مکان یابی یکی از زمینه های مورد توجه پژوهش گران تحقیق در عملیات بوده است. در مسایل مکان یابی، معمولاً هدف، تصمیم گیری در مورد مکان تأسیس مراکز ارائه ی خدمات است به طوری که ضمن برآورده شدن تقاضا، یک یا چند تابع هدف نیز بهینه شوند. از میان انواع فرمول بندی ها برای مسایل مکان یابی، مسایل ‎p-‎مرکز، ‎p-‎میانه، مکان یابی بدون ظرفیت تسهیلات ‎ uflpو واگذاری درجه ی دو به عنوان مسایل پایه شناخته می شوند. این رساله به مساله ی مکان یابی ساده ی تسهیلات و تعمیمی از آن می پردازد. در این مسأله که از این پس آن را مکان یابی تسهیلات می نامیم، در مورد مکان تأسیس مراکز خدمت گزار تصمیم گیری می شود به گونه ای که ضمن برآورده شدن همه ی تقاضاها، هزینه ی کل، شامل هزینه ی ثابت تأسیس مراکز و هزینه ی خدمت رسانی کمینه شود. این مسأله از زمان تولدش در دهه ی ‎60‎ میلادی تا کنون بسیار مورد توجه بوده است و نظر به دامنه ی وسیع کاربردهای آن، الگوریتم های دقیق، ابتکاری و تقریبی بسیاری توسط پژوهش گران حوزه های مختلف ریاضی، علوم رایانه و مهندسی برای حل آن ارایه شده اند. مسأله ی مکان یابی تسهیلات در عین حال که ساختار ساده ای دارد از نظر پیچیدگی محاسباتی جزء مسایل ‎np-‎سخت است (کراروپ و پروزان ????) و شاید همین امر موجب شده است که روش های نوظهور برای حل مسایل بهینه سازی ترکیبیاتی یا مسایل بهینه سازی خطی با اعداد صحیح، این مسأله را به عنوان یکی از نمونه های اولیه ی مورد آزمایش خود در نظر بگیرند. یکی از فرمول بندی های رایج برای مسأله ی مکان یابی تسهیلات، مدل بهینه سازی خطی با اعداد صحیح است. با توجه به این مدل، می توان روش های عمومی برای حل مسایل بهینه سازی خطی با اعداد صحیح را برای حل ‎uflp‎ به کار برد. با وجود آن که نظریه ی دوگانی از دیدگاه نظری و محاسباتی برای مسایل بهینه سازی خطی به خوبی مطالعه شده است اما نتایج محاسباتی آن، به ویژه در مورد دوگان زیرجمعی، برای مسایل بهینه سازی خطی با اعداد صحیح چندان ارضا کننده نیستند. بنا به آنچه در (کلبیان ????) آمده است، یکی از اولین نتایج محاسباتی دوگان زیرجمعی توسط کلبیان برای مسأله ی افراز مجموعه ارایه شده است. در فصل اول این رساله، رویکرد دوگان زیرجمعی برای مسایل بهینه سازی خطی با اعداد صحیح را برای مسأله ی مکان یابی تسهیلات بررسی قرار می کنیم. بدین منظور، از توابع زیرجمعی پیشنهادی کلبیان در (کلبیان ????)‎ استفاده خواهیم کرد. در واقع، هدف اصلی در فصل اول آزمودن توابع زیرجمعی مولد از نظر محاسباتی برای مسأله ی مکان یابی تسهیلات است. الگوریتمی که برای حل مسأله ی دوگان زیرجمعی به کار می بریم در واقع یک روش فراز دوگان است و به کلی با روشی پیشنهادی تفاوت دارد. کراروپ‎ و پروزان‎‎ در (کراروپ و پروزان ????) ‎‎ نشان داده اند که چهار مسأله ی مکان یابی تسهیلات، پوشش‎ مجموعه، ‎افراز‎ مجموعه و بسته بندی مجموعه با یک دیگر معادلند. از طرفی، مسأله پوشش مجموعه و رهاسازی‎ برنامه ریزی خطی آن، کاربردهایی در مسایل شبکه دارد و از دیدگاه موازی یا در شرایط توزیع شده مورد توجه بوده است (لابی و نیسان ????، بارتال و همکاران ????). در فصل دوم، به برنامه ریزی خطی مثبت مسأله ی مکان یابی تسهیلات می پردازیم. ابتدا الگوریتم بارتال‎ و همکاران را بررسی می کنیم. این الگوریتم، مسأله های اولیه و دوگان را به کار می گیرد و در نهایت پس از تعداد معینی تکرار به تقریبی از پیش تعیین شده برای جواب بهینه می رسد. ویژگی اصلی این الگوریتم این است که در محیط توزیع شده قابل اجراست. در ادامه، با انجام اصلاحاتی بر حلقه ی درونی این الگوریتم تعداد تکرارهای میانی را بهبود می بخشیم. در پایان، الگوریتم نهایی را بر روی فرم پوشش مجموعه ی ‎uflp‎ می آزماییم. در برخی از تعمیم های مسأله ی مکان یابی تسهیلات با تغییر تابع هدف، شرایط حاکم میان مراکز خدمت گزار، نوع تقاضاها از نظر قطعی یا احتمالی بودن ایجاد می شوند. در بسیاری از موارد روش های استفاده شده برای ‎uflp‎ و یا دست کم ایده های به کار رفته در آن ها در حل این مسایل جدید مفید واقع می شوند. در فصل پایانی این رساله، تعمیمی ساده از مسأله ی مکان یابی تسهیلات با عنوان مسأله ی مکان یابی تسهیلات با نقاط خود خدمت گزار در نظر گرفته می شود. در مسأله ی جدید، برخی نقاط تقاضا می توانند با تاسیس مراکز خدمت گزار در نقطه ی خود، تنها نیاز خود را برآورده سازند. با توجه به شباهت مدل بهینه سازی با عدد صحیح مسأله ی جدید با مسأله ی مکان یابی تسهیلات، این فصل به تعمیم یکی از الگوریتم های برپایه ی دوگان مکان یابی تسهیلات برای مسأله ی جدید اختصاص دارد.

در این رساله، دو الگوریتم بلوکی برای حل دستگاه های خطی نامتقارن با چند طرف ثانی ارائه می شوند. این الگوریتم ها بر مبنای روش حداقل مانده ی کمترین توان های دومlsmr)‎) و فرآیند دوقطری سازی بلوکی 1 ‎block bidiagonalization1)‎)می باشند‎.الگوریتم های ‎bl-lsmr1‎و‎bl-lsmr2‎ به ترتیب با استفاده از می نیمم سازی نرم-2 ی هر ستون از معادله ی نرمال و می نیمم سازی نرم فروبنیوس ماتریس مانده ی معادله ی نرمال نتیجه می شوند. یک صورت جامع از الگوریتم ‎lsmr که آن را الگوریتم حداقل مانده ی کمترین توان های دوم جامع‎(gl-lsmr)‎می نامیم برای حل دستگاه خطی با چند طرف ثانی ارائه می دهیم. این الگوریتم مبتنی بر فرآیند دوقطری سازی جامع1(global bidiagonalization1)می باشد و از می نیمم سازی نرم فروبنیوس ماتریس مانده ی معادله ی نرمال نتیجه می شود.با گسترش ایده ی روش ‎lsmr یک روش تکراری به نام روش حداقل مانده ی کمترین توان های دوم ماتریسی (lsmr-m)برای حل معادلات ماتریسی جفت شده ی کلی با شرایطی بر روی گروه های ماتریسی نظیر متقارن، دومتقارن تعمیم یافته و(r,s)-متقارن، ارائه می دهیم. به علاوه همگرایی الگوریتم های بیان شده مورد مطالعه قرار می گیرند و نتایج عددی کارایی این روش ها را نسبت به روش های تکراری شناخته شده، نشان می دهند.