین کردن روش های بدون شبکه مانند روش ارائه شده در این پایان نامه می توان تا حدی بر این مشکلات فائق آمد.

بسیاری از پدیده های فیزیکی و مهندسی به وسیله معادلات دیفرانسیل نسبی مدل بندی می شوند. اما در بسیاری از موارد عدم قطعیت در این معادلات ما را به سوی مدل بندی این پدیده ها به وسیله معادلات دیفرانسیل نسبی تصادفی سوق می دهد. در این رساله سعی شده است برخی روشهای تفاضل متناهی برای رده خاصی از این معادلات به کار گرفته شود و به موازات آن پایداری و همگرایی آن همراه با نتایج عددی مورد بررسی قرار گیرد. برای این منظور در ابتدا مقدمه ای کوتاه بر انواع spdeها داریم و سپس به تقریب فرایند اغتشاش خالص می پردازیم. در ادامه به طور مختصر حسابان تصادفی و انتگرالهای ایتو و استراتنویچ را بیان می کنیم. در فصل سوم پایان نامه به تقریب عددی معادله دیفرانسیل سهموی تصادفی به وسیله دو روش صریح و ضمنی می پردازیم و سازگاری و پایداری آنها را بررسی می کنیم. در فصل چهارم روش تفاضل متناهی فشرده برای معادله نفوذ انتشار تصادفی مورد بررسی قرار می گیرد. در فصل آخر تکنیک تعدیل شبکه را از حالت pde به حالت spde بسط و گسترش می دهیم. در تمامی روشهای ارایه شده در این پایان نامه پایداری روشها مورد بررسی قرار می گیرد و نتایج تیوری به وسیله مثالهای عددی مورد ارزیابی قرار می گیرد.

در این پایان نامه به بررسی وجود جواب برای معادله انتگرالی دوبعدی غیرخطی فردهولم نوع دوم پرداختیم و وجود جواب را برای دو حالت معادله با هسته ی پیوسته مورد بررسی قرار دادیم. معادله ی انتگرالی فردهولم با هسته ی پیوسته را با روش تباهیدگی و همین معادله را با هسته ی ناپیوسته با روش ماتریس توپلیتز حل نموده ایم. برای حل این معادلات مبنای کار بر این اساس قرار دادیم که معادله را به یک دستگاه معادلات جبری خطی یا غیر خطی تبدیل کرده و سپس از حل دستگاه, جواب معادله را بیابیم, بدین منظور از توابع دو بعدی گویای هار و توابع شعاعی پایه ای که توابع متعامد یکه هستند استفاده کرده ایم و معادله را در یک دسته از نقاط، درونیابی کرده و آن را به یک دستگاه معادلات جبری خطی یا غیر خطی تبدیل نموده ایم. بالاخره برای بدست آوردن جواب معادله انتگرالی مورد نظر دستگاه معادلات را حل کرده ایم

چکیده پایان نامه : این پایان نامه به توسعه وآنالیز یک روش حرکت شبکه تفاضل متناهی برای حل معادلات دیفرانسیل-انتگرال ‏جزئی می پردازد. ابتدا نگاشت وابسته زمانی انتقال مختصات توسط یک چندجمله ای قطعه ای درجه دو در مکان و تابع خطی در زمان تقریب زده می شود‎. روش مفیدی برای گسسته سازی قسمت انتگرالی معادله با توجه به نگرش حرکت شبکه طراحی شده است‏، در هر سطح زمانی یک تقریب قطعه ای ثابت برای انتگرال استفاده می شود. برای مکان روش تفاضل متناهی مرکزی و برای زمان طرح اویلر پسرو استفاده می شود‎?‎ در این پایان نامه ثابت می شود خطا به طور یکنواخت کراندار است و همگرایی روش نسبت به متغیر مکان از مرتبه دو و نسبت به متغیر زمان از مرتبه اول است. در انتها نیز نتایج عددی به منظور تأیید نتایج نظری ارائه شده است.

چکیده پایان نامه :دراین پایان نامه یک روش هم محلی متحرک برای حل معادلات با مشتقات جزئی کسری وابسته زمانی بیان و بررسی می شود. روش با نوشتن معادله دیفرانسیل کسری به شکل یک معادله تفاضلی زمانی حاصل می شود. این روش یک روش پایدار و دارای همگرایی مرتبه سه نسبت به مکان و همگرایی مرتبه یک نسبت به زمان می باشد. در انتها نیز نتایج عددی به منظور اعتبار نتایج نظری ارائه شده است.

‏ معادلات دیفرانسیل و انتگرال نقش مهمی در علوم مختلف از جمله ریاضی‏، فیزیک و مهندسی دارند. بنابراین بحث در رفتار جواب آنها یک مسئله ی مهم محسوب می شود‎‏‎‎‎‎. در این ‏پایان نامه به بررسی ‏برخی از نامعادلات انتگرالی و قضیه های مربوط به آنها می پردازیم که با استفاده از این نامعادلات ‏انتگرالی در مورد پایداری و کرانداری جواب معادلات دیفرانسیل و معادلات دیفرانسیل-انتگرال بحث می کنیم. همچنین در این پایان نامه تعیین جواب تقریبی یک مساله ی نامعادله ی دیفرانسیل ارائه می شود. برای این منظور ابتدا مساله ی نامعادله ی دیفرانسیل داده شده را به یک معادله ی دیفرانسیل غیر خطی تبدیل می کنیم، و نشان می دهیم که جواب معادله ی دیفرانسیل حاصل تحت شرایط مناسبی به جواب مساله ی نامعادله ی دیفرانسیل اولیه میل می کند. سپس معادله دیفرانسیل را با استفاده از روشهای عددی حل می کنیم و در مورد همگرایی جواب بحث می کنیم. در پایان با ارایه ی چند مثال، کارایی روش بحث شده نشان داده شده است.

مساله کمترن توان های دوم از اهمیت فراوانی در آنالیز عددی است. در این پایان نامه به بررسی روش های تکراری cgnr cgne lsqr ba-gmres و ab-gmres برای حل مساله کمترین توان های دوم می پردزیم. همچنین پیش شرط سازی این روش های تکراری را با پیش شزط rif و مقیاس بندی قطری ارائه می دهیم و نشان می دهیم روش های ba-gmres ab-gmres و cgnr cgne پیش شرط شده رفتار همگرایی مشابهی برای مسائل فرومعین (فرامعین) دارند. در پایان با مثال های عددی برای مسائل فرامعین و فرومعین نشان می دهیم که روش های gmres پیش شرط شده با پیش شرط rif سریع تر از سایر روش های تکراری به جوا مساله کمترین توان های دوم همگرا می شوند.

بسیاری از مسائل فیزیک، مهندسی، شیمی و حتی زیست شناسی و دیگر زمینه های علوم که شامل جواب عددی می باشند، عموما در حل آن ها از معادلات دیفرانسیل معمولی استفاده میشود. در بیشتر کاربردها، دستگاه های بزرگ معادلات دیفرانسیل معمولی که به طور عددی حل می شوند از دو قسمت سخت و غیرسخت تشکیل شده اند. روش مشهور برای حل این نوع معادلات روش های ضمنی – صریح ( imex) می باشند. روش ضمنی- صریح شامل به کار بردن گسسته سازی ضمنی برای قسمت سخت و گسسته سازی صریح برای قسمت غیرسخت می باشد. دراین پایان نامه ، دسته ای از روش هایimex چندگامی خطی و روش های imex رانگ- کوتا را مطالعه می کنیم. هدف پایاننامه روی پایداری خطی روش های imex رانگ- کوتا می باشد و روش های imex رانگ- کوتایی را که دارای ناحیه پایداری بزرگتری از روش های imex چندگامی خطی می باشند توسعه می دهیم. ویژگی های همگرایی و پایداری را برای یک معادله واکنش – انتشار به کار می بریم و نشان می دهیم روش با داشتن شرایطی همگرا است.

روش های بدون شبکه یک کلاس از روش های عددی برای حل معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزیی هستند. در این پایان نامه ابتدا به بررسی برخی روش های بدون شبکه مانند روش هیدرودینامیک های ذره ای هموار و روش حداقل مربعات متحرک می پردازیم. سپس توابع پایه ای شعاعی ‎ rbfرا معرفی می کنیم، توابع پایه ای شعاعی ابزاری مناسب برای حل معادلات دیفرانسیل هستند که برای تقریب معادلات دیفرانسیل از rbf با تکنیک هم محلی استفاده می کنیم. روش های کارآمد بدون شبکه نیاز به یک روش هوشمند برای اضافه کردن و حذف کردن نقاط درونیابی دارند، برای این منظور از روش نمونه برداری مانده استفاده می کنیم. این روش برای تعیین یک مجموعه مناسب از نقاط درونیابی برای نمایش موثر یک تابع مفروض ‎w(xi) مورد استفاده قرار می گیرد. همچنین روش‎ rbf ‎ در گام های زمان را معرفی کرده که در آن ماتریس حاصل از گسسته سازی بدوضع است، که با تجزیه ‎ plu ماتریس ضرایب، مقادیرخطای خوبی حاصل می شود. چند مثال از معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزیی وابسته به زمان را با استفاده از این روش ها تقریب می زنیم و مقادیرخطای آن ها را محاسبه می کنیم.

در این پایان نامه جواب های عددی معادله دیفرانسیل با مشتقات نسبی شبه خطی سهموی و هذلولوی(pdes)را روی یک دامنه ی بی کران خاص که جواب آن در زمان متناهی منفجر می شوند مطالعه می کنیم. معمولاً دو مشکل عمده در حل عددی این گونه مسائل وجود دارد یکی بی کرانی مسأله و دیگری تکینگی انفجار. ما شرایط مرزی موضعاً جاذب (labcs) روی یک مرز ساختگی و استفاده از ایده ی تقریب یکپارچه را به کار می بریم چون شبکه ی ثابت یکنواخت کارایی ندارد ما روش حرکت شبکه (mmpdes)را برای انطباق شبکه که شامل نقطه تکینگی هست به کار می بریم با ترکیب روش های (labcs)و (mmpdes)می توانیم تاثیر گذاری این روش ها را بر روی رفتار کیفی تکینگی انفجار در دامنه بی کران ببینیم. علاوه براین پیاده سازی این دو روش به صورت مجزا است. جواب های عددی تاثیر گذاری و کارایی روش های جدید را نشان می دهد

در این رساله ابتدا به معرفی مدل های جریان ترافیک از جمله جریان ترافیک کلان نگر می پردازیم. از آن جا که این دسته از معادلات به صورت معادلات مشتقات جزئی هذلولوی (و به طور خاص قوانین بقا) بیان می شوند، لذا برخی از مفاهیم و مباحث مهم مربوط به قوانین بقا نیز ارائه می شوند. یک نمونه مدل جریان ترافیک خرد نگر را در نظر گرفته و پس از بررسی تأثیر زمان عکس العمل رانندگان بر مدل و تبدیل مدل به یک مدل کلان نگر، مدل کلان نگر به دست آمده را حل نموده‏ ایم. سپس به منظور به دست آوردن جواب های عددی دقیق تر، روش های حرکت شبکه برای حل این دسته از مسائل به کار برده می شود. ابتدا روش حرکت شبکه را معرفی کرده و روش تفاضلات متناهی متحرک را برای حل چند نمونه معادله از نوع برگرز به کار می بریم. سپس با معرفی یک مسأله جریان ترافیک انتگرال- مشتقات جزئی، یک روش حجم متناهی با وضوح بالا را بر روی شبکه متحرک گسترش داده و معادله فوق را با آن روش حل می نماییم. همچنین با در نظر گرفتن پارامتر عکس العمل رانندگان، مدل فوق را بهبود بخشیده و نشان می دهیم که روش حرکت شبکه روشی کاراتر و مناسب تر برای حل این دسته از مسائل می باشد. در این رساله، همچنین یک روش جدید جهت تولید شبکه ارائه می شود که در آن از منحنی های مشخصه برای به دست آوردن نقاط شبکه استفاده می کنیم. این روش نیز بر روی معادلات جریان ترافیک پیاده سازی می شود. در انتها به معرفی یک شبکه جاده ای و نحوه توزیع جریان ترافیک در این شبکه می پردازیم. به منظور به دست آوردن شرایط مرزی بر روی نقاط تقاطع، مسأله ریمان و حل آن را نیز بیان می کنیم.

روشهای تکراری بر مبنای شکاف ( روشهای تکراری پایه) یکی از متداول ترین روشها برای حل دستگاه معادلات خطی هستند. در سالهای اخیر مقالات زیادی برای بهبود این روشها ارائه شده اند. در این رساله در ابتدا بر مبنای شکاف بلوکی ماتریس ضرایب یک روش aor تعمیم یافته جدید برای حل دستگاههای خطی ارائه می دهیم. این روش حتی وقتی که بعضی از عناصر قطری ماتریس a صفر باشند نیز خوش تعریف است. آنالیز همگرایی و قضیه های مقایسه ای را نیز برای روش جدید ارائه می دهیم. همچنین پیش شرطهای به شکل p=i+s را برای l-ماتریسها مورد تجزیه و تحلیل قرارمی دهیم و بر مبنای تجزیه مقدماتی ماتریس ها در مورد چگونگی ساخت این پیش شرطها توضیحاتی بیان می کنیم.با استفاده از روش تحلیل هوموتوپی یک روش تکراری با استفاده از ماتریس تکرار روشهای تکراری پایه پیشنهاد می کنیم و نشان می دهیم از روش جدید می توان برای تسریع همگرایی روشهای تکراری پایه ای همگرا نیز استفاده کرد و همچنین این روش جدید برای دسته وسیعتری از ماتریسها (ماتریس های متقارن یا دارای مقادیر ویژه حقیقی) همگرا است. در انتها با استفاده از بسط تیلور تعمیم یافته روش جدید دیگری پیشنهاد می دهیم و نشان می دهیم که این تعمیمی از روش تحلیل هوموتوپی است و تمام کارایی های آن را دارا می باشد. برای حالتهای خاص بازه های همگرایی پارامتر کنترل همگرایی را به دست می آوریم. برای هنگامی که ماتریس تکرار روش تکراری پایه دارای مقادیر ویژه حقیقی است پارامترهای بهینه را تعیین می نماییم. برای همه روشهای پیشنهاد شده با مثالهای عددی صحت مطالب را بررسی می نماییم.

‏در‎ این رساله دو روش مبتنی بر شکاف هرمیتی و هرمیتی اریب برای حل معادلات ماتریسی خطی به شکل ‎$‎‎‎axb=c‎$‎‏ و ‎$‎‎‎ax+xb=c‎$‎‏ ارائه می شوند. در هر یک از این روشها با به کار بردن تکرارهای تو در تو‏، ابتدا در هر تکرار داخلی یک معادله ماتریسی را حل کرده و جواب این معادله داخلی را به عنوان ‎‏تقریبی از جواب معادله اصلی در نظر گرفته و تکرارهای بیرونی را تا رسیدن به جواب معادله ادامه می دهیم. ‎روش اول که روش گرادیان مزدوج با شکاف تو در تو‏ ‎(nscg) ‎ نامیده می شود‎، برای معادلات ماتریسی مناسب است که ماتریسهای ضرایب آنها نیمه معین مثبت و حداقل یکی از این ماتریسهای ضرایب معین مثبت باشند. در این روش قسمتهای هرمیتی ماتریسهای ضرایب مسأله اصلی به عنوان ماتریسهای ضرایب معادله ماتریسی داخلی به کار می روند و در هر تکرار بیرونی‏، معادله داخلی با روش گرادیان مزدوج ‎(cg)‎ حل می شود.‎ در روش‎ دوم که مانده نرمال گرادیان مزدوج با شکاف تو در تو ‏‎(ns-cgnr)‎ می باشد‏، از قسمتهای هرمیتی اریب ماتریسهای ضرایب مسأله اصلی به عنوان ماتریسهای ضرایب معادله ماتریسی داخلی استفاده می شود و در هر تکرار بیرونی‏، معادله داخلی را با روش مانده نرمال گرادیان مزدوج ‎(cgnr)‎‏ حل می کنیم.‎‎ شرایط همگرایی برای هر دو روش به صورت عمیق بررسی می شوند و کارایی این روشها در مقایسه با برخی روشهای تکراری متداول در مثالهای عددی متعددی نشان داده شده است. همچنین، با استفاده از مثالهای عددی‏، نشان داده ایم که به کار بردن شکاف مربوط به روشهای جدید ارائه شده به عنوان پیش شرط شکافی برای روشهای زیرفضای کریلف‏، می تواند باعث بهبود کارایی روشهای زیرفضای کریلف شود.

در این پایان به بررسی معادلات دیفرانسیل جبری و حل آن با روشهای عددی می پردازیم. این نوع دستگاهها شامل معادلات دیفرانسیل معمولی و محدودیت جبری می باشد. همچنین از روشهای عددی برای حل معادلات دیفرانسیل جبری همچون روش های رانگ گوتا، چند گامی، تکرار تغییراتی، هم محلی سینوسی و آدومین استفاده می کنیم. با معرفی کردن شاخص و در صورت لزوم کاهش شاخص به جواب تقریبی دستگاه می پردازیم. در پایان چند مثال ارائه می دهیم.

در این پایان نامه، یک روش جهت تناوبی ضمنی فشرده مرتبه بالا برای حل دستگاه معادلات انتشار واکنش با جملات واکنشی غیرخطی بررسی شده است. این روش از دقت مرتبه چهار در مکان و مرتبه دو در زمان است. وجود و یکتایی جواب به روش جواب های بالایی و پایینی اثبات شده است. یک الگوریتم تکراری کارامد برای حل دستگاه گسسته حاصل معرفی شده و فنونی برای ساختن جواب های بالایی و پایینی بیان شده است. و همچنین یک روش جهت تناوبی ضمنی فشرده برای حل معادلات انتشار کسری زمانی دوبعدی بررسی شده است. این روش از دقت مرتبه چهار در مکان و مرتبه یک در زمان می باشد و پایداری روش توسط روش فوریه بررسی شده است.

مطالعه بر روی روش های ترکیبی از ‎50‎ سال پیش آغاز شده و تا به حال افراد زیادی با افزودن نقاط غیر گامی ساده ای به روش های چندگامی خطی، روش های ترکیبی را بوجود آورده اند. در این پایان نامه به معرفی برخی روش های ترکیبی برای حل معادلات مرتبه اول و نیز رده هایی از روش های ترکیبی برای معادلات مرتبه دوم، پرداخته ایم. در روش های ترکیبی برای معادلات مرتبه دوم‎p-سری ‎ها را برای فرموله کردن دیدگاه چن بکار برده و شرایط مرتبه و دو مشخصه از تقارن را برای آن بدست می آوریم.اگرچه بدست آوردن شرایط مرتبه از طریق نظریه کلاسیک برای روش های نیستروم هم امکان پذیر است اما این روش، راه حل ساده تری را در اختیار ما گذاشته و در بدست آوردن شرایط مرتبه برای مراتب بالاتر هم به ما کمک می کند.هم چنین دو نوع از درختان ریشه دار وابسته به ‎b-2‎سری ها و ‎ p-‎سری ها را برای بدست آوردن شرایط مرتبه برخی روش های ترکیبی صریح، معرفی می نماییم.

در این پایان نامه هدف طراحی کوپلر جهتی با پهنای باند وسیع جهت کاربرد در سیستم های مایکروویو پهن باند است. لذا ابتدا با مطالعه مراجع مربوط به موضوع تحقیق، اطلاعات پایه ای لازم حاصل شد تا به این وسیله توانایی لازم برای تحلیل و بررسی موضوع به دست آید. سپس با مطالعه مقاله ها و کارهای پیشین، نقاط ضعف و قوت این کارها بررسی شد و مشخصات و پارامترهای مهم موضوع که به بهینه کردن نتایج حاصل از کارهای پیشین و به دست آوردن پاسخ مناسب تر کمک می کند و همچنین نقاط ضعفی که جای کار بهتر دارد، استخراج شد. از آنجا که انواع مختلف کوپلر ها معمولاً دارای پهنای باند کوچکی می باشند، استفاده از آنها در سیستم های با پهنای باند زیاد با محدودیت مواجه می گردد. از سمت دیگر طراحی کوپلرهای پهن باند مستلزم استفاده از المانهای بیشتر و بزرگتری است که موجب افزایش ابعاد کوپلر به صورت قابل توجهی می شود. لذا در این پژوهش طراحی کوپلرهای جهتی با پهنای باند زیاد و ابعاد کوچک به عنوان هدف قرار داده شد.. در این پژوهش نخست تحقیقات گسترده ای در زمینه المانهای مایکرواستریپ و پاسخ فرکانسی آنها صورت گرفت تا به اطلاعات کافی برای کاربرد این المانها در طراحی یک کوپلر پهن باند دست یابیم. سپس به کمک اطلاعات به دست آمده در این مرحله، خطوط تزویج شده مایکرواستریپ برای ارائه طرح اولیه ای با ضریب کوپلاژ سست 15- دسی بل در یک بازه فرکانسی نسبتا وسیع بکار برده شد. در مرحله بعد تلفات بازگشتی و ضریب ایزولاسیون کوپلر با استفاده از خطوط شاخه ای خمیده شده و استاب های تکرار پذیر متقارن بهینه سازی شد. ضمن رسیدن به پاسخ فرکانسی مناسب و بهینه، حفظ سادگی ساختار نیز در بهینه سازی مورد توجه قرار گرفته است. در پایان به دو طرح مناسب برای کوپلر جهتی رسیدیم. طرح نهایی کوپلرهای پیشنهادی شبیه سازی شد که نتایج حاصل از شبیه سازی آن ها حاکی از دست یافتن به پهنای باندی حدود 9 گیگاهرتز با ضریب تزویج 3 ± 15- دسی بل برای کوپلر اول و پهنای باندی حدود 8 گیگاهرتز با تزویج 3 ± 15- دسی بل برای کوپلر دوم بود. پهنای باند این کوپلرهای جهتی برای تلرانس تزویج کمتر از 1 دسی بل نیز به ترتیب حدود 7 و 5.25 گیگاهرتز می باشد. با توجه به باند عملکرد این کوپلرها در طیف فرکانسی مایکروویو می توان از آنها در کاربردهای wifi, wimax, wireless , رادار و حتی ماهواره به صورت گسترده استفاده نمود. همچنین با توجه به پارامترهای مطلوب، مشخصات و فرکانس کاری کوپلرهای طراحی شده، می توان آنها را در کاربردهای نظامی و فضایی مورد استفاده قرار داد. با استخراج نتایج پارامترهای پراکندگی کوپلر طراحی شده اول، در پهنای باند عملکرد آن اندازه ضریب انتقال و ضریب تزویج به ترتیب حدود صفر و 15 دسی بل و مقدار ضریب انعکاس و ضریب جداسازی کمتر از 21- و 25- دسی بل، به دست آمد. در نهایت جهت دست یافتن به پاسخ عملی و قابل استناد، این طرح بر روی زیر لایه rogersrtduriod 5880 با مشخصات er=2.2 ، tickness= 0.508 mm و losstangent=0.0009 پیاده سازی شد. نتایج حاصل از اندازه گیری پارامترهای کوپلر ساخته شده تشابه قابل ملاحظه ای با نتایج شبیه سازی دارد. مساحت طرح ساخته شده نیز بدون درنظرگرفتن پورت ها 19.7 × 11.85 میلی متر مربع است که بسیار مناسب و فشرده می باشد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

روش تفاضلات متناهی یکی از روشهای حل عددی معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی می باشد. انتخاب شبکه ثابت در این روش برای مسائل شوکدار نتیجه مطلوبی نخواهد داد. روشهای انتخاب شبکه در دهه اخیر به طور نامحدودی برای حل معادلات دیفرانسیلی که تغییرات بزرگی در جواب دارند به کار می رود. همان طور که نشان داده شده است پیشرفتهای مهمی در دقت و کارایی با انتخاب شبکه نقاط به دست می آید، چنانکه نقاط شبکه در جاهایی که جواب تغییرات بزرگی دارد متمرکز شوند. در این پایان نامه روشهای حرکت شبکه براساس همتوزیعی بیان شده است ، همچنین پایداری این روشها مورد تحلیل و بررسی قرار گرفته است . در نهایت چند مثال عددی برای بررسی دقت و کارایی این روشها ارائه شده است .

روش تفاضلات متناهی یکی از روشهای حل عددی معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی می باشد. در روش تفاضلات متناهی مشتقات ظاهر شده در معادله توسط یک سری تقریبات جایگزین می گردد و سپس سعی می گردد معادله دیفرانسیل مورد بحث بصورت گسسته و در یک مجموعه از نقاط بخصوصی مورد بررسی و حل قرار گیرد که به این نقاط، نقاط شبکه گفته می شود. در روشهای معمول تفاضلات متناهی، نقاط شبکه از قبل مشخص و به صورت ثابت در طول زمان در نظر گرفته می شود که این موضوع در بسیاری از موارد نتایج رضایت بخشی را خواهد داشت . در مواردی که در جواب معادله دیفرانسیل جزئی تغییرات سریع وجود داشته باشد، بهتر است نقاط شبکه در محلهائی قرار گرفته باشد که تابع رفتار سریعی در این نقاط و محلها دارد. این نوع روشها، روش حل معادلات با شبکه غیرثابت نامیده میشود. پیدا کردن محلهائی که تغییرات سریع در آنجا روی می دهد توسط یک سری از توابع بخصوص مشخص می گردد و سپس توسط یک خاصیت بنام خاصیت هم توزیعی، نقاط شبکه در این محلها متمرکز می گردند. سپس روش تفاضلات متناهی پیاده سازی می گردد.

اغلب شبیه سازی پدیده های فیزیکی شوک دار که با حل عددی معادلات دیفرانسیل جزئی غیرخطی صورت می گیرد با مشکلاتی مواجه است و کانون این مشکلات ناحیه با گرادیان زیاد یا ناحیه با تغییرات زیاد در جواب است . در حال حاضر بهترین جوابها برای اینگونه معادلات با استفاده از -r تظریف بدست آمده و در اینجا حالت خاصی از این نوع تظریف یعنی روش اجزاء محدود بر گره های شناور و تابع زمان مورد بررسی قرار گرفته است . گره ها در ناحیه با گرادیان زیاد متمرکز و باعث می شوند که در آن ناحیه تقریب بهتری داشته باشیم. معادلات ، مختصات گره ها و تقریب را بطور همزمان نتیجه می دهند. در این پایان نامه ابتدا اجزاء محدود بر روی گره های ثابت با مثالهای فراوان و سپس محدود بر روی گره ها شناور توضیح داده شده است . مثال عددی در روش mfe، معادله برگر، ساده ترین معادله غیرخطی شوک دار از نوع هذلولی و کنوکسیون-دیفوژن با سه نوع شرط اولیه-مرزی متفاوت است .

در دهه اخیر روشهای بدون شبکه برای حل معادلات دیفرانسیل با مشتقات نسبی مورد توجه قرار گرفته اند.قابلیت روشهای بدون شبکه برای حل اینگونه معادلات این است که نیاز به تولید شبکه برای ساختارهای دو یا سه بعدی پیچیده ندارد. در این پایان نامه روش هم محلی نقطه ای براساس تقریبهای هسته باز تولید از روشهای بدون شبکه ارائه شده است. همچنین نشان داده می شود که در روش هم محلی نقطه ای نسبت دادن حجمهای گرهی و درونیابی شرایط مرزی بعنوان مشکل تلقی نمی شود و انتخاب تصادفی نقاط، این روش را یک روش کاملا بدون شبکه می سازد. در روش هم محلی نقطه ای براساس تقریبهای هسته باز تولید، مشتقات تا مرتبه معادله دیفرانسیل مورد نیاز می باشد. سازگاری این روش با بکار بردن تابع تصحیح و شرایط باز تولید فراهم می شود. همچنین خطای درونیابی بکار رفته ، نیز ارائه شده است.

فصول اصلی این پایان نامه به دو تجزیه مهم مطرح در جبر خطی عددی ، یعنی تجزیه مقدار منفرد و تجزیه ‏‎qr ‎‏ اختصاص داده شده است . نشان داده شده که چگونه می توان از تجزیه مقدار منفرد در فشرده سازی تصاویر دیجیتالی استفاده کرد . همچنین رابطه ای مهم بین دو روش ‏‎mgs‎‏ و هوس هولدر که از روشهای متداول در تجزیه ‏‎qr‎‏ محسوب می گردند را به تقصیل شرح داده شده است .